基于多相材料的完全解耦柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計

占金青，汪庭威，段丁強，劉 敏

（1.華東交通大學(xué)機(jī)電與車輛工程學(xué)院，江西 南昌 330013；2.華東交通大學(xué)載運工具與裝備教育部重點實驗室，江西 南昌 330013）

柔順機(jī)構(gòu)是利用自身的彈性變形將運動、力和能量傳遞到輸出端的一種整體式機(jī)構(gòu)[1-3]。 與傳統(tǒng)的剛性機(jī)構(gòu)比較，它具有免裝配、無須潤滑、運動精度高、易集成等優(yōu)點。 柔順機(jī)構(gòu)廣泛用于精密定位、 微機(jī)電系統(tǒng) （micro-electro mechanical system，MEMS）、生物醫(yī)療、微納制造等領(lǐng)域[4-7]。 拓?fù)鋬?yōu)化方法已是柔順機(jī)構(gòu)的主要設(shè)計方法之一。 多相材料柔順機(jī)構(gòu)可以通過集成不同材料的特性提升機(jī)構(gòu)綜合性能[8]。

張憲民等[9]提出一種基于并行策略的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法，將一個復(fù)雜的多相材料設(shè)計問題離散成為單材料子設(shè)計問題。Majdi 等[10]采用各向同性材料懲罰模型（solid isotropic material with penalization，SIMP） 和交替主動相算法進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。 Zuo 等[11]采用基于冪函數(shù)的材料插值模型進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計，無須引入任何新設(shè)計變量。 Rostami 等[12]提出了一種基于正則化投影梯度方法的多相柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。 Zhan 等[13]采用可分離應(yīng)力插值方法進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)應(yīng)力約束拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，使得每相材料結(jié)構(gòu)滿足相應(yīng)的應(yīng)力約束。 上述研究主要集中在單輸入、單輸出多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計問題。 在實際工程中，經(jīng)常需要具有多個輸入、多個輸出的多相材料柔順機(jī)構(gòu)。

目前，多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計大多采用單一材料設(shè)計。Frecker 等[14]采用加權(quán)和方法建立優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)行單個輸入、多個輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，但是很難選擇合適的加權(quán)因子。Zhu 等[15]采用水平集方法，以互應(yīng)變能與應(yīng)變能比值最大化為優(yōu)化目標(biāo)，進(jìn)行多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。 Alonso 等[16]以每個輸入載荷產(chǎn)生的互應(yīng)變能的總和最大化為目標(biāo)函數(shù)，建立多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型。 然而，以上研究均忽略了多自由度柔順機(jī)構(gòu)存在的輸入、 輸出耦合效應(yīng)，難以實現(xiàn)多個自由度方向的運動精確控制。 李兆坤等[17]為了抑制輸出耦合，引入輸出耦合約束進(jìn)行多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。最近，Zhu 等[18]采用單相材料進(jìn)行完全解耦的柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，以抑制輸入、輸出耦合。 綜上所述，多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)湓O(shè)計研究沒有考慮抑制輸入耦合和輸出耦合效應(yīng)。 為此，本文提出一種基于多相材料的完全解耦多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計方法。

1 基于多相材料的完全解耦柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 多相材料插值模型

與基于SIMP 法的多相材料插值模型不同，基于單元堆積法的多相材料插值模型定義設(shè)計域中每一個單元的每一相材料對應(yīng)一個單元剛度，能夠考慮不同材料相關(guān)邊界條件進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計。 本文采用基于單元堆積法[19-20]的多相材料插值模型

式中：ke為單元e的剛度矩陣；為充滿第m 相材料的單元剛度矩陣；ρe，m和ρe，l分別為單元e 對應(yīng)于第m 相材料和第l 相材料的單元密度；p1和p2均為懲罰系數(shù)，取值為3；NM為選用多相材料的數(shù)目。

1.2 優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)

對于多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計問題，通過不同的輸入端施加荷載作用，在不同的輸出端產(chǎn)生不同的輸出運動，通常期望某個輸出端的輸出運動與某個輸入端的載荷作用是一一對應(yīng)的關(guān)系，即每個輸入端荷載作用產(chǎn)生相對應(yīng)的輸出端的輸出運動。圖1 為多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計域，Ii和Oi分別表示輸入端i（i=1，2，…，n）和輸出端i（i=1,2,…，n），fI，i為在輸入端Ii的作用載荷， 載荷fI，i期望在輸出端Oi產(chǎn)生輸出位移uOi，Γd為固定邊界。

圖1 多輸入、多輸出柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計域Fig.1 Design domain for topology optimization of multiinput-output compliant mechanisms

為了滿足機(jī)構(gòu)的運動需求，以柔順機(jī)構(gòu)多個輸出端的輸出位移uOi最大化為優(yōu)化目標(biāo)。 采用加權(quán)法[18]將多個輸出位移最大化轉(zhuǎn)變成一個優(yōu)化目標(biāo)，可表示為

