尋味數(shù)學(xué)思想方法，探索數(shù)學(xué)解題策略

◎吳小妹

(長(zhǎng)樂(lè)一中,福建 福州 350200)

引言：數(shù)學(xué)思想方法不是一種具體的方法，而是一種抽象的數(shù)學(xué)意識(shí)，能夠讓問(wèn)題得到更好的處理.數(shù)學(xué)思想主要包括數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、方程思想等，數(shù)學(xué)解題方法則包括配方法、換元法等.通過(guò)在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中合理地使用各種數(shù)學(xué)思想方法，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力得到提升，并且讓學(xué)生機(jī)械解題的狀態(tài)得到改變，使學(xué)生學(xué)會(huì)用更加靈活的方式探索解題思路，掌握某一類問(wèn)題的解決方法，而不只是解決某一個(gè)問(wèn)題.由此，提高學(xué)生的解題素養(yǎng)，提升高中數(shù)學(xué)教學(xué)的整體質(zhì)量.

一、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中幾種主要數(shù)學(xué)思想的分析

1.函數(shù)與方程的思想

函數(shù)思想和方程思想經(jīng)常被歸為一種數(shù)學(xué)思想.函數(shù)思想是指讓學(xué)生學(xué)會(huì)用變化的觀點(diǎn)去研究問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，從而建立符合要求的函數(shù)關(guān)系；方程思想則是要對(duì)問(wèn)題中變量之間的等量關(guān)系進(jìn)行分析以建立方程.一般來(lái)講，高中數(shù)學(xué)的不等式、方程、三角函數(shù)、立體幾何等問(wèn)題的教學(xué)中經(jīng)常會(huì)用到函數(shù)與方程的思想.

比如，問(wèn)題：一個(gè)正四棱錐S—ABCD，SA的長(zhǎng)度是3，那么在這個(gè)正四棱錐的體積最大的時(shí)候，它的高是多少？這個(gè)問(wèn)題同時(shí)考查了學(xué)生對(duì)立體幾何和最值知識(shí)的掌握，因此要想快速解決問(wèn)題，應(yīng)用函數(shù)與方程的思想是最佳的.學(xué)生可以先假設(shè)這個(gè)正四棱錐底面正方形的長(zhǎng)是a，那么根據(jù)對(duì)正四棱錐的了解，可以用a來(lái)表示這個(gè)正四棱錐的高，有了高和邊長(zhǎng)，就可以求出這個(gè)正四棱錐的體積.在用a表示正四棱錐的體積后，就可以使用求函數(shù)最值的方法，將已有的數(shù)據(jù)代入，求出正四棱錐體積的最大值是多少，進(jìn)而求出高是多少.這個(gè)問(wèn)題是十分典型的函數(shù)與方程構(gòu)造問(wèn)題，解題關(guān)鍵在于學(xué)生要擁有求函數(shù)最值的意識(shí)，從而將一個(gè)明顯的立體幾何問(wèn)題和看起來(lái)不相關(guān)的函數(shù)知識(shí)聯(lián)系在一起，以此找到解決問(wèn)題的思路.

2.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)學(xué)是由數(shù)和形兩種內(nèi)容組合而成的，因此數(shù)形結(jié)合思想在整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中十分重要.這一思想能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)形成更加深刻的認(rèn)識(shí).實(shí)際上，數(shù)形結(jié)合思想包含著兩種具體的思想，也就是以形助數(shù)或者以數(shù)助形.學(xué)生需要結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際情況，靈活地選擇數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用方法，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用十分廣泛，如集合問(wèn)題、函數(shù)交點(diǎn)、函數(shù)最值等問(wèn)題.

