二維Volterra-Fredholm積分方程數值算法研究及收斂性分析

解加全 劉霄琪 張佳樂

(1. 太原師范學院數學系，晉中 030619;2. 太原師范學院工程科學計算山西省高等學校重點實驗室，晉中 030619)

0 引言

Volterra-Fredholm 積分方程在諸多領域均有廣泛應用，如力學、機械、生物、醫學以及物理學和應用數學等領域。由于Volterra-Fredholm 積分方程本身結構的復雜性，使得很難通過解析方法獲得原問題的解，大多數情形下均采用數值或者半解析方法獲取原問題的近似解。目前存在的用于求解Volterra-Fredholm 近似解的方法主要包括譜配點法[1]、伯恩斯坦多項式法[2]、Block-Pulse 函數法[3–4]、泰勒多項式法[5]、斐波那契配點法[6]、Legendre 小波法[7]、Galerkin 方法[8]等。本文主要討論如下形式的二維Volterra-Fredholm 積分方程，并給出其一般形式

針對Volterra-Fredholm 積分方程(1)的求解，Gouyandeh 等[9]利用Tau 配點法求解了一類非線性Volterra-Fredholm 積分方程的數值解，數值結果表明所提算法具有很高的收斂精度。Ordokhani 和Razzaghi[10]基于Haar 函數和配點法對一類非線性一維Volterra-Fredholm 積分方程進行數值求解，數值結果表明所給算法是有效可行的。Parand 和Rad[11]利用徑向基函數方法求解了一類一維Volterra-Fredholm 積分方程的數值解。基于此，本文提出利用二維Block-Pulse 函數方法求解形如方程(1)的二維非線性Volterra-Fredholm 積分方程的數值解，所提算法具有很高的計算效率和滿意的數值精度。

1 二維Block-Pulse 函數

1.1 定義

二維Block-Pulse 函數(2D-BPFs)可定義為[12]

其中(x,y)∈[0,T1)×[0,T2)。

3) 完備性

對任意函數f(x,y)∈L2([0,T1)×[0,T2))，當m趨于無窮大時，Parseval 等式

其中X是m2維向量，且?X=diag(X)。

1.2 函數表示

任意函數f(x,y)∈L2([0,T1)×[0,T2))均可由二維Block-Pulse 函數近似表示為

其中Ψ(x)和Ψ(y)分別是m維Block-Pulse 函數向量。類似地，定義在區間[0,T1)×[0,T2)×[0,T3)×[0,T4)上的四元函數k(x,y,s,t)可由二維Block-Pulse 函數表示為

其中Ψ(x,y)和Ψ(s,t)是m2維二維Block-Pulse 函數向量。

1.3 算子矩陣

向量Ψ(x,y)的積分可表示為

2 求解方法

為了求得方程(1)的近似解，我們首先對函數χ1(x,y,u(x,y))和χ2(x,y,u(x,y))進行近似轉化，即

3 收斂性分析

令(C[Γ],//·//)是所有定義在區間Γ= [0,1)×[0,1)上的連續函數所組成的泛函空間，且具有范數

設em(x,y) =um(x,y)?u(x,y)是誤差函數，其中um(x,y)是近似解，u(x,y)是精確解，則

只要0<α<1，有//em(x,y)//→0，隨著m,n →∞，定理即證。

4 數值算例

例1 考慮如下形式的二維非線性Volterra-Fredholm 積分方程

其中

該問題的解析解是u(x,y)=sin(4πx)sin(4πy)。當m=16,32,64 時，該問題的解析結果和數值結果見圖1 至圖4。從圖1 至圖4 可以看出，隨著m的增加，數值解越來越逼近于解析解。該問題的解析解是u(x,y)=(x+y)2。當m=8,16,32 時，數值解的二范數誤差見表1。

圖1 解析解

圖2 m=16 時的數值解

圖3 m=32 時的數值解

圖4 m=64 時的數值解

表1 當m 分別為8、16、32 時，數值解的二范數誤差

5 結語

本文以二維Block-Pulse 函數為基函數，對一類二維非線性Volterra-Fredholm 積分方程進行數值求解。通過構造相應的積分算子矩陣和乘積算子矩陣，將原積分問題轉化為線性代數方程組，進而離散未知變量獲得原問題的數值解。數值結果表明，隨著離散項的增加，數值結果越來越逼近于解析結果，且Block-Pulse 函數本身構造簡單，在計算過程中會極大提升計算效率。