基于學習進階小學數學“符號意識”培養的教學設計
——以人教版數學“圓的周長”為例

◎步 寧 劉桂宏

(伊犁師范大學 教育科學學院，新疆 伊寧 835000)

一、引言

數學符號意識是學生的核心素養之一.《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出，符號意識是指能夠理解并運用符號表示數、數量關系和變化規律；知道使用符號可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性[1].“數學符號意識”包括：數學符號感知、數學符號運算、數學符號推理、數學符號表征等[2].

自2011年義務教育課程標準頒布以來，數學符號意識持續受到關注.馬云鵬，宋乃慶等認為要建立數學符號意識的測評指標體系.陶紅強等認為發展學生的數學符號意識要從具體的行為層面進行分析.朱立明等對小學生數學符號意識的發展水平進行了實證研究.

小學生數學符號意識的培養是由低水平向高水平提升的過程，基于學習進階的小學數學“符號意識”培養能實現其由低階向高階的轉變.學習進階是指“對學生在一個較大時間跨度內學習和研究某一主題時，連貫的思維路徑的假定性描述”[3].學習進階的基本要素包括進階起點、進階終點、進階維度、各水平預期表現(教學目標)及其評估[4].

將“學習進階”與數學“符號意識”相結合進行教學設計，不僅為小學數學教師的數學符號教學提供了有進階維度、易于操作、易于評價的教學設計，還利于小學生根據各進階水平的教學設計理解、掌握并運用數學符號.

圓周長的學習對小學生來說是一個轉折點，既是對先前平面圖形周長、轉化思想等的復習，又是初步學習曲線圖形的開始，從而為以后學習圓柱圓錐等知識打下基礎.基于此，本研究以人教版數學六年級“圓的周長”為例.

二、基于學習進階小學數學“符號意識”教學設計的理論構建

根據NRC等機構與學者對學習進階包含的基本要素的研究，以及馬云鵬與朱立明學者對數學符號意識內涵的探討，構建教學設計框架，如圖1所示.

圖1 基于學習進階小學數學“符號意識”教學設計框架

(一)理論框架的建構

進階起點是小學生已有的相關數學經驗、數學基礎知識及數學需要等.數學符號感知、運算、推理、表征是小學數學符號意識的四個進階維度，每個進階維度可分為三個進階水平.小學數學符號意識的進階終點分別是全面感知狀態、符號抽象運算階段、抽象符號推理階段及靈活性表征狀態.在進階水平中融入評價，測量學生對核心知識的理解和掌握情況[5].評價是根據進階水平的教學目標確定的.

(二)理論框架的運作

整個框架是基于進階起點并通過評價不斷由一個進階水平或進階維度推進到更高進階水平或進階維度的.例如，數學符號感知維度，教師通過課前對學生的訪談、問卷等調查，評價學生是否具有本課時的前概念，具有90%的相關前概念，就進階到水平1-1.達到水平1-1的評價標準才能進入到水平1-2，否則就要停留在當前水平.當水平1-2達到評價要求時，可進入水平1-3，即數學符號感知的最高水平(進階終點)——全面感知狀態.當水平1-3達到教學目標且整個維度的學習達到評價標準時，將進入下一進階維度，即數學符號運算維度.

三、基于學習進階小學數學“符號意識”教學設計的實踐應用

進階起點如下：在學習圓的周長前，學生已習得周長C的一般概念，懂得圓的周長，學習過直徑d、半徑r及兩者的關系，能進行邏輯思維運算等.“圓的周長”的教學設計是在具體進階維度中展開的.

(一)數學符號感知

數學符號的感知是指對數學符號“π”的一種直觀認知.這一維度對應的核心知識是圓周率π的產生、書寫及讀法.按照數學符號感知的狀態將這一維度分成三個水平.

水平1-1：混淆感知狀態

混淆感知狀態的典型特征是學生不能理解圓周率π的內涵及意義.教學設計如下：

教學目標：能準確認識圓周率π并會讀會寫，了解圓周率的發展歷史.

教學過程：教師利用課本插畫“祖沖之與圓周率的故事”向學生講述圓周率與祖沖之的淵源及其發展歷程.通過講故事，使學生對數學符號π有一個模糊的印象，激起學生對圓周率π的學習熱情與興趣.教師追問：“同學們，你們想知道圓周率π怎樣讀，怎樣寫嗎？”教師示范π的讀法并帶領學生書寫，進一步深化學生對數學符號π的感知.

教學評價：能說出π的名稱，準確書寫π，復述我國數學家祖沖之與圓周率的故事及其發展歷程.

水平1-2：孤立感知狀態

孤立感知狀態的典型特征是學生能通過數學符號“π”的形式了解其意義，但欠缺對“π、C、d”等符號之間關系的理解.教學設計如下：

教學目標：對數學符號π的產生過程有清晰的認識，會測量圓形學具的周長.

