《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中融入課程思政元素的實(shí)踐

◎于金青

(石家莊郵電職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)組，河北 石家莊 050021)

德是做人之本，德育是教育之魂，立德樹人是新時(shí)代教育的根本任務(wù).習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會(huì)議上強(qiáng)調(diào)，要用好課堂教學(xué)這個(gè)主渠道，各類課程都要與思想政治理論課同向同行，形成協(xié)同效應(yīng).

《高等數(shù)學(xué)》除了其工具性的一面，還有其文化性的一面.通過彰顯數(shù)學(xué)的文化屬性，可以培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)持真理的科學(xué)精神，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新發(fā)展、勇于突破、不畏困難的職業(yè)精神，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和終身學(xué)習(xí)的意識(shí).而數(shù)學(xué)發(fā)展史中恰恰蘊(yùn)含著愛國情懷、哲學(xué)思想、科學(xué)態(tài)度、科學(xué)方法、科學(xué)精神、創(chuàng)新思想、誠信意識(shí)等課程思政元素，結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展史與數(shù)學(xué)文化挖掘《高等數(shù)學(xué)》課程中蘊(yùn)含的思想政治元素，將會(huì)更有利于對學(xué)生開展思政教育.那么如何做到課程思政元素的自然融入，需要我們不斷地思考、實(shí)踐.下面從六個(gè)方面談一談在《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中融入課程思政元素的實(shí)踐.

一、愛國主義

愛國主義體現(xiàn)了人們對自己祖國的深厚情感，揭示了個(gè)人對祖國的依存關(guān)系，是人們對自己家園以及民族和文化的歸屬感、認(rèn)同感、尊嚴(yán)感與榮譽(yù)感的統(tǒng)一.它是調(diào)節(jié)個(gè)人與祖國之間關(guān)系的道德要求、政治原則和法律規(guī)范，也是中華民族精神的核心[1].

回望百年，中國青年愛黨、愛國、愛人民的赤誠始終如一，為民族復(fù)興不懈奮斗的步伐從未停歇.在新民主主義革命時(shí)期，中國青年不怕犧牲、敢于斗爭，為爭取民族獨(dú)立、人民解放沖鋒陷陣、拋灑熱血；在社會(huì)主義革命和建設(shè)時(shí)期，中國青年勇于拼搏、甘于奉獻(xiàn)，在新中國的廣闊天地忘我勞動(dòng)、發(fā)奮圖強(qiáng)；在改革開放和社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)新時(shí)期，中國青年開拓創(chuàng)新、勇立潮頭，為推動(dòng)中國大踏步趕上時(shí)代銳意改革、砥礪奮進(jìn).所以，在授課過程中進(jìn)行愛國主義教育，是每一位數(shù)學(xué)教師的神圣職責(zé).

例如，在引入極限概念時(shí)，可以舉這樣的例子：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭.”并介紹莊子和他的貢獻(xiàn).莊子，名周，是著名的哲學(xué)家、思想家、文學(xué)家.《莊子》一書反映了莊子的批判哲學(xué)、藝術(shù)、美學(xué)等諸多方面，原有52篇，現(xiàn)存33篇，是莊子本人或他的后學(xué)所作.其中的《天下》篇，在學(xué)術(shù)上有巨大的價(jià)值，包含很多數(shù)學(xué)的道理.如記載慧施等人的學(xué)說：“慧施多方，其書五車，其道舛駁，其言也不中……至大無外，謂之大一；至小無內(nèi)，謂之小一……飛鳥之景，未嘗動(dòng)也.鏃矢之疾，而有不行、不止之時(shí).”

“飛鳥之影，未嘗動(dòng)也”和希臘埃利亞學(xué)派的芝諾所提出的悖論“飛箭靜止說”如出一轍.“鏃矢之疾，而有不行、不止之時(shí)”的立論更為精辟.它所表達(dá)的思想，比芝諾單純說飛箭靜止更為深刻！

最膾炙人口的是“一尺之捶，日取其半，萬世不竭.”“捶”同“棰”，就是棍、杖的意思.萬世、萬古都是永遠(yuǎn)的意思.竭是盡.這句話的意思是一尺長的棍子，第一天取去一半，第二天取去剩下來的一半，以后每天都取去剩下的一半，這樣永遠(yuǎn)也取不盡.這個(gè)著名的論斷，就是在引入極限概念時(shí)所引用的例子[2].

