一類帶有未知控制方向的非線性系統的模糊自適應事件觸發容錯控制

閻 巖, 武力兵, 趙楠楠, 張瑞艷

(1. 遼寧科技大學理學院，鞍山 114051; 2. 遼寧科技大學電子與信息工程學院，鞍山 114051)

0 引言

在控制系統中，系統的執行器、傳感器等部件經常會發生各種故障，從而導致系統的不穩定以及性能的惡化。因此，自適應容錯控制方法的研究受到了更多的關注。在文獻[1]中，針對一類帶有執行器故障和外部擾動的不確定線性系統研究了魯棒自適應容錯控制補償問題。同時，通過設計自適應容錯控制器以及合適的自適應律保證了系統狀態漸近收斂于零。在文獻[2]中，研究了帶有執行器故障和時滯的不確定切換非仿射非線性系統的自適應容錯控制問題。文獻[3]則對一類帶有未知死區的不確定非線性大系統，提出了自適應容錯控制研究方案。伴隨著模糊理論的發展，模糊自適應容錯控制的研究也越來越廣泛[4–5]。

1999 年，?Astr¨om 等人發表了兩篇關于事件觸發的文章[6–7]，這也激起了眾多學者對事件觸發控制研究的熱情。傳統的觸發技術，主要是以周期觸發形式進行數據采樣，該方法會導致不必要的資源浪費，控制器更新頻率以及計算負擔。而事件觸發控制是根據設計的觸發機制對所采樣的數據是否傳輸進行判斷，只有符合所設定的條件時數據才會被傳輸。文獻[8]針對一類不確定非線性系統設計了三種不同策略的事件觸發控制方法，文獻[9]研究了一類帶有執行器故障不確定非線性系統的事件觸發控制問題，文獻[10]將事件觸發與模型預測控制相結合來研究無人駕駛汽車的路徑跟隨問題。Fan 和Wang 兩人針對一類多輸入T-S 模糊系統，研究了事件觸發滑模控制問題[11]；之后，他們對一類帶有外部擾動的線性系統，研究了事件觸發積分滑模控制器的設計問題[12]。就目前的研究成果來看，如何設計自適應事件觸發容錯控制器是本文的研究難點。

基于以上考慮，本文研究一類帶有執行器故障和控制方向未知非線性系統的模糊自適應事件觸發容錯控制問題。主要是利用反步法[13]與模糊理論相結合，設計出自適應事件觸發容錯控制器。在本文所考慮的非線性系統中：