教學過程：教師提問：“同學們，你們想知道圓周率π是如何計算的嗎？”學生在教師的引領下，利用準備好的圓形物體，進行“探索圓周率π”的活動，學生用不同的測量方法測出圓的直徑d與周長C，但是對圓周率π如何計算還沒有眉目.這時，教師啟發學生：“我們在學習長方形、正方形等圖形的周長時，周長與什么有關系呢？”學生在教師的引導下嘗試探索，猜想圓的周長與直徑有關.

教學評價：能敘述如何通過活動得出π，能通過米尺等工具來測量圓形物體的周長.

水平1-3：全面感知狀態

全面感知狀態的典型特征是學生懂得“π、d、C”等數學符號之間的聯系及意義.教學設計如下：

教學目標：領會圓周長C、圓直徑d與圓周率π是相互聯系的.

教學過程：通過教師的啟發與合作探究，學生對圓周率π的產生等知識點有了更加清晰且全面的感知，理解了圓周率π、圓的周長及直徑的關系.

教學評價：在已知圓周率π、圓周長C、圓直徑d中的任意兩個值的情況下，準確計算出第三個量的值.

(二)數學符號運算

在這一維度，數學符號運算對應的核心知識為圓周長公式的運算.按照數學符號運算的階段將這一維度分成三個水平.

水平2-1：數字符號運算階段

數字符號運算階段的典型特征是學生根據測出的圓周長C及圓直徑d，利用運算法則解決基本的數字運算.教學設計如下：

教學目標：能根據運算法則計算具體數字，準確得出教師給定的幾組直徑與周長的答案.

教學過程：學生在教師的引導下對數字進行計算，用圓形物體的周長除以圓形物體的直徑，算出圓周率的數值.由此，學生得出圓周長的計算公式C=πd.教師給出幾組直徑d的數據，讓學生利用公式計算圓的周長，加深學生對圓周長公式的記憶與理解.

教學評價：能夠得到90%的正確答案，并對錯誤的答案進行及時的修改.

水平2-2：符號形式運算階段

符號形式運算階段的典型特征是學生能夠理解數字符號運算的算理，但是不認為圓周長與圓直徑具有對應關系.教學設計如下：

教學目標：能夠靈活運用公式進行計算.

教學過程：學生在計算教師給定的幾組直徑d的數據時，能夠利用圓周長計算公式及乘法運算規則計算.但是在教師給出的圓周長C與給出的直徑d計算結果相等時，學生不能直接得出圓的直徑，還要運用圓周長公式及除法規則計算圓的直徑.

教學評價：在計算的過程中能準確運用公式，將未知的量與已知的量填寫在準確的位置上，得出正確的答案.

水平2-3：符號抽象運算階段

符號抽象運算階段的典型特征是學生在水平2-2的基礎上，經過多組數據的練習及總結，能夠意識到C與d的關系.教學設計如下：

教學目標：對圓周長公式的計算結果進行整理，懂得數據具有一定的普遍性.

教學過程：當教師引導學生整理結果時，學生對數據進行對比，發現直徑確定時，周長是不變的；周長確定時，直徑是不變的.學生能對常用的數據進行記憶，在解題時能夠快速準確地得出結果.

教學評價：理解圓周長與直徑是一一對應的關系，能夠準確記憶常用的直徑與對應周長的值、周長與對應直徑的值.

(三)數學符號推理

數學符號推理主要是合情推理與演繹推理.數學符號推理需要學生親身體驗推理的過程進行感悟.這一維度對應的核心知識為圓周長公式的推理過程.按照數學符號推理的階段將這一維度分成三個水平.

水平3-1：混亂符號推理階段

混亂符號推理階段的典型特征是學生對數學符號“π、d、C”無法清晰地推理，邏輯思維處于混亂狀態.教學設計如下：

教學目標：在利用已知數據進行嘗試的過程中，能夠準確找到圓形物體的周長與直徑的固定關系，即π.

教學過程：在課程開始時，學生對如何得出圓周率π是完全沒有思路的.當教師引導學生從已知的數據出發，學生開始嘗試計算，有的學生用圓周長C與直徑d相加、相減、相除、相乘，這是對圓周率π的盲目嘗試.最后經過教師的引導及學生對數據的總結，用圓周長C與直徑d相除，得出π的近似值3.14.

教學評價：能理解只有圓形物體周長與直徑的比值才是固定的，π近似于3.14.

水平3-2：單一符號推理階段

單一符號推理階段的典型特征是能夠運用合情推理或演繹推理對圓周長公式C=πd進行驗證.教學設計如下：

教學目標：能通過探究圓周率π，得出圓周長的計算公式，并對公式進行驗證.

教學過程：學生運用圓周長公式進行演繹推理，測量圓形物體的直徑，并將圓周率π取近似值3.14，將數據代入公式進行計算，得出圓的周長數值與圓周長測量值近似.學生對周長與直徑的數值是一一對應的結論持有懷疑，經過演繹推理的證實才堅信這一結論.

教學評價：將數據帶入圓周長公式，能進行準確的檢驗，對公式中的各個符號有準確的理解.

