核心素養(yǎng)下的高中數(shù)學(xué)新舊教材比較分析
——以三角函數(shù)中的“誘導(dǎo)公式”為例

◎林巧婷 謝加良 劉小輝

(集美大學(xué),福建 廈門 361021)

一、引言

2014年,教育部發(fā)布《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》,第一次提出“核心素養(yǎng)體系”的理念.2018年,教育部頒布《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》(以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”),明確提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).2020年,依據(jù)新課標(biāo)編寫的新版高中數(shù)學(xué)教材正式在福建省投入使用，這是一套以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的新教材.因此,比較分析高中數(shù)學(xué)新舊教材的差異,挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在新教材中的滲透,是擺在一線教師面前的首要任務(wù).

在數(shù)學(xué)教育的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是極其重要的.本文以三角函數(shù)中的“誘導(dǎo)公式”一節(jié)為例,以挖掘數(shù)學(xué)教材中的核心素養(yǎng)為主線,從課標(biāo)要求和教材內(nèi)容兩個(gè)維度出發(fā),分析總結(jié)了2019版的《普通高中教科書·數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)(A版)》(以下簡(jiǎn)稱“新教材”)與2004版的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)必修4(A版)》(以下簡(jiǎn)稱“舊教材”)的差異.首先，在課標(biāo)要求方面,對(duì)“誘導(dǎo)公式”這一節(jié)對(duì)應(yīng)的新舊課標(biāo)要求進(jìn)行比較分析,以此說(shuō)明新課標(biāo)更加重視對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).其次，在教材內(nèi)容方面,從導(dǎo)入、探究、概念、小結(jié)、習(xí)題五個(gè)部分入手,梳理總結(jié)兩者的異同點(diǎn),解讀新舊教材變化的原因,挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)在新教材中的滲透,幫助一線教師理解新教材,重視在教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),以提高自己的教學(xué)質(zhì)量.

二、課標(biāo)要求

課程標(biāo)準(zhǔn)是指導(dǎo)教科書編寫的官方性文件,為教科書的編寫提供了重要依據(jù).所以,不同的課程標(biāo)準(zhǔn)必然導(dǎo)致不同版本的教科書內(nèi)容上的差異.因此,為了分析新課標(biāo)下教學(xué)理念的變化,我們首先以三角函數(shù)中的“誘導(dǎo)公式”為例,分析其對(duì)應(yīng)的新舊課標(biāo)要求,結(jié)果發(fā)現(xiàn)，新課標(biāo)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重視程度在逐漸增加.

誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)方法從借助單位圓的三角函數(shù)線轉(zhuǎn)化為借助單位圓的對(duì)稱性,這種變化本質(zhì)上是為了強(qiáng)調(diào)三角函數(shù)的性質(zhì)是單位圓幾何性質(zhì)的代數(shù)化,突顯了直觀想象素養(yǎng)的重要性.而直觀想象素養(yǎng)是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一.因此,從上面的分析來(lái)看,新課標(biāo)確實(shí)更重視學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

三、教材內(nèi)容

本章我們?nèi)砸匀呛瘮?shù)中的“誘導(dǎo)公式”為例,依次從導(dǎo)入、探究、概念、小結(jié)、習(xí)題五個(gè)方面入手,具體分析新舊版本教材內(nèi)容上的異同點(diǎn),進(jìn)一步解讀新舊教材變化的原因,探究新課標(biāo)下教學(xué)理念的變化.

(一)相同點(diǎn)

公式導(dǎo)入思路基本一致:圓的最重要的性質(zhì)是對(duì)稱性,而對(duì)稱性(如奇偶性)也是函數(shù)的重要性質(zhì),因此，新舊教材都借助單位圓的對(duì)稱性研究三角函數(shù)的對(duì)稱性.所以，新舊教材在這節(jié)課都采用復(fù)習(xí)導(dǎo)入的形式,由函數(shù)的奇偶性聯(lián)系到三角函數(shù)的對(duì)稱性,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的銜接.這種導(dǎo)入方式培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力,提高了學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

公式推導(dǎo)思路基本一致:新舊教材都是借助單位圓的對(duì)稱性,首先將角之間的關(guān)系(數(shù))映射在角的終邊的對(duì)稱關(guān)系(形)上,然后再推導(dǎo)出角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)(數(shù))之間的關(guān)系,最后得到它們的三角函數(shù)值之間的關(guān)系表達(dá)式,也就是誘導(dǎo)公式.新舊教材都是借助誘導(dǎo)公式(數(shù))與單位圓(形)的緊密結(jié)合進(jìn)行公式的推導(dǎo).這種推導(dǎo)思路滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解了知識(shí)內(nèi)容.

