構造幾何圖形 妙解代數問題

◎楊詩婷 馬紹文

(云南師范大學，云南 昆明 650500)

一、前言

“數學思想是數學的生命，是數學的靈魂”.其中數形結合思想是解題中常用的思想，數抽象而形式化，形具體而形象化.數與形對應的思維是分析性思維和視覺化思維，這兩種思維在數學解題中都是非常重要的，它們在數學解題中相互作用，互為補充.

數形結合思想一般分為兩種，一種是由“形”到“數”的轉換，即將幾何問題轉化為代數問題，將復雜的問題簡單化；另一種則是由“數”到“形”的轉換，將代數問題轉化為幾何問題，使問題變得直觀易懂.構造圖形解決代數問題是數形結合思想的具體應用之一，對于復雜的代數問題，構造特殊的幾何圖形，將問題和條件直觀地展示出來，化繁為簡，便于解決問題.本文將通過4個典型例題，分析妙用斜率公式、距離公式和余弦定理構造圖形解決代數問題的方法.

二、妙用斜率公式

其中tanα=-y，

整理得3y2+8y+3≤0，

解法二

分析題中的函數可以看作點A(cosx，sinx)和點B(-2，2)所在直線的斜率，則問題就轉換為求直線AB斜率的取值范圍.點A(cosx，sinx)是單位圓上的任意點，點B是定點，構造圖形(如圖1)，觀察圖形發現當直線AB與單位圓相切時，直線AB的斜率取最值.故求出直線AB與單位圓相切時直線AB的斜率即可解決問題.

圖1

如圖1所示.

設直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為kx-y-2k-2=0.

因為直線AB與單位圓相切，

所以圓心O到直線AB的距離為1，

評注：解法一用代數法解決該題，解法二則利用數形結合解決該題.二者的區別在于解法一需要將題目所給函數轉換為正弦函數，利用正弦函數的性質得到不等式進行解題，而解法二則利用圖形直接得到結果.所以解法二較為簡便.

分析求函數值域的常用方法有單調性法、換元法和導數法，但是題目中所給的函數式是分式，所以換元后還是分式，求導也會將題目復雜化，函數的單調性也不容易判斷，因此利用斜率公式構造圖形來求解.其中y可以看成是點A(-2，1)與點B(x2，3x2)所在直線的斜率，則問題就轉換為求直線AB斜率的取值范圍.

解y可看成是點A(-2，1)與點(x2，3x2)所在直線的斜率，設x′=x2，y′=3x2，則y′=3x′(x′≥0).

故原函數的值域即為點A(-2，1)與直線y′=3x′(x′≥0)上的點(x′，y′)所在直線的斜率的取值范圍.

如圖2，作射線AC與直線y′=3x′(x′≥0)平行，易得kOA≤y

圖2

三、妙用距離公式

(一)妙用兩點間距離公式

設點A(3，2)，點B(0，1)，點C(x，x2)，如圖3所示.

圖3

此時問題轉換為求線段AC和BC長度之差的最大值.

由圖易知AC-BC≤AB，

當點C運動到點P時，AB取得最大值，

解如圖4所示，f(x，y)表示在平面直角坐標系中的動點P(x，y)到定點A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(1，1)的距離之和.

圖4

在△APD中，PA+PD≥AD，當且僅當點P在AD上時等號成立，

在△CPB中，PC+PB≥BC，當且僅當點P在BC上時等號成立，

(二)妙用點到直線的距離公式

例5已知x，y∈R且x2+y2-2x-2y-2≤0，求|x+y+3|的最值.

分析題中待求的式子有絕對值并且有兩個變量，用代數方法求該式時首先要去絕對值.因為有兩個變量，所以考慮利用平方法去絕對值，但是轉換之后式子更加復雜，所以利用代數方法解決該題較困難.觀察發現題目中|x+y+3|與點到直線的距離公式相似，同時不等式可以恒等變換為(x-1)2+(y-1)2≤4，即以點A(1，1)為圓心，半徑為2的圓內或圓上的任意點到直線x+y+3=0的距離，于是結合點到直線的距離和不等式的幾何意義構造圖形解決問題.

解x2+y2-2x-2y-2≤0可化為(x-1)2+(y-1)2≤4，

圖5

四、妙用余弦定理

如果題目中出現或者經過恒等變換后出現形如x2+y2-mxy(其中m=2cos〈x，y〉)的式子，則可以結合余弦定理a2+b2-2abcosC構造圖形解決問題.

分析該題求證的結論很復雜，直接用基本不等式法求證很難.求證不等式的常規方法：先算出不等式左邊的最小值，然后再算出不等式右邊的最大值，最后將二者進行比較.而不等式中的式子都含有根號，這樣解決會使問題復雜化，所以該問題難以用代數方法證明.觀察不等式中的式子，從整體性出發，可以聯想到“三角形兩邊之和大于第三邊”，而第一個被開方數類似于勾股定理的形式，后面兩個被開方數的形式則與余弦定理很相似.所以構造與題意相符的三角形來解決問題.

證明如圖6，構造一個四邊形ACBD，使AB，AC，AD的長分別是x，y，z,并且∠BAC=90°，∠BAD=60°.

圖6

在△ABD中，由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=x2+z2-xz，

在△BCD中，BC+BD>CD,

當B點在CD上時，有BC+BD=CD,

圖7

當B，C兩點均在AD上時取等號，

五、小結

通過對例題的分析和解答，可以發現利用數形結合思想解決代數問題很直觀，而且容易理解，同時避免了繁雜的代數運算.但是這種方法有一定的局限性，如果圖形不準確、不完整就會導致解答過程出現錯誤，所以在使用這種方法的過程中要注意圖形的準確性和完整性.另外，通過構造圖形解決代數問題時，學生需要深刻理解題目，并建立舊知與問題之間的聯系.面對具體問題，學生要從不同角度去分析，這樣就會使學生對問題的條件、結論以及它們之間的聯系和轉化方式有了多角度的理解，從而對條件、結論有不同形式的表達，形成多樣化的解題方法,進而在解題時達到事半功倍的效果.

總之，數形結合是一種科學的、高效的解題方法，本文分析的“以形解數”的解題方法蘊含數形結合思想.若學生能夠將數形結合思想運用到解題中，這將是對學生思維的一種開拓，會使學生在深刻理解知識的同時高效地學習.