高中階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略分析

◎周 揚(yáng)

(江蘇省淮安市洪澤湖高級中學(xué)，江蘇 淮安 223100)

眾所周知，數(shù)學(xué)課程具有很強(qiáng)的抽象性及邏輯性，但是如果教師在教學(xué)階段能夠運(yùn)用多元化的教學(xué)方式和手段，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，將會使得學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯思考能力等得到綜合發(fā)展，還能提高學(xué)生的綜合素質(zhì).此外，學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提高了，其優(yōu)勢在其他科目上也能得以體現(xiàn).筆者從以下幾個(gè)方面嘗試提出幾點(diǎn)教學(xué)策略，供教師參考借鑒.

一、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的概念

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)其實(shí)可以定義為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或者學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的某一領(lǐng)域所達(dá)成的應(yīng)當(dāng)具有的特定意義的綜合性能力，核心素養(yǎng)不是指具體的知識與技能、情感態(tài)度與價(jià)值觀,也不是泛指的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指在生活或者學(xué)習(xí)中理解數(shù)學(xué)在自然、社會中的地位和能力，它基于數(shù)學(xué)知識技能，又高于數(shù)學(xué)知識技能.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)反映的是數(shù)學(xué)的思想與本質(zhì)，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中應(yīng)當(dāng)特別關(guān)注.

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識課程標(biāo)準(zhǔn)修訂者認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等六個(gè)方面.

數(shù)學(xué)抽象就是指抽象性，邏輯推理就是指嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)建模就是指應(yīng)用性，直觀想象是幾何問題，數(shù)學(xué)運(yùn)算是代數(shù)問題，數(shù)據(jù)分析是概率統(tǒng)計(jì)問題.

這六個(gè)核心素養(yǎng)既相對獨(dú)立，又互相交融，是一個(gè)有機(jī)的整體.數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)是用數(shù)學(xué)的思維思考世界；數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的終極目標(biāo)是用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

當(dāng)前絕大多數(shù)學(xué)生的主要問題是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的形成與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)主要依賴于數(shù)學(xué)課堂，而數(shù)學(xué)課堂的主要問題就是師生在理解數(shù)學(xué)上不能達(dá)成高度的一致性，一致性不高導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂的參與率不高，導(dǎo)致機(jī)械性訓(xùn)練成為課堂的主要方式，而地毯式的題量轟炸并不能體現(xiàn)數(shù)學(xué)內(nèi)容和思維的本質(zhì)，導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)失去積極性，學(xué)生較為直接的感覺就是對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒有興趣，越來越抵觸.

二、高中階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的意義

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與課程標(biāo)準(zhǔn)直接相關(guān)，與數(shù)學(xué)精神層、數(shù)學(xué)思維層、問題解決層和數(shù)學(xué)四基層緊密相關(guān).

(一)提高學(xué)生數(shù)學(xué)課堂的學(xué)習(xí)效率

新課程標(biāo)準(zhǔn)對教師教學(xué)的有效性和學(xué)生的學(xué)習(xí)效率有了更加嚴(yán)格的要求，這也給教師的教學(xué)帶來了挑戰(zhàn).以往，教師常常利用滿滿的板書來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行機(jī)械記憶或者利用“題海戰(zhàn)術(shù)”進(jìn)行教學(xué)，雖然這種方式對學(xué)生的學(xué)習(xí)有著不錯(cuò)的幫助，但是此方式在某種程度上增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力.教師通過創(chuàng)新教學(xué)方式，將培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，會使學(xué)生在一個(gè)活躍的氛圍下進(jìn)行學(xué)習(xí)的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)效率的提高.

