拋物線焦點弦性質的活用

王曉萍

(山東省濟南市章丘區第四中學)

數學抽象表現為獲得數學概念和規則,在現有數學結論的基礎上形成新命題、新結論等,數學運算表現為能夠運用數學方法解決具體的問題,兩者相輔相成,共同優化解題過程.拋物線焦點弦的一些相關性質所對應的常用結論,就是此類新命題、新結論創新應用的具體表現之一:若AB是過拋物線C:y2＝2px(p＞0)焦點F的一條弦,其中A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的傾斜角為α,則有四個最常見的拋物線焦點弦性質所對應的常用結論,本文對其在具體解題過程中的活用進行舉例說明.小關系等問題,可以考慮活用該公式建立相應的方程或方程組,進而綜合題目其他相關條件進行分析與求解.

分析 根據題目條件,先利用拋物線的方程確定參數p的值,進而直接活用拋物線焦半徑的倒數和公式,結合題意中平面向量的線性關系,分別求得|BF|與|AF|的表達式,再結合雙勾函數的圖像與性質確定最大值(也可以考慮導數法,利用函數的單調性來確定函數的最值),最后結合拋物線的定義求解焦點弦AB的中點到拋物線C的準線的距離的最大值問題.

利用拋物線的焦半徑三角公式求解問題時,可以借助焦半徑引入三角函數進行三角換元處理,并結合三角函數的相關知識以及三角恒等變換進行求解,這在解決一些定值、最值或取值范圍問題中經常采用,可以很好優化解題過程,提升解題效率.

通過利用這些拋物線焦點弦性質的常用結論,可以很好地脫離于傳統的解決直線與拋物線位置關系時聯立方程組求解,簡化過程,優化解題.將特殊的概念、性質結論等廣泛、抽象地應用于數學題目,直接構建與之相關的關系式,可以回避較為復雜的數學運算,全面優化解題思維,提升解題能力,體現數學抽象、數學運算、邏輯推理等核心素養.