數學抽象核心素養視野下高中數學概念課教學設計
——以函數概念教學為例

◎徐文倩

(云南師范大學，云南 昆明 650500)

數學抽象是高中數學六大學科核心素養之一.培養學生的抽象能力，對學生理解數學知識的本質意義，形成學習數學的良好習慣，有極為重要的作用，同時也為學生其他學科的學習打下基礎.

數學概念是構建數學知識結構體系的基礎，正確理解數學概念是提高數學思維的關鍵.學生只有在理解概念的基礎上，才能對數學概念進行有效歸類、辨析、應用.數學概念是極為重要的，它能幫助學生掌握知識本質，構建知識框架，進而提高自身數學抽象能力.在實際教學中，教師普遍對解題教學更為重視，而忽視對概念的講解，這導致學生對概念的理解比較模糊，對數學知識不能做到深層次理解，進而無法全面建構數學知識體系.這嚴重影響學生數學核心素養的發展.

函數概念在高中階段非常重要，但在日常教學中，往往會出現重形式輕本質的現象，教師只是簡單講解概念，這使得學生對函數這個較為抽象的概念不能深入理解，只是淺嘗輒止.對此，為使抽象的概念形象化，本文以新人教A版必修第一冊第三章第一節“函數概念”為例進行教學設計，以期為一線教師提供教學思路.

一、數學抽象核心素養下的教學過程設計

(一)回顧舊知 引起認知沖突

【教師】問題1：生活中有很多運動變化的現象，舉個例子：飲水機的水位隨著時間的變化而不斷降低.我們以前學過的哪種數學模型能描述這種運動變化中的數量關系呢？

【學生】回顧初中接觸過的函數概念，口頭回答出函數可以描述這種數量關系.

【師生】教師引導學生回憶初中學過的函數類型，并嘗試說出函數的定義，教師總結初中學過的函數的定義、圖象及性質.

【學生】交流討論，發表各自意見，沒有一致的結論.

【教師】初中學習的函數，關注的是變量之間的依賴關系，對于變量的對應關系及變量的變化范圍沒有涉及，初中所學的函數定義并不完善.下面我們通過幾個具體的實例，深入認識函數.

設計意圖：問題1，學生通過思考數學模型引出函數，并通過回顧初中函數的定義再現函數知識，為學習更為完善的函數定義奠定基礎.問題2則是讓學生認識到初中所學的函數定義是不完善的，需要繼續深入研究函數的定義，為函數概念的教學做鋪墊.

(二)創設問題情境 推進核心過程

情境1：某飛機飛行到一定高度后保持1080 km/h的速度勻速飛行15 min.飛機飛行的路程表示為s(單位：km)，飛行時間表示為t(單位：h).

【教師】問題1：這段時間內可以列出怎樣的解析式？是一個函數嗎？

【學生】根據初中學過的函數定義，可以列出解析式s=1080t，s與t是兩個變量，而且對于t的每一個確定的值，s都有唯一確定的值與之對應，所以s是t的函數.

【教師】問題2：根據這個解析式，這架飛機飛行到一定高度后，飛行0.5 h的路程是540 km，這個說法正確嗎？

【學生】飛機保持1080 km/h的速度只有15 min，無法判斷15 min之后的情況，因此說法不正確.

【教師】問題3：如何準確表述s與t的對應關系呢？

【師生】學生關注到應該限定t的取值范圍，教師引導學生利用集合分別表示s與t的變化范圍，讓學生初步嘗試用集合和對應關系描述函數關系.學生第一次描述存在困難，教師進行補充、整理，總結為：飛機飛行的路程s與飛行時間t的對應關系是s=1080t.其中，t的變化范圍是A1={t|0≤t≤0.25}，s的變化范圍是B1={s|0≤s≤270}.對于A1中的任一時刻t，按照對應關系s=1080t，B1中都有唯一確定的路程s與之對應.

設計意圖：問題1是讓學生借助初中學過的函數概念判斷該解析式是否滿足函數的定義；問題2、問題3是讓學生關注變量的變化范圍，并學會用更為精確的語言來描述函數關系.

表1 我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況

【教師】問題1：根據表格1，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？

【學生】學生獨立思考，有些學生可能認為r不是y的函數，教師在此基礎上繼續提問.

【教師】追問1：根據表格，你能找到2008年的恩格爾系數嗎？這個值是否唯一存在？

追問2：對于數集A2={2006,2007,2008,…,2015}中的任意一個值y，你能找到對應的r值嗎？

【師生】通過追問，學生回憶起表格也是表示函數對應關系的一種方式，教師對此加以解釋.

