聚焦橢圓學習中的易錯點

崔勝峰

(邢臺市第十九中學)

橢圓是圓錐曲線中的重要的曲線模型之一,歷年高考中從未少過它的“身影”,高考中主要考查橢圓的方程、離心率及相關性質等,學生常常因為對橢圓方程掌握不夠透徹,對橢圓的相關性質運用不夠熟練而導致解題錯誤.本文主要對學生解題時的易錯點進行分析,希望對讀者有所幫助.

1 忘記討論焦點位置

錯解 由橢圓的方程可知a2＝m,b2＝4,則c2＝a2－b2＝m－4,而橢圓的焦距是2,即c＝1,所以m－4＝1,解得m＝5.

錯因分析 在錯解中,學生片面地認為x2下就是a2,y2下就是b2,即將此橢圓定性為焦點在x軸上的橢圓,事實上,本題中我們需要對m與4的大小進行討論.

正解 當m＞4 時,a2＝m,b2＝4,則c2＝a2－b2＝m－4,而橢圓的焦距是2,即c＝1,所以m－4＝1,解得m＝5;當0＜m＜4時,a2＝4,b2＝m,則c2＝a2－b2＝4－m,而橢圓的焦距是2,即c＝1,所以4－m＝1,解得m＝3.

綜上,m的值是5或3.

通過橢圓的標準方程,我們可以判斷橢圓的焦點在哪條坐標軸上,對于不能確定分母值大小的橢圓方程,一定要對分母的大小加以討論,以便準確確定橢圓焦點的位置.

2 對橢圓方程的理解不夠透徹

解,整理得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0,則Δ＝16m2－4m(m＋3)＞0,解得m＜0或m＞1.

3 忽視離心率范圍

圖1

圖2

圖3

離心率是橢圓的固有屬性,其取值范圍是(0,1),解離心率問題時,一定要牢記于心.本題的三種解析中,雖然解題思路不同,但要求得正確結論,都離不開對橢圓離心率取值范圍的考慮.

4 未考慮橢圓上點的坐標范圍

圖4

橢圓是圓錐曲線中的常考曲線,在學習過程中,我們要對橢圓中的易錯問題多分析、多思考、多總結,這樣在考試時才能避免犯類似的錯誤.