公式轉(zhuǎn)化思路基本一致:新舊教材的公式轉(zhuǎn)化思路基本一致.下面以教材中任意角的正弦函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的正弦函數(shù)值的思路為例,用流程圖的方式進(jìn)行說(shuō)明.

由圖1可知,任意負(fù)角的三角函數(shù)可以通過(guò)公式三或公式一轉(zhuǎn)化為任意正角的三角函數(shù);任意正角的三角函數(shù)可以通過(guò)公式一轉(zhuǎn)化為[0，2π]內(nèi)的角的三角函數(shù);[0，2π]內(nèi)的角的三角函數(shù)可以通過(guò)公式二或公式四轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù).新舊版本的高中數(shù)學(xué)教材在此部分的內(nèi)容上基本一致.這種轉(zhuǎn)化思路培養(yǎng)了學(xué)生的化歸思想,幫助學(xué)生學(xué)會(huì)舉一反三,靈活運(yùn)用公式,提高了學(xué)生全面發(fā)展的綜合素質(zhì).

圖1 公式轉(zhuǎn)化思路流程圖

(二)差異點(diǎn)

本章主要比較分析了新舊教材教學(xué)內(nèi)容上的具體差異,深入挖掘教材變化的原因,為今后一線教師理解和使用教材提供一定的幫助.

如表1所示,新舊教材的內(nèi)容主要在探究、概念、小結(jié)、習(xí)題等部分存在明顯差異,下面分別做具體的分析.

表1 新舊版本“誘導(dǎo)公式”教材內(nèi)容的差異

1.探究部分

通過(guò)對(duì)比,我們發(fā)現(xiàn)新教材的探究活動(dòng)明顯增加，如在三角函數(shù)“誘導(dǎo)公式”這一節(jié)內(nèi)容中,舊教材只有一個(gè)探究框(探究公式二至公式五),而新教材有三個(gè)探究活動(dòng)(分別是探究公式二至公式四、公式五、公式六).新舊教材對(duì)公式二至公式五的探究思路基本一致,但新教材卻把它們分成了兩個(gè)探究活動(dòng).看似多此一舉,實(shí)際上大有深意.有了前面公式二至公式四的探究活動(dòng)的鋪墊,學(xué)生才有可能自主推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式五.設(shè)置對(duì)公式五的探究活動(dòng)是為了讓學(xué)生類比前面的探究活動(dòng)的推導(dǎo)過(guò)程,進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)研究方法,鍛煉學(xué)生的邏輯推理能力.由此可見,在新教材中增加探究活動(dòng),其目的是增強(qiáng)學(xué)生的自主探究能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

2.概念部分

刪除這些概括內(nèi)容的意義在于讓學(xué)生理解性地記憶誘導(dǎo)公式,自己歸納總結(jié)運(yùn)用誘導(dǎo)公式的訣竅,幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到:重要的數(shù)學(xué)結(jié)論往往都是“看”,也就是觀察出來(lái)的,而不是靠死記硬背公式記住結(jié)論.從觀察到歸納出數(shù)學(xué)結(jié)論則鍛煉了學(xué)生的直觀想象能力.直觀想象能力是指以幾何圖形為載體,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,借助幾何直觀理解和描述問(wèn)題.因此,新教材刪除所有誘導(dǎo)公式的概括表達(dá),其目的是培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力,提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng),讓學(xué)生自己借助單位圓理解記憶誘導(dǎo)公式的內(nèi)容.

3.小結(jié)部分

通過(guò)對(duì)比,我們發(fā)現(xiàn)，新舊教材在小結(jié)部分也略有差異.如在利用公式一至四把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟部分,舊教材只提出:“上述步驟體現(xiàn)了由未知轉(zhuǎn)化為已知的化歸思想.”而新教材總結(jié)到:“數(shù)學(xué)史上,求三角函數(shù)值曾經(jīng)是一個(gè)重要而困難的問(wèn)題,數(shù)學(xué)家制作了銳角三角函數(shù)表,并通過(guò)公式一～公式四,按上述步驟解決了問(wèn)題.”

4.習(xí)題部分

由此可見,新教材在習(xí)題部分做了以上三個(gè)方面的修改,其目的是培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和整體思想,強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的銜接,進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

四、結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)新舊教材中三角函數(shù)“誘導(dǎo)公式”這一節(jié)內(nèi)容的比較發(fā)現(xiàn)，新舊教材的公式導(dǎo)入、推導(dǎo)、轉(zhuǎn)化思路基本一致.但與舊教材相對(duì)比,新教材增加了探究活動(dòng),改變了公式六的推導(dǎo)過(guò)程,刪除了所有公式的概括表達(dá),加強(qiáng)了數(shù)學(xué)文化的滲透,在習(xí)題部分也有所增減.這些變化突顯了新教材培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力,弱化學(xué)生對(duì)誘導(dǎo)公式的代數(shù)運(yùn)算,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的重視,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的意圖.