水平3-3：抽象符號推理階段

抽象符號推理階段的典型特征是學生能夠運用合情推理、演繹推理對圓周長公式的變形公式進行檢驗.教學設計如下：

教學目標：能對圓周長公式進行變形，對得出的公式進行驗證.

(四)數學符號表征

數學符號表征是從雜亂無章的問題中找出規律，從而提升自身的思維水平及解決問題的能力.這一維度對應的核心知識是圓周長公式的應用.按照數學符號表征的狀態將這一維度分成三個水平.

水平4-1：無意識表征狀態

無意識表征狀態的典型特征是學生無法準確選擇“π、C、d”等數學符號對問題進行表征，對數學符號的運用處于模糊的水平.教學設計如下：

教學目標：在解決圓周長問題的過程中能夠正確書寫圓周長公式并且懂得符號的含義.

教學過程：學生在進行練習題的計算時，能熟練運用圓周長公式C=πd，但無法正確表征公式.例如，進行長方形、正方形、圓周長的混合計算時，學生不會有意識地使用表示周長的符號“C”，而是用漢字來表示所計算圖形的周長，如“正方形的周長”.少數使用計算公式的學生，其圓周長公式的書寫存在問題.

教學評價：有90%的學生能準確運用圓周長公式C=πd進行計算.

水平4-2：機械性表征狀態

機械性表征狀態的典型特征是學生無法準確選擇與圖形相對應的“周長C”對數學問題進行表征.教學設計如下：

教學目標：能準確運用圓周長公式進行計算，減少漢字的出現.

教學過程：少數學生在使用周長符號“C”計算時，正方形、長方形、圓形的周長都使用“C”來表示，無法用腳注對不同圖形的周長進行區別，反映了學生對數學符號的表征處于單一的機械性狀態.

教學評價：能寫出圓周長公式及正方形、長方形計算公式的字母表達式，并進行準確的計算.

水平4-3：靈活性表征狀態

靈活性表征狀態的典型特征是學生能夠從解決問題的具體情境，選擇恰當的C正、C圓、C長、d正、d長進行問題表征，并能理解符號所代表的不同含義.教學設計如下：

教學目標：可以用不同的腳注進行區分.

教學過程：在練習中，教師啟發學生：“我們可以把計算過程中的漢字減少，多一點數學語言、數學符號，利用學過的公式進行計算，對不同圖形的周長用C正、C長、C圓進行表示.”學生能舉一反三，d正=2r、d長=5r.學生能運用數學符號進行計算，并能闡述各個符號代表的含義.

教學評價：學生懂得運用腳注對不同圖形的周長、直徑等進行區分，如C正、C圓、C長、d正、d長等.

四、基于學習進階小學數學“符號意識”教學設計的建議

(一)選擇恰當的教學策略是培養數學符號意識的前提

運用發現法教學，有利于學生數學符號感知的發展，讓學生體驗數學符號的再發現過程.數學符號感知通常是學生認識新數學符號的起始，每一個數學符號的產生都有獨特的歷史.利用數學史當中的認知歷史相似性，個體對數學的理解過程與數學歷史的發展過程的相似性[6]，通過祖沖之與圓周率π的故事，學生利用學具探索，提出并驗證假設，得出結論.在數學符號感知階段，通過與數學史的結合，讓學生經歷數學符號的產生過程，使他們對數學符號進行全面的感知.

運用練習法教學，有利于學生數學符號運算的發展.運算是一種程序性知識，學生在算理算法的基礎上掌握運算的技能技巧，提高運算的正確率，加強圓周長公式的運用；在多次練習中，觀察數據的變化，總結出圓周長與圓直徑是一一對應的關系.

運用合作學習教學，有利于學生數學符號推理的發展.推理注重的是過程，學生只有經歷推理的過程才能提高推理能力.合作能擴大學生的視野，使其產生不同的思路，運用不同的推理方式，進行高效的思維訓練.對圓周長公式C=πd及其各種變形公式進行驗證時，小組成員集思廣益，靈活運用合情推理與演繹推理進行檢驗.

運用深度學習教學，有利于學生數學符號表征的發展.深度學習超越具體知識和技能深入到思維層面[7]，能促使學生將數學符號靈活運用到不同的問題情境之中，從數學的角度出發解決現實問題.

(二)問題是提升進階水平或維度的關鍵

數學課堂中，學生的思維是由問題引導的，因此教師對問題的設計至關重要.教師設計出指向數學本質、居于探究中心的具有生長性的核心問題[8].每一進階維度都有相應的核心問題，在對核心問題進行追問的過程中，可以促進學生進階水平的提高.兩個進階維度之間可通過高維度的核心問題完成進階.

總之，發展學生的數學符號意識，就是對學生數學符號感知、運算、推理、表征的培養過程.在學習進階的理念下對數學符號意識的教學進行有步驟的教學設計，運用恰當的教學策略與問題是培養數學符號意識的有效方式.