(二)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力

高中學(xué)生往往面臨著高考帶來的壓力，教師在教學(xué)過程中應(yīng)突出學(xué)生的主體地位，并以此為出發(fā)點(diǎn)來培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).基于學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)之下可以衍生出多種多樣的教學(xué)方式，以生成性教學(xué)為例，生成性教學(xué)是生成性思維視角下的教學(xué)形態(tài).而學(xué)生的生成性思維是一種認(rèn)為事物及其本質(zhì)是在發(fā)展過程中生成的而不是在發(fā)展之前就存在的思維模式.因此，生成性教學(xué)的另一種說法可以表示為數(shù)學(xué)教師根據(jù)課堂上的學(xué)習(xí)情況和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)進(jìn)行隨機(jī)的應(yīng)變，從中充分體現(xiàn)出學(xué)生的主體教學(xué)地位.在此背景下產(chǎn)生的這種教學(xué)模式能夠促使教師根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求進(jìn)行針對性的教學(xué)布置，借此提高學(xué)生在課堂上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率，并且能夠加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解以及應(yīng)用，從而間接地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高.

三、高中階段培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的策略

(一)小組探究，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

教師如果能夠通過小組探究的形式開展數(shù)學(xué)教學(xué)，將會使學(xué)生與學(xué)生之間達(dá)到互動與交流，學(xué)生也能夠通過與其他學(xué)生的互動對所學(xué)知識加深印象，當(dāng)然，學(xué)生在小組討論過程中，如果將自己已經(jīng)掌握的知識向其他學(xué)生分享，能夠在回顧已有內(nèi)容的基礎(chǔ)上鍛煉語言表達(dá)能力和協(xié)作能力.此外，數(shù)學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力，因此，教師運(yùn)用小組探究的形式，可以不斷培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

例如，在學(xué)習(xí)“點(diǎn)、線、面”這部分內(nèi)容時(shí)，里面涉及的知識點(diǎn)比較多，教師為了讓學(xué)生能夠?qū)Τ橄蟮臄?shù)學(xué)邏輯有一定的認(rèn)識，首先，可以將班級中的學(xué)生等分為幾個(gè)小組，并且每個(gè)小組都挑選出一名數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績較好且學(xué)習(xí)能力較強(qiáng)的學(xué)生來擔(dān)任組長，組長在此過程中起到監(jiān)督和管理的作用.其次，教師利用多媒體的形式，引導(dǎo)學(xué)生更加直觀地了解這部分內(nèi)容.教師可以向?qū)W生提問，比如圖片上給出兩條線，教師可以根據(jù)線與線之間是平行還是垂直等位置關(guān)系向?qū)W生進(jìn)行講解.此外，教師也可以圖片或者視頻的形式向?qū)W生進(jìn)行直觀的展示，讓學(xué)生判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，讓學(xué)生產(chǎn)生一定的空間想象能力和邏輯思維能力，幫助學(xué)生更好地分析問題和解決問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)：如圖1所示，在四棱錐的底面中，你能找到哪些平行關(guān)系？

圖1

學(xué)生：DC//AB.

問題1：若平面PAB與PCD的交線是l，試判斷直線l與直線AB的位置關(guān)系，你能證明嗎？

學(xué)生：通過交點(diǎn)確定交線，從數(shù)學(xué)抽象的角度去理解直線的位置.

教師：歸納總結(jié)由線線平行推導(dǎo)另一組線線平行的方法.

圖2

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生在復(fù)習(xí)線面平行的判定定理的同時(shí)深刻理解線面平行的性質(zhì)定理，理解線線平行推導(dǎo)線面平行和線面平行推導(dǎo)線線平行的本質(zhì)，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)的同時(shí)掌握認(rèn)知的過程，啟發(fā)學(xué)生思考的同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生與教師、學(xué)生之間進(jìn)行相互交流.

問題2：在PB上是否存在一點(diǎn)E,使得PD//平面ACE?請說明理由.

圖3

學(xué)生：能找到證明的邏輯，但是不能確定點(diǎn)的位置.