通過這個(gè)例子，讓學(xué)生具體體會(huì)到，我國古代思想的博大精深.

二、公正平等

所謂公平正義，就是說公正而不偏袒沒有偏私.公平正義是人類社會(huì)文明進(jìn)步的重要標(biāo)志，是社會(huì)主義的本質(zhì)要求，衡量社會(huì)進(jìn)步的重要標(biāo)準(zhǔn)，是社會(huì)主義和諧社會(huì)的重要前提.習(xí)近平總書記在中共十八屆三中全會(huì)第二次全體會(huì)議的講話中指出，要把促進(jìn)社會(huì)公平正義、增進(jìn)人民福祉作為一面鏡子，審視我們各方面的體制機(jī)制和政策規(guī)定，哪里有不符合促進(jìn)社會(huì)公平正義的問題，哪里就需要改革.[3]

推進(jìn)社會(huì)公平正義，能否達(dá)成共識(shí)至關(guān)重要.有了共識(shí)，人民群眾在追求和實(shí)現(xiàn)公平正義過程中的實(shí)干精神與恒久信念才會(huì)樹立起來.

三、嚴(yán)謹(jǐn)、誠信

嚴(yán)謹(jǐn)性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特點(diǎn).即使是一些最基本、最常用的原始概念，數(shù)學(xué)學(xué)科也不滿足于直觀描述，而要求用公理來加以確定.數(shù)學(xué)的邏輯推理嚴(yán)密，從它的公理開始到演繹的最后一個(gè)環(huán)節(jié)不允許有一句假話，即使錯(cuò)一個(gè)符號(hào)也不行.數(shù)學(xué)結(jié)論對錯(cuò)分明，不模棱兩可.在數(shù)學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)安排上，也必須符合學(xué)科內(nèi)在的邏輯順序.

針對數(shù)學(xué)學(xué)科的這一特點(diǎn)，在授課過程中，教師可以通過舉例子——第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生與解決，讓學(xué)生們具體感受數(shù)學(xué)文化中的嚴(yán)謹(jǐn)、誠信.

(一)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)生

在古希臘時(shí)代，阿基米德給出了求圓面積的方法：將圓劃分成無窮多個(gè)底為無窮小，高等于半徑的三角形，由于每個(gè)三角形的面積都等于底乘高的二分之一，因此圓的面積就等于圓的周長(即所有三角形底邊長之和)與半徑一半的乘積.

然而，這種求圓面積的方法的問題在于如何定義一個(gè)無窮小三角形.如果它的面積為0，那么相應(yīng)地圓的面積也為0；如果它的面積不是0，那么相應(yīng)地圓的面積就為無窮大.顯然這兩種情形都不會(huì)得到正確的結(jié)果.

1629年，費(fèi)馬將導(dǎo)數(shù)定義為曲線在某點(diǎn)處的正切值(斜率)，把無窮小用于導(dǎo)數(shù)的定義.具體來說，他首先考慮穿過該曲線上兩點(diǎn)的一條割線，一點(diǎn)是給定的，另一點(diǎn)與給定點(diǎn)的距離為無窮小h，接著計(jì)算出源于幾何正切的三角正切：增量的商.例如，若曲線為拋物線y=x2，則增量的商為：

假設(shè)h在作為因子消去時(shí)不等于0，在最后被除去時(shí)等于0.顯然，這一做法不可避免地引起了關(guān)于相容性的強(qiáng)烈質(zhì)疑.

牛頓和萊布尼茨發(fā)明了微積分，但是微積分的基礎(chǔ)缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，因此，英國大主教貝克萊將無窮小稱為“消失數(shù)量的幽靈”.微積分基礎(chǔ)存在的問題導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī).

(二)分析的嚴(yán)格化

針對這次危機(jī)，萊布尼茨和牛頓回應(yīng)得不夠.因?yàn)槿R布尼茨使用無窮小建立微積分有他的擔(dān)心，這種擔(dān)心是哲學(xué)方面的，與實(shí)體的最終成分有關(guān)(一元組).而牛頓使用的方法也有他對基本應(yīng)用的擔(dān)心，這種擔(dān)心是物理方面的，與變化(速度)的度量有關(guān).牛頓將幾何圖形設(shè)想成是由連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的,即曲線是由點(diǎn)的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的；曲面是由線段的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的；立體是由曲面的連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的.導(dǎo)數(shù)對他來說，不是兩個(gè)無窮小靜止的比，而是一個(gè)“流動(dòng)”量的動(dòng)態(tài)的“流數(shù)”.在他的著作《原理》中，他清楚地表示：“量消失之后得到的最終比，嚴(yán)格地說，不是最終量的比，但極限接近于這些無限遞減的最終量的比”.