新課標(biāo)指出,數(shù)學(xué)教育要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).基于上述理念和比較結(jié)果,我們可以構(gòu)建包括導(dǎo)入、探究、概念、小結(jié)、習(xí)題五個(gè)部分的課堂教學(xué)模式.

(一)復(fù)習(xí)導(dǎo)入,創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境,啟發(fā)學(xué)生思考

在導(dǎo)入部分,教師要緊扣數(shù)學(xué)知識(shí)的現(xiàn)實(shí)背景,創(chuàng)設(shè)好的問(wèn)題情境,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考.從研究對(duì)象的現(xiàn)實(shí)背景出發(fā),創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問(wèn)題情境,引導(dǎo)學(xué)生思考,鍛煉學(xué)生從問(wèn)題情境中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力,進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,因此，教師要借助環(huán)環(huán)相扣的問(wèn)題,在啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考的過(guò)程中,幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的提升和數(shù)學(xué)思維的突破.在本節(jié)課中,教師首先要解釋清楚為什么要利用圓的對(duì)稱性研究三角函數(shù)的對(duì)稱性,讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈,然后再以問(wèn)題為導(dǎo)向,啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考,推動(dòng)學(xué)生的自主探究活動(dòng).

(二)重視探究,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維,發(fā)展邏輯推理

在探究部分,教師要重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).在教學(xué)過(guò)程中,教師要重視探究環(huán)節(jié)和核心素養(yǎng)的培養(yǎng),應(yīng)該靈活運(yùn)用教材,設(shè)置多種形式的探究活動(dòng),讓學(xué)生借助已有的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),自主完成學(xué)習(xí)任務(wù),真正實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提高.在本節(jié)課中,教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深層次的思考,自主推理論證誘導(dǎo)公式,實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的突破.誘導(dǎo)公式的三個(gè)探究活動(dòng)層層遞進(jìn),教師要利用好這些活動(dòng)之間的內(nèi)在聯(lián)系.教師要引導(dǎo)學(xué)生在探究活動(dòng)1的基礎(chǔ)上,通過(guò)類比的方法,發(fā)現(xiàn)單位圓內(nèi)其他對(duì)稱形式的坐標(biāo)關(guān)系,自主完成探究活動(dòng)2和3.

(三)闡明概念,加深公式理解,發(fā)展直觀想象

在概念部分,教師要幫助學(xué)生加深對(duì)公式的理解,發(fā)展學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).因?yàn)橹匾臄?shù)學(xué)結(jié)論往往都是“看”出來(lái)的,也就是觀察出來(lái)的,而不是靠死記硬背公式記住結(jié)論.所以，教師要教會(huì)學(xué)生“怎么看”,要在教學(xué)過(guò)程中鍛煉學(xué)生觀察圖形或者利用圖像歸納出數(shù)學(xué)結(jié)論的能力.在本節(jié)課中,教師在闡明概念的同時(shí)也要讓學(xué)生以單位圓為載體,借助直觀想象,自己嘗試建立各組公式與圖形之間的聯(lián)系,加深對(duì)公式的理解,在理解的基礎(chǔ)上利用單位圓記憶誘導(dǎo)公式.

(四)課堂小結(jié),構(gòu)建知識(shí)體系,滲透數(shù)學(xué)文化

在小結(jié)部分,教師要構(gòu)建完整的知識(shí)體系,滲透數(shù)學(xué)文化和社會(huì)主義核心價(jià)值觀.首先，教師要抓住銳角三角函數(shù)這個(gè)點(diǎn),展開說(shuō)明任意角的三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系以及誘導(dǎo)公式在聯(lián)系它們時(shí)所起到的作用.其次,教師要在總結(jié)中幫助學(xué)生把前后涉及的數(shù)學(xué)內(nèi)容串聯(lián)起來(lái),幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,構(gòu)建一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.同時(shí),教師要在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)文化和正確的社會(huì)主義核心價(jià)值觀,真正做到貫徹立德樹人的教育理念.

(五)利用習(xí)題,歸納解題步驟,形成通性通法

在習(xí)題部分,教師要利用習(xí)題幫助學(xué)生歸納解題步驟,形成通性通法.首先，教師要幫助學(xué)生梳理利用誘導(dǎo)公式解題的求解過(guò)程,提高面對(duì)題目選擇合適的公式的能力.其次,在歸納完解題步驟后,教師要注重培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)一道題解決一類問(wèn)題的思想方法,即通性通法.