教師：啟發(fā)學(xué)生從PD、AC為定直線的角度出發(fā)，抓住兩直線異面的位置關(guān)系，從數(shù)學(xué)上直觀感知在經(jīng)過AC的平面去尋找符合條件的平面，在動態(tài)中確定定向的思維過程.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生直觀感知存在，讓每個(gè)學(xué)生在大腦中經(jīng)過動態(tài)操作，通過假設(shè)存在明確方向，體會線面平行的判定和性質(zhì)可以作為研究空間立體幾何的工具.

(二)信息媒體，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有一部分是理論類型知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)，這一部分的學(xué)習(xí)任務(wù)主要集中在代數(shù)方面，但是還有一部分是幾何類知識點(diǎn)的學(xué)習(xí).集合類知識點(diǎn)中有平面圖形和立體圖形等多種知識點(diǎn)，這部分內(nèi)容雖然看起來簡單，但是學(xué)起來繁雜，如果教師只是借助一塊黑板和一支粉筆，在黑板上進(jìn)行平面圖形或者立體圖形的繪畫，那么，可能難以激發(fā)學(xué)生的空間想象能力.教師可以借助多媒體，對立體圖形和平面幾何圖形進(jìn)行一定的直觀展示，在潛移默化中培養(yǎng)學(xué)生形成直觀想象的核心素養(yǎng).

例如，教師在教學(xué)“空間直角坐標(biāo)系”的過程中可以借助多媒體來幫助學(xué)生掌握知識.這一知識點(diǎn)具有一定的抽象性，學(xué)生對這部分內(nèi)容又是初步接觸，因此，教師可以進(jìn)行空間模擬，在課程開展之前可以將本節(jié)課所要講解的內(nèi)容以微課的形式進(jìn)行播放，讓學(xué)生對本節(jié)課所要講解的內(nèi)容有一個(gè)大致的了解.此外，教師可以通過多媒體課件播放圖片的形式來為學(xué)生具體展示某一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，并且利用圖片還可以將空間模擬的圖形進(jìn)行擴(kuò)大、縮小或者切割來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步對其進(jìn)行了解，使得學(xué)生可以直觀地看到空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建過程，從而培養(yǎng)學(xué)生形成直觀想象素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

圖4

(1)你能寫出D′，C，A′，B′四點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

師生活動：教師展示解題過程，學(xué)生觀看并思考.

追問：(1)點(diǎn)D′，C分別在z軸和y軸上，它們的坐標(biāo)分別有什么特點(diǎn)？你能總結(jié)出x軸、y軸、z軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)嗎？

(2)點(diǎn)A′在Ozx平面內(nèi)，它的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？你能總結(jié)出Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)嗎？

師生活動：教師通過給學(xué)生展示微課內(nèi)容，讓學(xué)生在思考的過程中進(jìn)行探索，從而培養(yǎng)學(xué)生形成直觀想象素養(yǎng).

設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例研究給定點(diǎn)和向量的坐標(biāo)的求解過程，讓學(xué)生掌握求點(diǎn)和向量的坐標(biāo)的一般方法；總結(jié)特殊的點(diǎn)和向量的坐標(biāo)特點(diǎn)，為快速寫出或判斷滿足相應(yīng)條件的點(diǎn)和向量的坐標(biāo)打基礎(chǔ).

問題2：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，

(1)哪個(gè)坐標(biāo)平面與x軸垂直？哪個(gè)坐標(biāo)平面與y軸垂直？哪個(gè)坐標(biāo)平面與z軸垂直？

(2)你能寫出點(diǎn)P(2，3，4)在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)嗎？

(3)你能寫出點(diǎn)P(1，3，5)關(guān)于x軸、y軸、z軸、原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)嗎？

師生活動：教師通過給學(xué)生展示微課內(nèi)容，讓學(xué)生在思考的過程中進(jìn)行探索，從而培養(yǎng)學(xué)生形成直觀想象素養(yǎng).