【教師】問題2：參考前面給出的描述函數關系的方法，r與y的對應關系應如何表述呢？

【學生】小組嘗試用集合與對應關系的語言描述函數，選擇小組嘗試對其進行精確表示.教師對學生的表述進行評價、補充.學生給出的函數值集合有可能是表中r的10個值，將其記為C2.此時，教師加以肯定并指出：根據恩格爾系數的定義，r的取值范圍是B2={r|0

設計意圖：學生在初中接觸到的函數對應關系大多是用解析式進行表示的，因此他們理解用表格描述對應關系相對困難.教師以問題形式引導學生思考，使學生理解除了解析式，表格也是描述函數對應關系的一種方式，為學生獨立確定函數的對應關系做準備.

情境3：某科技公司要求高級員工每周工作最少1天，最多不超4天.該公司高級員工的工資標準是每人每天1080元，按周發放工資.

【教師】問題1：根據問題情境，如何確定一位員工每周所得的工資？

【師生】教師引導學生結合情境2中的問題1，回憶初中學習的三種描述函數關系的方式.同時根據情境3，學生討論得出表達式w=1080d.表格，圖象等均可以確定一位高級員工每周所得的工資.

【教師】問題2：高級員工的工資w是他工作天數d的函數嗎？

問題3：參考前面給出的描述，該問題中w與d的對應關系應如何精確表示呢？

【學生】獨立回答問題2，同時嘗試獨立利用集合語言和對應關系描述w與d的對應關系，教師結合學生的描述進行點評總結.

【教師】追問：情境1和情境3中函數有著相同的對應關系，可不可以看成同一個函數？

【學生】對比發現，兩個函數只有對應關系相同，自變量和因變量的變化范圍不相同.

【教師】進一步引導學生得出判斷函數相同的要素是自變量的變化范圍和對應關系.

設計意圖：通過問題1，學生理解函數對應關系的不同表示，例如表格、解析式等；問題3是讓學生模仿情境1、情境2的方法給出描述，讓學生熟悉函數對應關系表述的同時，進一步訓練學生的抽象概括能力，并通過追問，為學生學習定義域、值域做鋪墊.

(三)歸納總結 形成概念

【教師】情境1～3中的函數有哪些共同特征？

【師生】根據上述3個情境，小組內思考交流，利用集合與對應語言刻畫函數的過程，總結出函數的共同特征，學生在概括時可能會有遺漏，教師借助表2幫助學生思考.

表2 函數要素

【師生】學生根據上表大致概括出函數的共同特征，教師進行總結.

【教師】我們可以發現在上述情境中函數的對應關系可以用表達式、圖象、表格進行表示.實際上，對應關系還有很多表示方法，為了對應關系的表達更方便，數學上一般用符號f表示對應關系.(給出函數的定義，記函數為y=f(x),x∈A，解釋f(x)的含義，同時強調f可以用g，h等字母代替，f只是表示對應法則的一種符號.)

【教師】對于y=f(x),x∈A這樣表示函數的方法，老師給大家做一個形象的闡釋(播放動畫PPT)：假設自變量x是一個蘋果，它在食品廠進行加工，制作蘋果干、蘋果汁、蘋果脯等的機器就相當于函數中的對應關系，那么一個蘋果通過不同的機器制作出來的蘋果干、蘋果脯或蘋果汁就是函數中的函數值y，那么對于任意一個蘋果，通過某一種機器只能制作出一種食品.

用數學語言解釋y=f(x)：y是x的函數，即x在對應關系f的作用下對應y.

【教師】給出定義域、值域的定義，讓學生思考：為什么在上表中，將情境2中函數值的集合，也就是現在定義的值域，寫成C2，而不是更具有一般性的B2？

【師生】教師引導學生回看函數的定義，結合集合的內容，學生可以發現集合B是包含值域的，也就是說值域是集合B的子集，從而解釋情境2的值域是C2.

【教師】函數的三要素是什么？判斷函數相同的條件是什么？

【學生】根據3個情境和函數的定義，總結出函數的三要素是定義域、值域及對應關系.

【師生】教師引導學生回憶情境1和情境3中的對應關系，共同得出函數相同的條件：定義域和對應關系相同.

設計意圖：在初中已有函數的認知基礎上，學生通過對3個實例進行歸納、概括得到函數三要素，并在運用集合與對應的語言表述函數的過程中，建立起對函數概念的認識，另外，學生借助具體實例，感悟數學抽象的過程，有利于培養學生的數學抽象核心素養.

(四)鞏固提升 深化概念

【學生】y=1符合函數的定義：定義域是R，值域是B={1}，對應關系把R中的任意一個數，對應到B中唯一確定的數1.