比如，問(wèn)題：一個(gè)點(diǎn)P在拋物線上，而這個(gè)拋物線可以寫(xiě)成y2=4x，那么從這個(gè)點(diǎn)P到A(2,1)的距離與點(diǎn)P到這條拋物線的焦點(diǎn)的距離的和最小時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是什么？這是一個(gè)涉及了解析幾何知識(shí)的問(wèn)題，而解析幾何問(wèn)題往往蘊(yùn)含豐富的數(shù)形結(jié)合思想，能夠讓問(wèn)題變得更加容易.在這個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生可以按照題目中給出的條件，將大概的圖形畫(huà)出來(lái)，而通過(guò)觀察畫(huà)出來(lái)的圖形，可以找到這個(gè)問(wèn)題中隱藏的一個(gè)條件，也就是點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離和點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離之和與點(diǎn)P到這條拋物線的準(zhǔn)線的距離和點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離之和是相等的.再通過(guò)對(duì)拋物線進(jìn)行分析，可以知道點(diǎn)A實(shí)際上在拋物線的內(nèi)部，因此可以通過(guò)垂線段最短的知識(shí)來(lái)發(fā)現(xiàn)和最小的情況，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，如果學(xué)生一味地使用代數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題，毫無(wú)疑問(wèn)要進(jìn)行大量的計(jì)算，而且最后很有可能會(huì)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤的情況，但是通過(guò)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，學(xué)生則可以很快地發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的思路.

3.分類討論思想

分類討論思想是一種對(duì)學(xué)生的邏輯思維發(fā)展有重要意義的思想，應(yīng)用這一思想的目的是通過(guò)讓學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多種形式的表達(dá)，確保學(xué)生可以進(jìn)行深度的探索，使學(xué)生在更加完善的思考中獲得邏輯思維的提高.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用分類討論的思想，需要教師結(jié)合對(duì)學(xué)生思維水平的了解，組織學(xué)生開(kāi)展多元化的討論以及實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生形成分類解答的思想，從而更好地達(dá)到數(shù)學(xué)思想滲透的目的.

比如，問(wèn)題：假設(shè)一個(gè)等比數(shù)列的公比為q，而這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和是大于0的，那么q的值是多少？這個(gè)問(wèn)題的題干很簡(jiǎn)單，但是其中不僅考查了學(xué)生對(duì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握，也需要學(xué)生意識(shí)到問(wèn)題所涉及的多種情況，能夠?qū)Ω鞣N情況進(jìn)行討論，從而順利地解決問(wèn)題.在實(shí)際解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生首先可以根據(jù)對(duì)公比概念的認(rèn)識(shí)，將q的數(shù)值分成大于1及小于1這兩種情況，接著再去解決，這樣才能更好地找到解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).

4.轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化和化歸是兩個(gè)概念，但是存在很大的相似性.化歸是指將問(wèn)題按照從未知到已知、從困難到簡(jiǎn)單等方向來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而換一種角度思考問(wèn)題，找到解決問(wèn)題的有效方法.高中階段的數(shù)學(xué)問(wèn)題中往往包含復(fù)雜的條件，需要學(xué)生用到較多的知識(shí)來(lái)思考，而當(dāng)學(xué)生對(duì)某一個(gè)問(wèn)題找不到解決的思路時(shí)，就可以嘗試應(yīng)用轉(zhuǎn)化或者化歸的思想，將其中的條件轉(zhuǎn)化成自己更加容易理解的條件，這時(shí)往往可以很快地找到思路，讓問(wèn)題順利地解決.

比如，向量問(wèn)題：在一個(gè)三角形ABC中，如果存在AB·AC+2BA·BC=3CA+CB，并且角A、B、C對(duì)應(yīng)的邊分別是a、b、c，那么sinC的最大值是多少？這是一個(gè)明顯的三角形問(wèn)題，但是其中卻涉及了向量，導(dǎo)致很多學(xué)生無(wú)從下手.實(shí)際上，通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想將其中的向量轉(zhuǎn)化成學(xué)生更加熟悉的角或者邊，可以讓學(xué)生很快地找到解決問(wèn)題的方法.在這個(gè)問(wèn)題中，學(xué)生可以使用正弦定理或者余弦定理來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而得到關(guān)于cosC的一個(gè)表達(dá)式，進(jìn)而通過(guò)sinC和cosC之間的關(guān)系來(lái)探索結(jié)論.