追問：(1)若給定空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)P(x，y，z)，你能總結(jié)出點(diǎn)P在三個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)的一般形式嗎？

(2)若給定空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)P(x，y，z)，你能總結(jié)出與點(diǎn)P關(guān)于x軸、y軸、z軸、原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的一般形式嗎？

設(shè)計(jì)意圖：鞏固學(xué)生對空間直角坐標(biāo)系的理解和掌握程度，并總結(jié)點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影的坐標(biāo)，以及點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)的一般形式.

直觀想象指的是利用空間想象和幾何圖形的直觀感覺去感知事物的具體形態(tài)與變化，主要是利用圖形去解決相關(guān)的問題.教師在確定空間直角坐標(biāo)系這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，首先就要確定向?qū)W生滲透的是要培養(yǎng)什么素養(yǎng).教師可以通過滲透過點(diǎn)向平面作垂面的方法或者向平面作垂線的方法，在學(xué)生理解了空間直角坐標(biāo)系的本質(zhì)后，再培養(yǎng)學(xué)生直觀想象的素養(yǎng).不論是簡單的認(rèn)識空間直角坐標(biāo)系還是利用空間直角坐標(biāo)系去解決問題，都能直接培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)，所以，教師在進(jìn)行這一節(jié)內(nèi)容的教學(xué)時(shí)，要學(xué)會指引學(xué)生通過發(fā)現(xiàn)圖形與數(shù)量的關(guān)系，用圖形的性質(zhì)解決與之相關(guān)的數(shù)學(xué)問題.

(三)生活案例，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

數(shù)學(xué)知識來源于生活并且服務(wù)于生活，通過生活總結(jié)出相應(yīng)的規(guī)律，形成自然科學(xué)或者社會科學(xué).因此，教師可以在教學(xué)過程中，盡量貼近現(xiàn)實(shí)生活，通過生活案例，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

譬如，教師在課程講解中布置了一道題：一年一度的中秋節(jié)來臨，某某超市為增加營業(yè)額，促進(jìn)消費(fèi)，推出了如下優(yōu)惠：第一，滿500元打9折，滿1000元打8.5折，2000元以上打8折；第二，每滿100元減10元.哪種方式更優(yōu)惠？學(xué)生通過與實(shí)際生活中的例子進(jìn)行對比，比如買500元的東西，用第一種方式打9折是450元，用第二種方式是減50元，也是450元.如果買1000元的東西，用第一種方式是850元，用第二種方式是900元，由此得出結(jié)論，1000元以下兩種方式優(yōu)惠力度一樣，1000元以上通過第一種方式更優(yōu)惠.通過這個(gè)實(shí)例，學(xué)生清楚地感受到了數(shù)學(xué)知識在實(shí)際生活中的應(yīng)用，從而有效培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).

(四)遞進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)

高中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力存在一定的差異性，因此，為了使班級中的每一位學(xué)生都能掌握屬于自己的知識，教師可以采取分層教學(xué)的方式，將知識點(diǎn)以由簡到難、由淺入深的方式傳授給學(xué)生.

例如，在“等差等比數(shù)列”相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過程中，教師可以采用分層教學(xué)的方式來為學(xué)生進(jìn)行知識點(diǎn)的講述.教師可以先讓學(xué)生進(jìn)行等差等比數(shù)列的思維記憶，然后再去深層次地挖掘數(shù)列的本質(zhì).

例1在數(shù)列{an}中，a1=1,an+1=an+2n-1,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

設(shè)計(jì)意圖：如果在數(shù)列中，不是一個(gè)常數(shù)，那該如何求它的通項(xiàng)公式呢？這時(shí)學(xué)生就會用累加法求出通項(xiàng)公式，同時(shí)學(xué)生可以通過對比發(fā)現(xiàn)本例題所蘊(yùn)含的規(guī)律，從而產(chǎn)生探究的欲望.

接著，教師會拋出下一個(gè)問題：如果p≠1,f(n)為常數(shù)，我們又該怎么解決呢？這樣就可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去探索下一個(gè)問題.

例2設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2an-1+3=0(n≥2).試判斷{an+1}是否為等比數(shù)列？如果是，請求出通項(xiàng)公式；如果不是，請說明理由.

