圓錐曲線中最值問題的破解策略

許發君

(廣西柳州市第一中學)

圓錐曲線中的最值問題一直是歷年高考中命題的熱點之一,是解析幾何中的綜合問題,各種題型都有,命題角度很廣,備受命題者青睞.破解圓錐曲線中的最值問題總體概括起來有兩大策略:一是利用幾何方法,通過利用圓錐曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等合理轉化,再根據數形結合思想方式巧妙求解;二是利用代數法,通過把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式),然后利用函數以及不等式等方法分析與求解.本文結合歷年高考中最常見的圓錐曲線最值問題,從幾何法或代數法的角度分析與處理問題,總結規律,歸納技巧方法與策略,以期引領并指導備考.

1 幾何法——利用定義性質轉化法求最值

定義性質轉化法是指利用圓錐曲線的定義和性質求最值,常用它解與圓錐曲線上的點到焦點的距離(拋物線還涉及曲線上的點到準線的距離)有關的問題.

利用幾何法破解此類求最值問題的關鍵需過好四關:一是方程(組)關,即會利用方程(組)求出參數的值;二是公式關,即會利用過兩點的直線的斜率公式,求出直線的斜率;三是轉化關,如本題,把證明三點共線轉化為證明任意兩點的連線所在直線的斜率相等,當然也可以轉化為向量共線;四是最值關,會利用基本不等式等方法求最值.

2 代數法——利用目標函數法求最值

目標函數法就是通過設參及坐標運算建立關于所求問題的函數解析式,進而根據已知條件求出變量的取值范圍.破解此類題的關鍵點如下.

1)定變量,即根據題意確定變量及其取值范圍(目標函數的定義域).

2)建立目標函數,即利用定義或公式(點到直線的距離公式、兩點間的距離公式、斜率公式等),通過坐標運算,建立目標函數.

3)定最值或定范圍,即根據目標函數解析式的結構特征,采用配方法、基本不等式法、函數的有界性及單調性(可以利用導數研究)等確定最值或取值范圍.

利用代數法解決圓錐曲線中的最值問題,要注意聯系圓錐曲線的定義和性質,結合換元思想或引入參數,將問題轉化為一定的函數關系或不等式問題進行討論.

圓錐曲線中的最值問題題型新穎,類型眾多,形式各樣,解法靈活多變,要求具有較強的綜合應用能力.破解此類問題,有章可循,有法可依,若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義,可以考慮從幾何視角切入,數形結合,直觀處理;若題目的條件和結論能體現一種明確的函數關系,可以考慮從代數視角切入,構建函數求解.