【教師】與一般函數不同的是y=1將多個實數通過對應關系變成了一個實數.反之，一個實數能通過對應關系變成多個實數嗎？

【學生】不能，通過函數關系f:A→B可以將一個實數變成一個實數，或者將多個實數變成一個實數，最終結果只能是數集B有唯一的數與之對應，不能是一個實數通過對應關系變成多個實數.

【教師】在函數概念中，y=f(x)表示y是x的函數.同時我們強調了f可以用g，h等字母代替，f只是表示對應法則的一種符號.那么y=f(x)與y=g(x)是不是同一個函數呢？

【學生】f，g表示的是不同的對應關系，因此這兩個函數的對應關系不同，不能看成同一個函數.

【教師】y=f(x)可以簡記為f(x)，那么f(x)與f(a)的意義相同嗎？

【學生】f(x)表示y是x的函數，這里x是自變量，y是因變量，f是對應關系；f(a)既可以表示自變量為a、對應關系為f的函數，也可以表示自變量為a時的函數值.

設計意圖：數學抽象符號是其區別于其他學科的本質特征，學生對數學符號含義的理解程度，決定著他們理解數學概念的深度、廣度、靈敏度.以環環相扣的問題落實學生數學抽象的培養，引導學生把握函數概念的本質，引發學生對函數概念更深入的思考，這在一定程度上鍛煉了學生的抽象思維，完善了學生的知識脈絡.

二、數學抽象核心素養下的概念課教學策略探析

(一)概念教學以“先行組織者”為切入口

在概念教學中，教師要輔以必要的引導性材料，即先行組織者，使學生建立起新概念與已有的知識結構之間的聯系，從而使新概念順利融入知識結構中.

在函數概念的教學中，學生對本文開頭提出的問題存在爭議，意識到初中所學的函數概念并不完善.基于此，教師創設情境，在問題中完成從“變量關系語言”到“集合-對應語言”刻畫函數的過渡，從而抽象出函數的概念.先行組織者的設置，不僅使學生實現對概念的再認識，進而在更高的層次上思考問題，促進數學抽象能力的提高，還能使學生實現概念的遷移，進而形成穩定的數學知識結構.

(二)實現由“教教科書”到“用教科書教”的轉變

教科書不是唯一的“范本”，在實際教學中，教師要對教材進行豐富的設計，創設合適的情境，設置合適的問題，使學生循序漸進地從形象化的情境中抽象出概念.

教科書對于函數概念的教學提供了素材，這些素材能充分體現函數的本質.若教師能對素材進行精細的加工，并在關鍵步驟設置合理的問題引導學生思考，則學生能夠循序漸進地從具體的情境、圖象、表格中抽象出函數的概念.高中數學概念相對抽象，教師要合理地使用教科書創設情境，設置循循善誘的問題，把抽象的概念具體化，落實學生抽象素養的培養.

(三)合理應用多元表征教學，降低認知負荷

與單一表征的教學相比，應用多元表征對概念進行教學能引導學生對概念進行更為精細的認知加工，從而促進學生對概念的有效內化.

在函數概念的教學中，除了抽象的符號表征，教師還要對函數賦予情境、圖象、表格等多種外在表征，使學生在各種表征中提取函數的要素，抽象出函數的概念.概念的多元化使學生理解表征的轉換和轉譯，并能從豐富的具象中抽象出數學符號，提升數學理解水平，對概念的學習產生更濃厚的興趣，促進深度學習，從而有效降低認知負荷.

(四)結合信息技術輔助概念教學

信息技術為展現情境、動畫、表格、圖象等提供了最直觀的手段，概念的呈現往往需要借助信息技術來完成.

在函數概念的教學中，教師可以利用信息技術展現表示函數的不同方法，如表格、情境、圖象等，也可以利用信息技術動態展示函數的對應關系，使學生對函數概念中的關鍵詞“任意”“對應”“唯一確定”有更直觀的理解.通過視覺性的沖擊，學生能經歷由具象到抽象的過程，從而更好地提升抽象素養.

三、結語

高中數學概念更具抽象性和復雜性，學生又面臨學業的壓力，但教師不能以這些客觀存在的原因為由，不重視或輕視概念教學.概念是理解數學知識的基石，概念教學是數學教學中非常重要的一環.因此，為了學生的長遠發展和深度學習，教師要通過創設多元的情境，設置合理的問題，輔以必要的信息手段等，構建起概念的抽象及具象間的橋梁，使學生在學習的過程中，把握概念的本質，提升自身的數學抽象素養.