設(shè)計(jì)意圖：本題已經(jīng)考慮到學(xué)生會繼續(xù)使用累加法去求通項(xiàng)公式，但是本題不是簡單地運(yùn)用累加法就能求出答案了，所以教師可換個(gè)提問方式，先讓學(xué)生判斷構(gòu)造的一個(gè){an+1}數(shù)列是否為等比數(shù)列，這樣既可以給學(xué)生一個(gè)新的方向，也能激發(fā)學(xué)生的興趣.

本題探索后，我們可以有這樣的結(jié)論：該數(shù)列遞推關(guān)系是an=-2an-1-3，滿足an+1=-2(an-1+1)，由此我們可以直接構(gòu)造an+c0=p(an-1+c0)(本題p=-2).

例3數(shù)列{an}滿足a1=-1,且an=3an-1-2n+3(n≥2),

(1)求a2,a3,并證明數(shù)列{an-n}為等比數(shù)列；

(2)求an.

設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)一步強(qiáng)化，本題依然選擇讓學(xué)生證明{an-n}為等比數(shù)列，從而求通項(xiàng)公式，(1)(2)問設(shè)置有梯度，所以本題容易解決.本題和上題類似，所以，教師這時(shí)候就需要引導(dǎo)學(xué)生再換一種方法，通過對遞推關(guān)系式的兩邊進(jìn)行直觀觀察，我們發(fā)現(xiàn)，此時(shí)p=3，所以有部分同學(xué)就會構(gòu)造an+c0=p(an-1+c0)，但是這樣去做，問題是無法解決的.這時(shí)候?qū)W生就會產(chǎn)生疑問，到底這兩題的本質(zhì)有什么不同呢？一般的同學(xué)是不會想到這個(gè)問題的，因?yàn)樗麄円呀?jīng)產(chǎn)生了畏難的情緒，這時(shí)教師的主導(dǎo)地位就得到了體現(xiàn).教師可以將問題進(jìn)一步簡化，直接比較等號右邊.教師可以放手讓學(xué)生進(jìn)行討論，再加以適時(shí)的點(diǎn)撥，學(xué)生會恍然大悟，上一題中p≠1，f(n)為常數(shù)，而本題中p≠1，f(n)不為常數(shù).問題的關(guān)鍵已然找到，下面就是讓學(xué)生獨(dú)立思考，究竟如何去設(shè)，才能使問題得到解決.我相信，有部分?jǐn)?shù)學(xué)素質(zhì)較好的同學(xué)會試著探求，如果構(gòu)造an+(c1n+c0)=3[an-1+(c1n+c0)]會不會解決問題，但是很快他們會發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造an+(c1n+c0)=3{an-1+[c1(n-1)+c0]}才能命中要害.

本題探索后，我們可以有這樣的結(jié)論，該數(shù)列的遞推關(guān)系是an=3an-1-2n+3，滿足an-n=3[an-1-(n-1)]，我們可以直接構(gòu)造an+(c1n+c0)=p{an-1+[c1(n-1)+c0]}(此時(shí)p=3).

通過探索、分析，教師要讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，我們從事研究活動本來就會有失敗的可能，但重要的是對思維過程的訓(xùn)練和逐步培養(yǎng)的從活動中提煉本質(zhì)的能力，這也包含了從整體到局部，從特征到一般的邏輯思維.

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)不是一蹴而就的，教師需要堅(jiān)持不懈地來對學(xué)生進(jìn)行正確的引導(dǎo)，從而幫助學(xué)生提升學(xué)習(xí)能力.另外，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)不斷提升自身的專業(yè)素養(yǎng)，通過為學(xué)生創(chuàng)新教學(xué)方式來進(jìn)行教學(xué)，還可以借助互聯(lián)網(wǎng)的形式進(jìn)行課程教學(xué)，從而不斷提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)和數(shù)學(xué)綜合能力.