一類帶Neumann邊界波動方程的穩定性

郭春麗

(四川文理學院 數學學院,四川 達州 635000)

0 前 言

眾多的自然現象和實際問題都可以由偏微分方程來描述,比如擴散、熱傳導等物理現象可以由反應擴散方程來描述,又比如波的傳播與衰減、彈性體的平衡和振動都能由波動方程來表達,還有原子核與電子的相互作用、化學反應過程、流體的運動、電磁相互作用等自然現象的基本規律都可以寫成偏微分方程的形式.[1]由于偏微分方程在實際中應用廣泛,人們對其了解得越來越多、越來越深入,形成了數學中一門重要的分支—偏微分方程理論,其中,偏微分方程的控制問題吸引了大批學者對其進行研究.[2-9]

偏微分方程控制研究包括能穩性、能控性、反饋控制器的設計等方面,在偏微分方程的邊界反饋控制器設計時,常見方法有damping 法、Backstepping 方法、Lyapunov 函數法等,其中Backstepping 方法突破了求解過程過于復雜的局限性,因此,近年來被廣泛應用于偏微分方程的邊界反饋控制器的設計中.[3-9]文獻[4-5]討論了反應擴散方程的穩定性,文獻[6-7]考慮了波動方程的穩定性,文獻[8-9]涉及偏微分方程與常微分方程級聯系統的穩定性. 下面將運用Backstepping 方法討論一類帶Neumann 邊界波動方程的穩定性,并設計出該方程的邊界反饋控制器.

1 問題陳述

考慮帶Neumann 邊界一維波動方程控制系統:

其中,q≥1,u(x,t)表示弦上各點在t時刻沿垂直于x方向的位移,U(t)是反饋控制器. 此控制系統(1)在u(1,t) = 0 時,即不加控制時控制系統(1)是不穩定的.

2 控制器的設計

為了設計控制系統(1)的反饋控制器,選用Backstepping 方法進行設計,該方法的設計思路是利用可逆變換將控制系統(1)轉化為穩定的目標系統,再利用變換的有界性和目標系統的穩定性證明控制系統的穩定性.

首先,選定如下的系統作為目標系統:

其中,c0> 0,c1> 0. 目標系統(1)是指數穩定的.[3]

其次,引入Voltegral變換:

其中,k(x,y)是待定的核函數.[6-7]變換(3)將控制系統(1)轉化為目標系統(2).

然后,在變換(3)的兩邊分別關于變量x和t求偏導,從而有:

在(4)式中,令x= 1,再由(5)式及系統(1)和(2)中的邊界條件可得:

最后,為了證明控制系統(1)在反饋控制器(6)下是穩定的,需要得到變換(3)的逆變換,再利用目標系統的穩定性得到控制系統的穩定性,從而驗證反饋控制器的有效性.

3 核函數的計算

本節將求解出變換(2)中的核函數k(x,y),從而得到反饋控制器(6).

首先,在(4)式的兩邊同時關于變量x求偏導數,得到:

由(7)式和(8)式有:

因此,為滿足目標系統(2)中的方程wt t(x,t) =wxx(x,t),核函數需滿足如下方程,

又由變換(3)和(4)以及邊界條件wx(0,t) =c0w(0,t)和ux(0,t) = -qu(0,t),有:

從而k(0,0) = -c0-q,又由此可得k(x,x) = -c0-q,則核函數k(x,y)滿足方程,

然后,求解核函數方程(11).由kxx(x,y) -kyy(x,y) = 0可得核函數可以表示成如下的形式,

其中,φ(·),φ(·)是待確定的函數.

將(12) 式代入k(x,x) = -c0-q可得φ(2x) = -c0-q-φ(0),從而可得函數φ(x+y)為常數,由函數φ(x-y)的任意性,不妨假設:

因此,φ(0) = -c0-q. 將(12) 式代入ky(x,0) = -qk(x,0),并由(13)式和φ(0) = -c0-q可解得:

由(12-14)可得:

最后,將上式代入變換(3)及反饋控制器(6)中,有:

4 控制系統的穩定性

為了得到控制系統(1)的穩定性,需要尋找變換(2)的逆變換,且該變換將穩定的目標系統(2)轉化為控制系統(1),參考文獻[4]的證明方法,證明閉環系統的穩定性.

4.1 逆變換

首先,由文獻[3]引入變換:

其中,l(x,y)是待定的核函數,該變換將目標系統(2)轉化為控制系統(1).

運用第3節同樣的方法計算ux(x,t),uxx(x,t),ut(x,t),ut t(x,t),并利用控制系統(1)和目標系統(2)中的方程以及邊界條件可得核函數l(x,y)滿足如下方程:

方程(19)與方程(9)類似,采用同樣的方法求解方程(19)可得:

將上式代入變換(18)中,有:

其次,需要驗證變換(21)為變換(16)的逆變換.引入算子P和Q,并記:

要證明變換(21)為變換(16)的逆變換,只需驗證PQ=I或者QP=I,這里I為恒等變換,也即驗證PQ(w) =w或者QP(u) =u,因此,將變換(21)代入變換(16)可得:

最后,交換積分順序可得:

則由上式及(22) 可得QP(u) =u, 即P-1=Q,也就是說變換(16)是可逆的且它的逆變換由(21)式給出.

4.2 閉環系統的穩定性

下面將利用目標系統的穩定性和變換的有界性以及可逆性證明閉環系統在給定范數意義下的穩定性,即證明控制系統(1)在反饋控制器U(t)下是穩定的,且反饋控制器由(17)式給出.

首先,引入范數:[3][10]

由(15)式和(20)式可得核函數k(x,y) 和l(x,y)在區域0 ≤y≤x≤1上是有界的,則算子P和Q均為有界線性算子,從而存在正數C1和C2使得下面不等式(25)成立,

其次,記u(x,t)為控制系統(1)在初始狀態u(x,0) =u0下的解,由P-1=Q可得w(x,t) =P(u)為目標系統(2)在初始狀態w(x,0) =w0=P(u0)下的解,則由(25)式有,

最后,由目標系統(2)的給定范數(24)下是指數穩定的,[3]可得存在正數M使得下式成立,

那么,由(26)式和(27)式可得,

即控制系統(1)在給定范數意義下是指數穩定的.