聚焦數學“深度學習” 回歸初函“巧思妙解”
——以三角函數的單調性為例

◎沈利芳

(浙江省湖州市菱湖中學，浙江 湖州 313018)

《普通高中數學課程標準》指出，高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質.教學情境是教師積極主動建構知識框架，創設與學習內容相關的、貼近學生實際生活的真實情景和環境.借助數學主題情境，理解數學概念，解讀初等“真”函數，以變式“真”問題來驅動，觸動學生心靈的“真”教學，是深度教學課堂“真”實踐，是培育學生核心素養“真”途徑.

筆者有幸開設一節市級公開課，本節課選自人教版2019年高中數學必修第一冊(人教A版)第五章“三角函數”第四節“三角函數的圖象與性質”，屬于專題復習課.筆者從復合函數的角度出發，以單調性為主線，以變式教學的方式，探討正弦型函數y=Asin(ωx+φ)的單調性，并由此延伸出最值等問題的解法.課堂教學設計新穎獨特，受到聽課教師的一致好評.筆者在教學反思中無窮回味，并從評課中深受啟發，從而整理成文，與廣大教師分享.

一、聚焦數學“深度學習”

傳統教學重結果輕過程，容易引起學生思維的斷層，從而形成“一講就懂，一聽就會，一做就錯，一放就忘”的尷尬局面.數學抽象作為數學學科的核心素養之一，筆者在初等函數教學中，特別重視數學概念之間、數量之間、圖形之間的關系，并應用變式的轉化，使學生感悟抽象的過程.另外，筆者還注重理性思維訓練，即學生從事物的具體背景中抽象出一般的規律和結構.

1.初遇三角 精見數“深”

三角函數是初等函數的代表，它與代數、幾何、平面向量等有著密切的關聯，從而成為全國各地數學高考試卷中的“重頭戲”，更是學生的失分點.縱觀近兩年全國各地數學高考試卷，關于“三角函數”的考查(表1)，從選擇題、填空題，到解答題，可謂各路英雄集體亮相，“單調性”“取值范圍”“最值”“圖象”等八仙過海各顯神通，凸顯初等函數題的“深”不可測.三角函數作為高頻考點，一線教師需要精通其廣度與深度.筆者以一道改編題為例，展現三角函數的“深”魅力.

表1 近兩年全國各地高考試卷“三角函數”考點統計表

情境一：

圖1 復合函數單調性

【評注】如果直接以整體換元的方法，將括號內的部分當成一個整體，大多學生就只能生搬硬套，知其然而不知其所以然.而從復合函數的角度加以正確的引導與分析，將其轉化為一次函數的單調性和正弦函數的單調性，學生便能利用已學知識理解題目的本質，有一種如魚得水的感覺.

高中數學的教學評價已從聚焦學生知識能力的掌握，轉變為學生核心素養的形成.情境一中關于單調性的有效訓練，能提升學生的學習興趣，并加“深”學生對數學概念的理解，初見數學的學科本質.

2.初變風云 精握數“度”

數學變式教學是項目式學習的一種有效方式，是以某一概念為主題，創設多個情境，設計一連串的問題，從易至難，層層遞進，環環相扣，以啟發式、懸疑式刺激學生思考維度變化的方法.數學試題風云變幻，教師、學生深陷其中，難以自拔，深感“無解”的痛苦與“有解”的快樂，甚至感覺數學課堂“度”日如年.筆者深度了解學情，精準把握單調性變式的尺度與難度，撥開云霧見天日，柳暗花明又一村.

情境二：

【設計意圖】在給定范圍內求單調區間，一直是函數單調性求解的難點.一般思路是先求解函數在實數集范圍內的單調區間，再與給定區間取交集.但學生對于周期的整數倍等概念感覺比較抽象.因此，在例題基礎上限定x的范圍，由x的范圍得到t的范圍，會使學生更容易理解和接受.最值的求解過程也充分體現了函數最值的本質就是單調性.同時，通過最值的求解，學生體會了正弦函數圖象的重要性.

變式題，千變的情境，萬異的設問.教師跳進題海，學生跳出題海.教師要以學生的“最近發展區”為落腳點，優選典型變式例題，研究數量與圖形的關系，提高學生的參與“度”，充分體現學生的主體地位，使其初獲數學概念和規則，初成數學方法與思想.

3.初心牢記 精通數“學”

初等函數與生產生活密切相關，是高中數學的精髓所在.但變式不可拘泥于一種題型，要大膽創新，當然也要符合學生的實際需要.筆者牢記數學教學的初心，從數學抽象出發，將例題兩次變式，從數量之間的關系到與圖形之間的關系，關聯單調性與最值，致敬數“學”的獨特魅力.