1821年，柯西繼續(xù)研究了這種思想，將極限概念作為整個(gè)微積分的基礎(chǔ).與今天所使用的方法一樣，他將費(fèi)馬的求拋物線導(dǎo)數(shù)的例子明確表示為：

這里，由于h不等于0所以可以消去它，令h趨近于0代替了將之除去(不必像以前一樣將h視為0).換句話說，無窮小是變量，不是常量.

1859年，外爾斯特拉斯給出了極限的精確定義，即我們所熟悉的ε-δ定義.有了這個(gè)定義，數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)就是完備的了，從而完成了對分析的嚴(yán)格化.從此微積分就能自圓其說，而不是模棱兩可的知識(shí)體系了.

通過上面這個(gè)具體的例子，很自然地讓學(xué)生體會(huì)到為什么數(shù)學(xué)邏輯推理的任何一個(gè)環(huán)節(jié)不允許有一句假話，從而認(rèn)識(shí)到誠信、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹匾?誠信是中華民族的傳統(tǒng)美德，為人處事的最基本準(zhǔn)則.誠信是行業(yè)立身之本，是法律規(guī)范的道德，是支撐社會(huì)道德的支點(diǎn).以此引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)、誠信的數(shù)學(xué)思想.

四、量變與質(zhì)變

質(zhì)量互變規(guī)律是馬克思主義唯物辯證法三大規(guī)律之一.馬克思認(rèn)為物質(zhì)世界是按照它本身固有的規(guī)律運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的，這個(gè)規(guī)律本身就是由量變到質(zhì)變的過程，世界上所有事物的聯(lián)系和發(fā)展只存在量變和質(zhì)變兩種基本形式.

量變和質(zhì)變的辯證關(guān)系有幾點(diǎn)：第一，量變是質(zhì)變的必要準(zhǔn)備.任何事物變化都有一個(gè)量變的積累過程，沒有量變的積累，質(zhì)變就不會(huì)發(fā)生；第二，質(zhì)變是量變的必然結(jié)果，單純的量變不會(huì)永久地持續(xù)下去，量變達(dá)到一定程度必然引起質(zhì)變；第三，量變和質(zhì)變是相互滲透的.

在教學(xué)過程中，教師發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生在學(xué)習(xí)上有畏難情緒，覺得高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)難學(xué)，為什么會(huì)這樣呢？我們一起看一下高職高專課本上極限的概念：

x→x0時(shí)函數(shù)f(x)的極限：

教師在講授這個(gè)極限概念時(shí)，畫出具體的函數(shù)圖像，然后任意找3個(gè)距離x0很近的自變量標(biāo)在圖像上，再在圖像上標(biāo)出這3個(gè)自變量對應(yīng)的函數(shù)值.通過手動(dòng)展示讓學(xué)生看到，當(dāng)自變量x向著一個(gè)數(shù)x0運(yùn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值是怎樣運(yùn)動(dòng)的，從而讓學(xué)生具體感知到高等數(shù)學(xué)從極限概念開始進(jìn)入動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)，需要用動(dòng)態(tài)的、發(fā)展的眼光看問題，需要深刻理解量變與質(zhì)變的辯證關(guān)系.這樣，學(xué)生會(huì)覺得數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系緊密，從而消除學(xué)生的畏難情緒.

五、善于學(xué)習(xí)交流

善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步.本領(lǐng)不是天生的，必須通過不斷學(xué)習(xí)才會(huì)有所長進(jìn)、有所提高.從數(shù)學(xué)發(fā)展史來看，數(shù)學(xué)是通過交流才得以深入發(fā)展的.交流對于加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和理解有著重要的作用.在交流的過程中，人們可以更好地理解和使用數(shù)學(xué)語言和符號(hào)，可以強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，也可以通過思考他人的想法和策略豐富和擴(kuò)展自己的思維.

在這方面的一個(gè)標(biāo)桿是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨，因此在教授牛頓-萊布尼茨公式時(shí)，教師可以簡單介紹一下博學(xué)多才的萊布尼茨.