1) 與文獻[8—9]研究的系統相比，本文所考慮系統中的非線性函數是完全未知的；

2) 未知控制系數是一個有界的實函數而不是簡單的常數；

3) 與文獻[9]相比較，本文在控制器的設計中引入了Nussbaum 函數[14]，避免了符號函數帶來的抖振現象。

1 問題描述

1.1 非線性系統

考慮如下的非線性系統

其中

ˉxn ∈Rn, u ∈R 和y ∈R 分別是系統狀態變量、控制輸入和輸出；fk(ˉxk)和g(ˉxn)是未知的非線性函數；dk(t)表示外部擾動。

所考慮的執行器故障模型如下

其中υ表示實際的控制信號；ρ和γ(t)分別表示執行器故障因子和有界函數，且存在γ?>0，使得|γ(t)|≤γ?。

最后，聯立式(1)和式(2)，系統可被重新表示為

控制目標：設計自適應事件觸發容錯控制器Γ(t)和相應的自適應更新律，確保所有的閉環信號一致最終有界，且系統的跟蹤誤差能收斂到原點的一個小鄰域內。

1.2 基本假設及引理

假設1 假設外部擾動dk(t)是連續有界的，即存在一個正的常數δk，使得|dk(t)|≤δk, k=1,2,··· ,n。

引理3[18]在[0,ts)上定義兩個光滑函數η(·)和V(·)，且V(t)≥0, ?t ∈[0,ts)。如果N(η)為光滑的Nussbaum 函數，則有

這里p和q是正常數；g(t)∈[m1,m2]是一個變量，m1和m2是常數，且滿足0m2>m1，則V(t)和η(t)在[0,ts)上仍保持有界。

引理4[19]f(X)是定義在緊集?X ?Rn上的連續非線性函數，存在一個對應的FLSW(X)=QTG(X)，使得

這里的?X和?Q均是緊集。因此，非線性函數f(X)可以重寫為

其中|ω(X)|≤ω?，ω?>0 為期望的誤差精度。

2 控制器設計及穩定性分析

2.1 自適應事件觸發容錯控制器設計

首先，假設參照信號yr和它的導數y(k)r(k= 1,2,··· ,n)是有界的且分段連續，跟蹤誤差定義如下

其中N(?)=?2cos(?)是Nussbaum 函數，p>0 是正的常數。

控制信號和事件觸發機制如下

其中e(t)=Γ(t)?υ(t)為測量誤差，用于確定事件觸發的瞬間。閾值ε是一個正的常數，其中0<|ˉb|ε ≤ˉε。tk(k ∈Z+)表示輸入更新時間，當事件觸發機制被觸發時，時間將被立即標記為tk+1，并且控制信號υ(tk+1)將應用到系統當中。需要注意的是，控制信號在t ∈[tk,tk+1)中保持為常數Γ(tk)。

構造下面的Lyapunov 函數

然后在間隔時間[tk,tk+1)中，從式(37)，我們得到|Γ(t)?υ(t)|≤ε。因此，存在一個連續時變參數θ(t)滿足θ(tk) = 0, θ(tk+1) =±1，并且|θ(t)|≤1, ?t ∈[tk,tk+1)，使得Γ(t)=υ(t)+θ(t)ε。考慮到這一點，我們有

從引理2 中，我們得出?mtanh(m/p)≤?p ?|m|，并將其代入到式(40)中，有

可以得到

相應地，復合函數

定理1 對于不確定非線性系統(1)，在滿足已知假設條件下，所設計的自適應事件觸發容錯控制器以及自適應參數更新律能夠保證閉環系統的所有信號一致有界且跟蹤誤差收斂到原點的一個小鄰域內。同時，存在常數t?>0，使得對任意的k ∈Z+，內部執行時間{tk+1?tk}≥t?。

2.2 穩定性分析

將引理3 應用到式(51)中，我們可知Vn(t)、?和zk(k=1,2,··· ,n)均是有界的。由式(12)可知，x1,?1,··· ,xn,?n有界。從式(33)～(35)，我們可以得到Γ(t)和˙?是有界的，即閉環系統的所有信號一致有界。

此外，為了避免Zeno 現象，我們要證明存在常數t?> 0，使得對任意的k ∈Z+，內部執行時間間隔{tk+1?tk}≥t?。根據e(t)=Γ(t)?υ(t)，可以得到

由式(33)和式(34)可知，Γ(t)是可微的且˙Γ(t)中所有的閉環信號都一致有界。因此，存在常數μ> 0，滿足| ˙Γ(t)|≤μ。由e(tk) = 0 和limt→tk+1e(t) =ε，可知存在間隔時間t?滿足t?≥ε/μ，從而有效地避免了Zeno 行為。

3 仿真算例

給出如下非線性系統

其中

參照信號選作yr=0.8 sin(t)，取以下隸屬函數和模糊基函數

系統在第10 秒發生故障

仿真參數取作ξ1= 100, ξ2= 10, α1= 5, α2= 8, ?= 0.1, p= 30, ε= 0.12,ˉε=10, ?= 6，初始條件[x1(0),x2(0),?χ(0),?(0)]T= [0,0.5,5,0.2]T，仿真結果如圖1 至圖6 所示。

從圖1 和圖2 可以看出，系統的輸出能夠有效地跟蹤參照信號yr且控制輸入信號發生故障后系統仍能保持穩定狀態。圖3 展示了自適應律?χ和?的曲線。圖4 和圖5 表示控制輸入信號和事件觸發時間間隔，在20 秒內，事件觸發控制器觸發次數為1 406 次。圖6 為將本文控制方法與參考文獻[8]中基于固定閾值法的事件觸發控制方法對比所得到的仿真結果，通過調整參數系統可以達到穩定狀態，但觸發次數高達1 758 次。很明顯，本文所設計的自適應事件觸發容錯控制方案效果更好。

圖1 系統輸出y 和參照信號yr 的響應曲線

圖2 跟蹤誤差z1 的響應曲線

圖3 自適應律?χ 和? 的響應曲線

圖4 控制輸入信號υ 和Γ 的響應曲線

圖5 事件觸發時間間隔

4 結論

本文針對一類帶有執行器故障的非線性系統，研究了模糊自適應事件觸發容錯控制問題。利用反步法，設計出自適應事件觸發容錯控制器以及相應的自適應律。同時，給出的事件觸發機制有效地減輕了計算負擔。通過Lyapunov 函數穩定性分析，保證了所有閉環信號在給定的緊集內一致最終有界。最后，通過仿真算例驗證了本文所提出自適應事件觸發容錯控制方法的有效性。