式中：J 為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；ωi為權(quán)重因子， 它能夠避免優(yōu)化中出現(xiàn)某一個輸出位移值非常大，而其他的輸出位移值都非常小。權(quán)重因子ωi隨著迭代不斷更新，表示為

當(dāng)n=2 時，優(yōu)化目標(biāo)可改寫為

由式（2）可知，當(dāng)uO1增大，ω2隨之增大，從而使得uO2變大，反之亦然。 所用方法可以自適應(yīng)地調(diào)整加權(quán)因子的大小，能夠消除不同輸出端的輸出位移在數(shù)量級上的差異。

1.3 輸入、輸出耦合約束

對于多自由度柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計問題，作用載荷fI，i在對應(yīng)的輸出端Oi產(chǎn)生輸出位移uOi，然而，fI，i實際上不僅產(chǎn)生輸出位移uOi，還在其它的輸出端Oj（j≠i）產(chǎn)生輸出位移，即為輸出耦合效應(yīng)；同時，輸入載荷fI，i除了在輸入端Ii產(chǎn)生輸入位移，還在其它的輸入端Ij（j≠i）產(chǎn)生輸入位移，即為輸入耦合效應(yīng)。 如前所述，為了提高機(jī)構(gòu)的運動精度，多相材料柔順機(jī)構(gòu)非常有必要抑制輸入耦合和輸出耦合效應(yīng)。

當(dāng)輸入端Ii施加載荷作用fI，i，在對應(yīng)的輸出端Oi產(chǎn)生位移uOi，同時，fI，i在其它輸出端產(chǎn)生輸出位移（j≠i）,如圖2（a）所示。 為了抑制輸出耦合，構(gòu)建輸出耦合約束為

式中：η*為輸出耦合抑制參數(shù)。

當(dāng)輸入端Ii施加荷載作用fI，i， 在其它輸入端（j≠i）產(chǎn)生輸入位移（j≠i），如圖2（b）所示。同樣地，構(gòu)建輸入耦合約束為

圖2 多自由度柔順機(jī)構(gòu)輸入耦合和輸出耦合示意圖Fig.2 Schematic diagram of the input and output coupling issues for compliant mechanisms with multiple degrees of freedom

式中：ξ*為輸入耦合抑制參數(shù)。

1.4 拓?fù)鋬?yōu)化模型

采用基于單元堆積方法的多相材料插值模型，以機(jī)構(gòu)的多個輸出位移加權(quán)和最大化作為優(yōu)化目標(biāo)，以輸入耦合、輸出耦合及各相材料結(jié)構(gòu)體積為約束，建立基于多相材料的完全解耦多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型為

式中：K 為整體剛度矩陣；U 為節(jié)點位移列陣；f為作用載荷列陣；v0充滿材料單元的體積；Vm為優(yōu)化后的第m 相材料結(jié)構(gòu)體積；V0為優(yōu)化前的設(shè)計域體積；βm為第m 相材料的允許體積分?jǐn)?shù)；ρmin為單元密度最小值；NE為有限單元的數(shù)目。

2 靈敏度分析及過濾技術(shù)

采用基于梯度的移動漸近線優(yōu)化算法[21]求解基于多相材料的完全解耦多自由度柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計問題。 需要求解優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)和約束的靈敏度。

由式（2），目標(biāo)函數(shù)對單元密度的靈敏度求得為

為了求解輸出位移uOi的靈敏度，引入uOi=U。 其中，為虛擬單位載荷列陣，在輸出點自由度為1，其它的自由度上均為0。 輸出位移uOi可改寫為

輸出位移uOi對單元密度變量求導(dǎo)得

令有伴隨方程有

將式（11）代入式（10）得

將式（11）代入式（8）得目標(biāo)函數(shù)的靈敏度

對式（1）求導(dǎo)有

結(jié)構(gòu)體積約束的靈敏度為

輸出耦合約束對單元密度的靈敏度為

輸入耦合約束對單元密度的靈敏度為

式中：伴隨向量γ 由式Kγ-LOj，i=0 求得，伴隨向量ζ 由式Kζ-LIj，i=0 求得；式中矢量LOj，i和LIj，i均為虛擬單元載荷列陣。

采用變密度法進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果容易出現(xiàn)網(wǎng)格依賴及棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定性現(xiàn)象，本文采用映射過濾方法[22-24]修正靈敏度信息。

3 數(shù)值算例

數(shù)值算例中， 物理量和幾何參數(shù)均為無量綱。實體材料1 和實體材料2 的彈性模量分別為70 和100，泊松比μ 為0.3，最小過濾半徑rmin為4.0。