萊布尼茨，德國數(shù)學(xué)家、自然科學(xué)家、哲學(xué)家.1646年出生于萊比錫.萊布尼茨是歷史上少見的通才，他的父親是德國的一位教授，他少年時(shí)代自修希臘文及拉丁文，15歲就進(jìn)入萊比錫大學(xué)讀書，他的學(xué)習(xí)課題涵蓋廣泛，包括法律、哲學(xué)、數(shù)學(xué)、邏輯學(xué)、科學(xué)、歷史、神學(xué)等.他在紐倫堡的阿特多夫大學(xué)完成法律博士學(xué)位后進(jìn)入外交界服務(wù).在科學(xué)方面，萊布尼茨貢獻(xiàn)出動(dòng)能的概念；他既是工程師，又是建筑師.1700年，萊布尼茨創(chuàng)建了柏林科學(xué)院，由他擔(dān)任首屆院長.這些都是萊布尼茨在獨(dú)立發(fā)明微積分之外的成就.

萊布尼茨和牛頓有許多共同點(diǎn)，有些地方令人驚訝，有些地方則不那么奇怪.他也協(xié)助他的國家進(jìn)行錢幣改革，監(jiān)督漢諾威的造幣廠；他有辦法集中全部心智，解開難倒他人的難題；他有一雙靈巧的手，親手制作一臺(tái)計(jì)算機(jī)，它不但能做加減法，還能做乘法和除法，他1673年去倫敦旅行時(shí)，帶了這臺(tái)計(jì)算機(jī)到皇家學(xué)會(huì)表演，事后立即獲選為院士[2].

這就是一代通才萊布尼茨，可以感受到萊布尼茨涉獵的范圍很廣.曾擔(dān)任外交職務(wù)的萊布尼茨，善于學(xué)習(xí)交流.善于學(xué)習(xí)，就是善于進(jìn)步.我們可以借鑒他的成才經(jīng)歷，保持“吾生也有涯，而知也無涯”的清醒認(rèn)識(shí).

六、創(chuàng) 新

現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)和科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展使得數(shù)學(xué)的作用空前重要，培養(yǎng)高素質(zhì)的、具有創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的人才是時(shí)代發(fā)展的需求.高等院校肩負(fù)著為國家培養(yǎng)高素質(zhì)人才的重任，而高素質(zhì)的人才不是只會(huì)背書和考試的“舊”型人才，而是具有創(chuàng)新精神的新型人才.敢闖“無人區(qū)”，敢破“天花板”，勇當(dāng)“探路者”，才能見人所未見、識(shí)人所未識(shí)，收獲別樣的風(fēng)景，開辟嶄新的天地.

為了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，在講授洛必達(dá)法則時(shí)，教師可以簡單介紹一下數(shù)學(xué)家洛必達(dá)的貢獻(xiàn).洛必達(dá)是法國數(shù)學(xué)家，他聰穎早慧，15歲就解出了數(shù)學(xué)家帕斯卡提出的擺線難題.在數(shù)學(xué)家伯努利門下學(xué)習(xí)過微積分，后來又結(jié)交其他數(shù)學(xué)家，在長期通信中萌發(fā)了許多新思想，解決了約翰·伯努利提出的“最速降線”等問題.其主要著作是1696年出版的《闡明曲線的無窮小分析》，是世界上第一本系統(tǒng)的微積分學(xué)教科書，該書對傳播新創(chuàng)建的微積分理論起了重要作用.由于該書的影響，“無窮小分析”或“分析”成了微積分的同義詞[6].

但是有的學(xué)生有自己的想法，想挑戰(zhàn)不可能，結(jié)果真的用第一章中的方法求解出了第二個(gè)例子的極限值.當(dāng)時(shí)我很欣慰自己有這樣的學(xué)生，于是我將他的解法在課堂上進(jìn)行展示，并對同學(xué)們說，他做得很好，他敢于質(zhì)疑，已經(jīng)有了守正創(chuàng)新的思想意識(shí)，如果繼續(xù)保持，帶到以后的學(xué)習(xí)和工作中，必將會(huì)有所斬獲.

以上是課程思政元素融入《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)過程中的一些具體的實(shí)踐.數(shù)學(xué)發(fā)展史和數(shù)學(xué)文化能讓我們透過數(shù)學(xué)知識(shí)本身看到更多有價(jià)值的東西，如何將這些價(jià)值挖掘出來，并將課程思政自然融入其中，需要數(shù)學(xué)教師不斷思考、探索與實(shí)踐.