關于次可加數列的若干注記

◎江蔓蔓

(廣州航海學院基礎教學部(人文社科部)，廣東 廣州 510725)

1 引言

數列極限的存在性證明是高等數學中的常見問題，也是學生學習過程中的難點.次可加數列是數學中常見的一類數列.本文以次可加數列關于其項數之比的極限存在性問題為例，分析如何利用上下極限與下確界來證明數列極限的存在性.本文的第二部分以泛函分析中線性算子的譜半徑以及動力系統中單位圓周的保向自同胚的旋轉數這兩個概念為例，說明次可加數列在數學中的重要作用.

2 次可加數列的極限性質及其兩種證明方法

證法一(上下極限)：我們固定一個正整數k.

對于任意的正整數n，都存在唯一的整數p，r，使得n=pk+r并且0≤r≤k-1.

不難看出，當n趨于無窮大時，p也趨于無窮大.

令R=max{ai:0≤i≤r-1}.我們有如下關系：

(1)

令n→∞，并對不等式(1)的左右兩邊取上極限可得：

由于k可取為任意正整數，

令k→∞，并對上式左右兩邊取下極限可得：

事實上，將n表示成奇偶形式：n=2p+r，其中r∈{0，1}.

因此，我們有如下關系：

接下來我們考慮A為有限值的情形.根據下確界的定義，對于任意ε，存在正整數k，使得：

(2)

對于任意的正整數n，存在唯一的整數p，r，使得n=pk+r并且0≤r≤k-1.

不難看出，當n趨于無窮大時，p也趨于無窮大.

令R=max{ai:0≤i≤r-1}.我們有如下關系：

注2：比較上述給出的兩種方法：定義法相對于上下極限法的優勢在于目標明確，不足之處在于需要事先猜測可能的極限值.在大多數情況下，數列極限值并不明確，也不易猜測.相比之下，上下極限法則不需要猜測極限值.同時，數列的上極限與下極限總是存在的.因此，對于上下極限法，我們所需要的是證明這兩者相等.

3 應用

次可加現象在數學中非常常見，比如我們熟知的三角不等式(對于平面上任意三點A，B，C，A到C的距離不大于A到B的距離與B到C的距離之和)以及測度的次可加性(可測集A與B之并的測度不大于A的測度與B的測度之和).次可加數列廣泛應用于泛函分析、動力系統、遍歷論、隨機過程等現代數學分支.本文以旋轉數與譜半徑為例加以說明.

3.1 旋轉數

由于F:R1→R1是f:S1→S1的提升映射，因此F(x+1)=F(x)+1.由于f:S1→S1保持定向，因此若x,y∈R1滿足x-y≤1，則有F(x)-F(y)≤1.由此可知，若x-y≤k，則Fm(x)-Fm(y)≤k.由遞推可知：

Fm(x)-Fm(y)≤k(?x-y≤k)

(3)

對于所有非負整數m與k都成立.令kn(x)表示Fn(x)-x的整數部分(即不超過Fn(x)-x的最大整數)，則Fn(x)-x≤kn(x)+1≤Fn(x)-x+2.從而有：

Fm+n(x)-x=(Fm(Fn(x))-Fm(x))+(Fm(x)-x)

≤kn(x)+1+(Fm(x)-x)

≤(Fn(x)-x)+2+(Fm(x)-x).

因此數列{Fn(x)-x+2}n≥1是次可加數列.

對于任意x,y∈R1，記M為不小于|x-y|的最小整數，

則|x-y|≤M.由(3)式可知|Fn(x)-Fn(y)|≤M對于任意非負整數n都成立.從而：

綜上，保向自同胚映射f:S1→S1的旋轉數是良好定義的.

3.2 譜半徑

注意到如下關系：

||Am+n||≤||Am||·||An||.

對上式兩邊取對數可得：

lg||Am+n||≤lg||Am||+lg||An||.

4 結語

次可加數列是數學中非常常見的一類數列，本文從上下極限與下確界兩個角度證明了次可加數列關于其項數之比的極限存在性.同時，本文還選取了譜半徑與旋轉數這兩個概念來說明次可加數列的應用，以加深學生對次可加數列的理解.