情境三：

圖2 函數圖象

【設計意圖】如果直接呈現此題，學生會感覺有點突兀，且題目難度有點大.但是，在變式一函數單調區間的基礎上，很容易畫出函數f(x)在給定區間內的大致圖象.教師通過為學生鋪設臺階，讓他們有一種“跳一跳就能夠得到”的感覺，進而達到事半功倍的效果.

從變式一到變式二，變化的情境創設不斷激發學生的求知欲.學生不再“似懂非懂”，不再“消化不良”，而是熟能生巧，學會在聯想中尋求思路，數學課堂從淺層教學走向深度教學，數學抽象素養不再“抽象”.

4.初出茅廬 精熟數“習”

重要的數學概念、規律、模型等均有一個逐漸形成的過程，學生不可能簡單地通過一個情境、一個問題就可以完全理解.為了讓學生舉一反三，教師需要趁熱打鐵、乘勝追擊，將主題教學進行到底，展開深度探究，從感知圖象，到最值，再到取值范圍，讓學生在思考過程發現真問題，掌握真規律，所謂“學而時習之，不亦說乎”.

情境四：

【設計意圖】該題的設置與例題中的單調區間、最值相對應，有著畫龍點睛、首尾呼應的作用.含參數問題通常具有一定的綜合性，如何由繁化簡是一大難點.通過例題和多次變式，學生已有將函數分解的經驗，因此在面對習題時不會束手無策，能嘗試運用例題的解法來求解，并在解答過程中會有一種豁然開朗的感覺，學“習”能力有了質的飛躍.

縱觀整節課的教學設計，圍繞一個典型例題逐步展開，回歸到初等函數y=sinx，分支為三個變式.教學過程中滲透函數思想與數形結合思想，以三角函數的單調性為主線，演變為利用單調性求最值、作圖象、探究特定條件下的單調區間問題.學生利用數形結合思想解決最值與交點等綜合問題，通過反思—問題生成—探究—解決問題的深度學習過程，培養高階思維能力.

二、回歸初函“巧思妙解”

以單調性為主線，見證三角函數的變式教學，回歸到初等函數的圖象變化.初等函數的變式教學，其結構往往呈直線遞進式，由淺入深，層層鋪開，變式內容的設置始終要遵循學生的思維，逐一變化條件，使學生的思維螺旋式上升.在教學中，教師感悟數學概念形成的抽象過程，回歸初等函數的優化設計時需要凸顯四個方面的教學價值.

1.“巧”用變式，激發學生興趣點

在備課過程中，教師應該有目標地對例題進行靈活轉化，引導學生從三角函數單調性“變”的現象中，探究“不變”的數學本質，在“不變”的本質中發現“變”的規律，進而使學生在有限的變化中領略初等函數概念的無限魅力.變式教學有利于學生積極參與探究過程，能引導學生快樂學習，探索知識的發生、發展的過程，這能極大激發學生的學習興趣，拓展學生的視野，真正體現學生的主體地位.

2.“思”用變式，激活學生思維點

教師要根據新課標制訂教學目標，并結合學情，不斷優化變式題.對于數學學科而言，變式教學是一種值得推崇的教學方式，它能夠避免教學過程中知識、能力、方法的分裂，能讓學生的思維向更寬、更深的方向發展，從而有效提升學生的理性思維能力，培養學生的數學抽象等核心素養.

3.“妙”用變式，突破教學重難點

在“雙減”政策的大背景下，學生跳出“題海”的前提卻是教師必須要跳入“題海”.教師需要在眾多三角函數題中，厘清單調性這條主線，優化教學情境，提煉知識本質，擴充課堂容量，提高課堂效率，達到變式教學的最高境界.教師若能從變化事物的非本質屬性中概括出事物的本質屬性，則將有助于學生琢磨數學概念之間的前因后果，加深學生對數學知識與方法的深刻理解，從而突破初等函數教學的重點與難點.

4.“解”用變數,擊中教學轉折點

數學抽象是數學學科的基本思想，貫串于在數學產生、發展、應用的全過程.以三角函數概念為例，它的形成一共經歷了六個階段(表2).從銳角三角函數的概念，到任意角的三角函數概念，到初等函數的概念，概念的內涵不斷加深、拓展；從“解”三角形，到三角函數的最值、單調性、奇偶性、圖象，從數量關系到空間關系，都需要引入變式教學，實現利用單調性“解”最值到圖象的轉變，擊中每個階段的轉折點，達到本質的飛躍.

表2 三角函數概念形成的六個階段

北京大學姜伯駒院士說：“數學已經從幕后走到臺前，直接為社會創造價值.”數學學科的重要地位已受到全社會的關注.多解、多變是實施數學深度學習的重要措施.將變式教學深度應用到教學中，不僅可以充分挖掘學生的潛能，讓學生對數學思想的認識實現新的飛躍，培養學生的發散性思維、創新意識和創新能力等高階思維能力，而且可以讓學生更全面地透過本質看待數學問題，彰顯與眾不同的數學課堂的魅力，培養學生的數學抽象等學科核心素養.