二、高中數(shù)學(xué)解題方法的討論

數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法之間存在重要的聯(lián)系，如果將數(shù)學(xué)思想稱為數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的思想基礎(chǔ)，那么數(shù)學(xué)方法則可以稱為數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐者.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，僅僅讓學(xué)生掌握各種數(shù)學(xué)思想是不夠的，只有讓學(xué)生懂得將數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法結(jié)合在一起，才可以讓學(xué)生獲得數(shù)學(xué)解題的能力.而在高中階段的數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)方法主要包括求導(dǎo)法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法等.

1.求導(dǎo)法

求導(dǎo)法是一種在解決函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程中經(jīng)常會(huì)用到的方法，在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)也經(jīng)常通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方式求解.

2.構(gòu)造法

構(gòu)造法是指學(xué)生在遇到不容易解決的問(wèn)題時(shí)，可以結(jié)合對(duì)問(wèn)題中條件的理解，以新的觀點(diǎn)來(lái)構(gòu)造新的圖形或者函數(shù)模型，從而用新的研究對(duì)象來(lái)更好地探索問(wèn)題.構(gòu)造法在向量、三角函數(shù)等相關(guān)問(wèn)題中經(jīng)常會(huì)用到.

3.反證法

反證法的基本原理是，如果原命題的反命題是正確的，那么將命題中假設(shè)的條件作為這個(gè)問(wèn)題推理的基礎(chǔ)來(lái)推斷假設(shè)和結(jié)論之間的矛盾，最終確定原命題是否真的成立.在使用反證法解決問(wèn)題的時(shí)候一般要經(jīng)過(guò)三個(gè)步驟：首先是對(duì)結(jié)論的對(duì)立面進(jìn)行分析，同時(shí)做出假設(shè)；其次是在做出假設(shè)的過(guò)程中，需要考慮問(wèn)題條件的多樣性，必要時(shí)進(jìn)行分類討論；最后通過(guò)對(duì)結(jié)論進(jìn)行分析，觀察假設(shè)推導(dǎo)出的條件是否和已知的定理存在矛盾，從而判斷原結(jié)論的正確性.

4.換元法

換元法是指用其他的變量來(lái)替換原來(lái)問(wèn)題中的變量，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的簡(jiǎn)化.在高中階段經(jīng)常使用的換元法包括整體換元、三角換元等.學(xué)生需要靈活地使用知識(shí)來(lái)尋找最適合的換元方式.

比如，問(wèn)題：已知a2+b2=1，m2+n2=1，試著證明|am+bn|≤1.通過(guò)觀察這個(gè)問(wèn)題的內(nèi)容，學(xué)生可以很快地聯(lián)想到三角函數(shù)中正弦與余弦的關(guān)系，因此可以使用換元的方法進(jìn)行探索，用三角函數(shù)的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

三、引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法解題的策略

1.從根本上重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的法寶，能夠讓學(xué)生的解題效率得到大幅度的提升，但是如果教師僅僅寄希望于在解題教學(xué)中向?qū)W生傳授數(shù)學(xué)思想方法，很難讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值.只有在教學(xué)中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，才能使學(xué)生理解并且接受數(shù)學(xué)思想方法，在潛移默化中提高解題能力.

在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，很多教師沒(méi)有正確認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，并且教材上也缺乏專門(mén)的引導(dǎo)，導(dǎo)致學(xué)生無(wú)法系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，給學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)了阻礙.因此在實(shí)際的教學(xué)中，教師需要改變自身的觀念，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的重要性，將數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)涵滲透到教學(xué)的導(dǎo)入、探究等多個(gè)環(huán)節(jié)，提高數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用程度.

