解析幾何中一個(gè)結(jié)論的探究
——兩直線的斜率和為零

張衛(wèi)華

(山東省棗莊市第十六中學(xué))

數(shù)學(xué)問題的探究對(duì)學(xué)生各方面能力的培養(yǎng)都有著非常重要的影響,教師應(yīng)注重將問題探究的意識(shí)滲透到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)中.在圓錐曲線中,有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題一直是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一.其中涉及多條直線的斜率關(guān)系問題,具有較深刻的幾何背景,值得我們好好探究.2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第21題,發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含著一個(gè)非常優(yōu)美的類比型結(jié)論,現(xiàn)將探究歷程整理成文,供感興趣的讀者參考、研討.

1 探究源起

本題考查雙曲線的性質(zhì),屬于直線與雙曲線的相交問題,隨著雙曲線上的定點(diǎn)A與動(dòng)點(diǎn)P,Q之間的相應(yīng)運(yùn)動(dòng)與變化規(guī)律,有“靜”有“動(dòng)”,有“變量”有“定值”,有“變化”又有“約束”,具有和諧統(tǒng)一的辯證關(guān)系.只是在此圓錐曲線動(dòng)靜結(jié)合的情境中,到底具有什么幾何背景呢? 以此疑問逐步深入,進(jìn)行多視角的問題探究歷程.

2 探究歷程

2.1 真題拓展

首先,我們可以將高考真題加以合理抽象化,進(jìn)而拓展成下列更具一般性的問題,通過對(duì)其進(jìn)行分析與解決,并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步分析與研究,進(jìn)而總結(jié)并歸納相應(yīng)的一般性結(jié)論.

通過該一般性問題的分析、理解與解決,為問題的歸納與總結(jié)提供一般性的思路,也為問題的類比與拓展提供依據(jù).由例2及其對(duì)應(yīng)的解析過程,可得相應(yīng)的結(jié)論.

2.2 問題聯(lián)想

根據(jù)以上問題的拓展與結(jié)論1的總結(jié),挖掘問題的背景與實(shí)質(zhì)內(nèi)涵,可知過雙曲線上一點(diǎn)A(x0,y0)(y0≠0)作兩條斜率之和為0的直線,與雙曲線的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為點(diǎn)P,Q,則直線PQ的斜率為定值.進(jìn)一步加以探索,這里所敘述的“兩條直線斜率之和為0”也可以表述為“兩條直線斜率互為相反數(shù)”,或借助平面幾何中相關(guān)角相等或互補(bǔ)其他等價(jià)方式表述或敘述,都可以為問題的精彩創(chuàng)設(shè)提供豐富的背景.

2.3 問題引申

其實(shí),除了在雙曲線問題中有此類一般性的結(jié)論外,在拋物線、橢圓中也有此類似的結(jié)論,下面對(duì)此進(jìn)行合理拓展,巧妙引申.

感興趣的讀者可以自行參考以上結(jié)論1或結(jié)論2中的證明過程加以推理論證,這里不多加以敘述.

3 探究感悟

3.1 深入探究,問題為先

數(shù)學(xué)教育界有一個(gè)基本共識(shí),要引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上養(yǎng)成善于思考、善于提問的好習(xí)慣.單墫教授說過,不斷地、持續(xù)地“思之、思之、思之、思之”,定有意想不到的收獲.當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)陌生的數(shù)學(xué)問題時(shí),要敢于思考、勇于探索、積極探究,只有如此,我們才能有所發(fā)現(xiàn),有所收獲,跳出“題海”,融入能力與素養(yǎng).

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)完全離不開問題.在具體解題過程中,要積極主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題,不能被問題牽著鼻子走,要站在問題所在場(chǎng)面的更高層次,合理挖掘,創(chuàng)新拓展,深入探究.

離開問題的數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)猶如一潭死水,波瀾不驚,毫無樂趣,只能被動(dòng)地解題,持續(xù)低效且高強(qiáng)度地重復(fù).只有靈敏地發(fā)現(xiàn)問題、善于提出問題、勤于解決問題,才能使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)豐富多彩.

3.2 素養(yǎng)導(dǎo)向,核心功能

任子朝先生在?從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向?一文中提到:“高考評(píng)價(jià)體系確立了高考中學(xué)科素養(yǎng)的考查目標(biāo),標(biāo)志著中國的高考正在實(shí)現(xiàn)從能力立意到素養(yǎng)導(dǎo)向的歷史性轉(zhuǎn)變.”這也是高考數(shù)學(xué)命題的一個(gè)合理的完善與優(yōu)化.

其實(shí),新高考數(shù)學(xué)命題理念已經(jīng)逐漸從原來的“知識(shí)立意、能力立意”慢慢向更加全面的“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”等更深層面合理轉(zhuǎn)變與邁進(jìn),充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科的重要作用,同時(shí)也充分發(fā)揮了高考的選拔與引導(dǎo)作用,為考生進(jìn)入高校繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能開發(fā)與引領(lǐng)指明方向,切實(shí)體現(xiàn)了高考的育人功能,體現(xiàn)了高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能.