兩自由度柔順機(jī)構(gòu)的設(shè)計域、邊界條件以及輸入、輸出作用如圖3 所示，設(shè)計域尺寸為L×B=200×100，作用載荷fI，1和fI，2大小均為300，分別施加在左上端和左下端的水平方向， 輸入載荷fI，1在右上端O1期望產(chǎn)生水平位移uO1，輸入載荷fI，2期望在輸出端O2產(chǎn)生垂直輸出位移uO2；輸入彈簧剛度kin，1=kin，2=10，輸出彈簧剛度kout，1=kout，2=2，材料1 和材料2的允許體積份數(shù)分別為0.125 和0.150。

圖3 兩自由度柔順機(jī)構(gòu)設(shè)計域Fig.3 Design domain of compliant mechanism with two degrees of freedom

為了驗證耦合約束的有效性，當(dāng)系數(shù)η*和系數(shù)ξ*均取為0.01 時，考慮有、無耦合約束進(jìn)行多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計， 優(yōu)化結(jié)果如圖4 所示，拓?fù)錁?gòu)型中的紅色區(qū)域和藍(lán)色區(qū)域分別表示材料1和材料2。與無耦合約束拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型存在明顯差異。 圖5 表示為完全解耦的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代圖， 迭代過程未出現(xiàn)振動現(xiàn)象，較快趨于平穩(wěn)。

圖4 拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型Fig.4 The topological configuration of the multi-material compliant mechanism obtained by topology optimization

圖5 完全解耦的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代過程Fig.5 The convergence history of the objective for topology optimization of fully decoupled multi-material compliant mechanisms

由表1 可知，無耦合約束拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)在載荷fI，1作用時， 輸出端O2產(chǎn)生輸出耦合絕對值為3.374 8， 輸入端I2產(chǎn)生輸入耦合為1.648 9；在載荷fI，2作用時，輸出端O1產(chǎn)生輸出耦合為6.964 2，輸入端I1產(chǎn)生輸入耦合為1.648 9；這表明無耦合約束設(shè)計的多相材料柔順機(jī)構(gòu)存在較大的輸入耦合和輸出耦合，導(dǎo)致難以實現(xiàn)多個自由度方向的運動精確控制，降低了柔順機(jī)構(gòu)的運動精度。 完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)在載荷fI，1作用時， 輸出端O2產(chǎn)生輸出耦合絕對值減小為0.064 6， 輸入端I2產(chǎn)生輸入耦合絕對值減小為0.003 3；在載荷fI，2作用時，輸出端O1產(chǎn)生輸出耦合為0.076 3， 輸入端I1產(chǎn)生輸入耦合絕對值減小為0.003 3；這表明完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計的柔順機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合大大地減小，并且滿足輸入耦合和輸出耦合約束， 有效地抑制輸入、輸出耦合效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)機(jī)構(gòu)的輸入、輸出運動達(dá)到完全解耦，驗證提出的設(shè)計方法的有效性。

表1 有、無耦合約束的多自由度柔順機(jī)構(gòu)多相材料拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Tab.1 Results of multi-material topology optimization of multi-input-output compliant mechanisms with decoupled constraints and without decoupled constraints

為了分析不同抑制耦合系數(shù)對拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果影響，考慮分別取η*=ξ*=0.1 和η*=ξ*=0.001 條件下，進(jìn)行基于多相材料的完全解耦合柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計，優(yōu)化結(jié)果分別如圖6 所示。隨著抑制耦合系數(shù)改變，獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型有所改變，如圖4（a），圖6 所示。 由表2 可知，隨著抑制耦合系數(shù)減小， 完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合逐漸減小， 并且均能夠滿足耦合約束，有效地抑制輸入、輸出耦合效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)多相材料柔順機(jī)構(gòu)的輸入、輸出運動達(dá)到完全解耦。

圖6 完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型Fig.6 The topological configuration of the multi-material compliant mechanism obtained by topology optimization with decoupled constraints

表2 不同抑制系數(shù)條件下的完全解耦的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果Tab.2 Results of multi-material topology optimization of multi-input-output compliant mechanisms with decoupled constraints under different coupling coefficients

4 結(jié)論

本文采用基于單元堆積法的多相材料插值模型，引入輸入耦合和輸出耦合約束，進(jìn)行基于多相材料的完全解耦多自由柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計研究，得到以下結(jié)論。

1） 與無解耦拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果相比，完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料多自由度柔順機(jī)構(gòu)構(gòu)型有顯著不同， 機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合大大減小，有效地抑制多自由度柔順機(jī)構(gòu)輸入、 輸出耦合效應(yīng)，能夠?qū)崿F(xiàn)輸入、輸出運動完全解耦。

2） 隨著抑制耦合系數(shù)減小，完全解耦拓?fù)鋬?yōu)化獲得的多相材料柔順機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型有所改變，多自由度機(jī)構(gòu)的輸入耦合和輸出耦合逐漸減小，并且均能夠滿足耦合、輸出耦合約束。