齊次多項式正定性的新判定準則

趙鵬程,王 峰

(貴州民族大學 數據科學與信息工程學院,貴州 貴陽 550025)

結構張量在圖像處理、醫學降噪和彈性摩擦等問題中有著重要應用價值.[1-4]尤其是H-張量,因其在數值分析上的重要作用,其理論、性質及迭代算法受到眾多學者的廣泛研究.[5-10]同時,多元偶次齊次多項式在諸多問題中有著廣泛的應用,[11-18]其正定性的判定受到越來越多的關注.本文借助H-張量來判定齊次多項式的正定性,并用數值算例表明了所得結論的有效性．

1 預備知識

用R(C)表示實(復)數集,N=[n]={1,2,…,n} .m階n維實(復)張量A=(ai1i2…im)由nm個實(復)元素構成,其中ai1i2…im∈R(C),ij∈N,j∈[m].對m階n維張量A=(ai1i2…im),若存在數λ和非零向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn,使得Axm-1=λx[m-1],則稱λ為A的特征值,x為對應于λ的特征向量,其中Axm-1和x[m-1]的第i個分量分別是:

若ai1i2…im=aπ(i1i2…im),?π∈Πm,則稱A=(ai1i2…im)是對稱的,其中Πm為m個指標的置換群.稱I=(δi1i2…im)為單位張量,其中:

設f(x)是一個m階n次齊次多項式,其中:

若對:

則稱f(x)是正定的.f(x)可表示為m階n維對稱張量A與xm的乘積,[1]如:

當f(x)是正定時,對稱張量A也是正定的.

定義1[7]設A=(ai1i2…im)是m階n維張量,若存在正向量x=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,使得:

則稱A是H-張量.

定義2[4]設A=(ai1i2…im)是一個m階n維張量,若存在非空子集I ?N,使得:

則稱A是可約的.否則,稱A是不可約的.

定義3[8]設A=(ai1i2…im)是一個m階n維張量,若存在指標k1,k2,…,kr,使得:

其中k0=i,kr+1=j,則稱A中有一條從i到j的非零元素鏈.

引理1[5]若A=(ai1i2…im)是嚴格對角占優的,則A是H-張量.

引理2[9]設A=(ai1i2…im)是m階n維張量.如果存在正對角矩陣X,使得AXm-1是H-張量,則A是H-張量.

引理3[5]設A=(ai1i2…im)是m階n維張量且不可約.若:

且至少有一個嚴格不等式成立,則A是H-張量.

引理4[8]設A=(ai1i2…im)是m階n維張量.若:

(i)|aii…i|≥ri(A), ?i∈N;

(ii)N3={i∈N:|aii…i|>ri(A)}≠?;

(iii)?i?N3,從i到j存在一個非零元素鏈,使得j∈N3;

則A是H-張量.

2 主要結果

給出如下記號:設A=(ai1i2…im)是一個m階n維張量,記:

下面,給出H-張量新的判定不等式.

定理1 設A=(ai1i2…im)是一個m階n維張量.若:

則A是H-張量.

證明:設:

構造正對角陣D= diag(d1,d2,…,dn),記B=ADm-1=(bi1i2…im),其中:

由yi,θ及ε的定義知di< 1(i∈N2∪N3).下面,證明B是嚴格對角占優的.

(i)對?i∈N1,當時,由(1)式得:

(ii) 對?i∈N2,當時,由(2)式可得:

(iii) 對?i∈N3,由θ的定義知:

從而:

綜上可知,|bii…i|>ri(B)(?i∈N).由引理1知B是H-張量.進而,由引理2知A是H-張量.

定理2 設A=(ai1i2…im)是一個m階n維的不可約張量.若:

且(6)和(7)式中至少有一個嚴格不等式成立,則A是H-張量.

證明:由A不可約知:

構造正對角陣D= diag(d1,d2,…,dn),記B=ADm-1=(bi1i2…im),其中:

由yi及ε的定義知di< 1(i∈N2∪N3).下面證明B是嚴格對角占優的.

(i) 對?i∈N1,

(ii) 對?i∈N2,

(iii)對?i∈N3,由θ的定義得:

于是:

綜上可得,|bii…i|≥ri(B)(?i∈N).又由(6)和(7)式中至少有一個嚴格不等式成立知存在i0,使得|bi0i0…i0|>ri0(B).由A不可約知B不可約,故由引理3知B是H-張量.進而,由引理2知A是H-張量.

記:

定理3 設A=(ai1i2…im)是m階n維張量.若:

且J1∪J2≠?,又對任意i∈(N1/J1)∪(N2/J2),A有一條從i到J1∪J2中某一元素j的非零元素鏈,則A為H-張量.

證明：構造矩陣D= diag(d1,d2,…,dn),記,其中：

由yi及ε的定義知di< 1(i∈N2∪N3).類似于定理2的證明得|bii…i|≥ri(B)(?i∈N).

又由J1∪J2≠?知至少存在一個i0∈N, 使得|bi0i0…i0|>ri0(B). 若|bii…i|=ri(B), 則i∈(N1J1)∪(N2J2),且A有一條從i到J1∪J2中某一元素j的非零元素鏈.因為B不改變A的非零元素鏈,因此B有一條從i到J1∪J2中某一元素j的非零元素鏈,即|bjj…j|>rj(B).由引理4知B是H-張量,再由引理2知A是H-張量.

例1 設A=[A(1,:,:) ,A(2,:,:) ,A(3,:,:) ]是一個3階3維張量,其中:

則:

所以N1= ?,N2= {1},N2= {2,3}.計算得:

因為:

所以張量A滿足本文定理1的條件,故張量A為H-張量. 但:

因此A不滿足文獻[10]中定理1的條件.

3 應用

基于H-張量的新判定不等式,下面給出判定齊次多項式正定性的一些新條件.

引理5,[5]設A=(ai1i2…im)是m階n維的實對稱張量,m是偶數,ai i…i> 0(?i∈N).如果A是H-張量,則A是正定的.

根據引理5,定理1,定理2,定理3,得到以下結果:

定理4 設m階n維張量A=(ai1i2…im)為偶數階實對稱張量,且ai i…i> 0(?i∈N).如果A滿足下列條件之一:

(i)定理1的所有條件；

(ii)定理2的所有條件；

(iii)定理3的所有條件；則A是正定的.

例2 設4次齊次多項式:

其中A=(ai1i2i3i4)是一個4階4維實對稱張量,且:

其余的ai1i2i3i4= 0.則:

所以N1= {1},N2= {2},N3= {3,4}.計算得:

當i= 1時,

當i= 2時,

因此A滿足本文定理1的條件,由定理4知A是正定的,即f(x)是正定的.但:

因此A不滿足文獻[10]中定理1的條件.

本文給出了H-張量新的判別不等式,得到了偶次齊次多項式正定性新的判定條件,并用數值例子表明了新方法的可行性.