2.系統(tǒng)分析數(shù)學(xué)思想方法在教材中的分布情況

教材是教師教學(xué)的主要材料，也是學(xué)生解題能力獲得提升的重要引導(dǎo)，高考數(shù)學(xué)題也是在教材的基礎(chǔ)之上設(shè)計(jì)出來(lái)的，因此只有摸透教材，才可以給學(xué)生的解題帶來(lái)科學(xué)有效的引導(dǎo)，幫助學(xué)生將各種數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用到自己的解題中.在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，存在教師忽視教材價(jià)值的問(wèn)題，很多教師一味地使用高考題、練習(xí)冊(cè)等作為學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，卻忽視了用教材來(lái)夯實(shí)學(xué)生的基礎(chǔ)，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)習(xí)題中數(shù)學(xué)思想方法的滲透方式無(wú)法形成正確的理解.因此，教師要改進(jìn)做法，重視教材的價(jià)值，找到數(shù)學(xué)思想方法和教材知識(shí)之間的融通點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入的研究.教師可以和學(xué)生一起對(duì)教材上的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)，首先思考各個(gè)知識(shí)點(diǎn)都可以滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法，接著引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探究，想一想每節(jié)中的經(jīng)典題型都涉及了哪些數(shù)學(xué)思想方法，從而讓學(xué)生摸清解題的規(guī)律.

3.在平時(shí)的作業(yè)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

學(xué)生的解題能力和數(shù)學(xué)思想方法的掌握水平之間存在正反饋的關(guān)系，因此只有讓學(xué)生多進(jìn)行解題訓(xùn)練，才可以使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，并且使學(xué)生的解題能力得到提升.在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師可以利用作業(yè)布置來(lái)滲透數(shù)學(xué)思想方法，并且在講解作業(yè)的過(guò)程中要多給學(xué)生機(jī)會(huì)來(lái)說(shuō)一說(shuō)自己的解題思路，進(jìn)而在潛移默化中提高學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的掌握水平.

四、引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法解題的注意事項(xiàng)

1.關(guān)注學(xué)生的興趣發(fā)展

數(shù)學(xué)題在很多學(xué)生看來(lái)是枯燥的，這給學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題帶來(lái)了阻礙.因此，在實(shí)際的解題教學(xué)中，教師要加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的興趣培養(yǎng)，改變學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)是枯燥、乏味的印象，讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)題也可以充滿樂(lè)趣.教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)給學(xué)生布置一些趣味性的習(xí)題，并且適當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)手段，讓學(xué)生帶著興趣去解決問(wèn)題，使學(xué)生的解題能力獲得有效的提升.

2.積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題方法的對(duì)比

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，需要教師結(jié)合實(shí)際情況來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行方法上的對(duì)比，從而讓學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法的便利性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)用數(shù)學(xué)思想方法解題的接受度.很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重要性理解不夠深刻，認(rèn)為只要最終可以解決問(wèn)題，使用什么方法都是可以的，這導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)常要走很多的彎路才能解決問(wèn)題.對(duì)此，教師要引導(dǎo)學(xué)生以正確的方式理解和觀察數(shù)學(xué)思想方法的解題價(jià)值，讓學(xué)生可以突破自己的認(rèn)知障礙，獲得解題素養(yǎng)的提升.

3.加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法解題的研究

在滲透數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程中，教師要堅(jiān)決避免形式化的問(wèn)題，以免學(xué)生生硬地使用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題.教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際需要，和學(xué)生一起對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析，引起學(xué)生的思考，讓學(xué)生可以通過(guò)猜想、舉例、驗(yàn)證等多種方式來(lái)探究問(wèn)題，進(jìn)而使學(xué)生學(xué)到“活”的解題方法.如果我們直接將學(xué)生帶入已經(jīng)搭建好的解題框架中，很容易導(dǎo)致學(xué)生思維僵化，如此就失去了用數(shù)學(xué)思想方法解題的意義.

結(jié)語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，教師要改變過(guò)去教學(xué)中一味讓學(xué)生記住解題思路、大量做題的方法，積極引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題，讓學(xué)生可以更高效地解決問(wèn)題，同時(shí)在對(duì)數(shù)學(xué)思想的欣賞中體會(huì)到數(shù)學(xué)的美感，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提高數(shù)學(xué)探究水平.教師要對(duì)數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)解題中的重要性進(jìn)行認(rèn)真的分析，并且加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法在解題中的應(yīng)用，從而讓數(shù)學(xué)思想方法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中發(fā)揮出真正的價(jià)值.