發(fā)展幾何直觀的三個(gè)基本途徑

蘇明強(qiáng)

幾何直觀是學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的重要基礎(chǔ)，幾何直觀不僅有助于把握問題的本質(zhì)、明晰思維的路徑，而且有助于形成數(shù)學(xué)抽象能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：幾何直觀主要是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣。幾何直觀的形成基礎(chǔ)在于“意識”，關(guān)鍵在于“習(xí)慣”，主要包含以下四個(gè)方面：一是能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類；二是根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，分析圖形的性質(zhì)；三是建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型；四是利用圖表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的思路。下面，我們從“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”三個(gè)知識領(lǐng)域，討論發(fā)展幾何直觀的三個(gè)基本途徑。

一、在數(shù)與代數(shù)知識學(xué)習(xí)中發(fā)展幾何直觀

數(shù)與代數(shù)主要包括數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系、代數(shù)式、方程、不等式和函數(shù)等。數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系和代數(shù)式是代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)，方程、不等式和函數(shù)是代數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)數(shù)與運(yùn)算、數(shù)量關(guān)系兩個(gè)主題的內(nèi)容，為后續(xù)方程、不等式和函數(shù)的學(xué)習(xí)奠定重要基礎(chǔ)。

在小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)知識的學(xué)習(xí)中，我們可以通過建立“數(shù)”與“形”的緊密聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題中“量”的直觀模型，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀的形成與發(fā)展。這里的“量”從常量向變量進(jìn)階，從離散量向連續(xù)量過渡，主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面。

一是在數(shù)的認(rèn)識中，數(shù)是量的一種抽象，這里的“量”通常是常量、離散量。教學(xué)時(shí)，我們可以通過畫“圈圈圖”或制作圖形卡片的方式，建立離散量的直觀模型，理解數(shù)的意義，在這里幾何直觀主要表現(xiàn)為利用圖形描述和分析離散量的問題。

二是在數(shù)的運(yùn)算中，運(yùn)算是關(guān)系的一種抽象，這里的“關(guān)系”通常是離散量的關(guān)系。教學(xué)時(shí)，我們可以通過畫圖的方式，建立離散量的直觀模型，理解數(shù)量關(guān)系，比如3×5，我們可以畫“圈圈圖”，每行畫5個(gè)圈圈，畫3行，橫著看是3個(gè)5，豎著看是5個(gè)3，觀察的角度和算式變了，總數(shù)和結(jié)果不變，理解乘法的意義，在這里幾何直觀主要表現(xiàn)為利用圖形描述和分析離散量關(guān)系的問題。

三是在數(shù)量關(guān)系中，關(guān)系是規(guī)律的一種抽象，“路程、速度與時(shí)間”“周長公式”“面積公式”“體積公式”等數(shù)量關(guān)系，是變量、連續(xù)量之間變化規(guī)律的一種抽象。教學(xué)時(shí)，我們可以通過畫線段圖和幾何圖的方式，建立數(shù)量關(guān)系的直觀模型，在這里幾何直觀主要表現(xiàn)為利用圖形描述和分析連續(xù)量變化規(guī)律的問題。

二、在圖形與幾何知識學(xué)習(xí)中發(fā)展幾何直觀

圖形與幾何主要包括圖形的認(rèn)識與測量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)、圖形的性質(zhì)、圖形的變化、圖形的坐標(biāo)等。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)圖形的認(rèn)識與測量、圖形的位置與運(yùn)動(dòng)兩個(gè)主題的內(nèi)容，圖形認(rèn)識是圖形測量的基礎(chǔ)，圖形位置是圖形運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)。

在小學(xué)階段圖形與幾何的學(xué)習(xí)中，我們可以通過感知平面圖形和立體圖形及其構(gòu)成要素，依據(jù)要素的特征對圖形進(jìn)行分類，以及根據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，深入分析圖形的性質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀的形成與發(fā)展。這里從圖形特征的感知到圖形性質(zhì)的進(jìn)階，由感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一是在圖形的認(rèn)識中，圖是形的一種抽象，這里的“形”有一維的線段、射線和直線，有二維的角、三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，還有三維的長方體、正方體、圓柱、圓錐等。

教學(xué)時(shí)，我們可以讓學(xué)生從整體的角度感知這些圖形的形狀和從局部的角度感知圖形的基本構(gòu)成要素，在此基礎(chǔ)上根據(jù)要素的特征對圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆诸悾l(fā)展學(xué)生的幾何直觀。二是在圖形的測量中，測量是圖形大小量化的結(jié)果，一維量化的結(jié)果是長度或周長，二維量化的結(jié)果是面積，三維量化的結(jié)果是容積或體積。教學(xué)時(shí)，我們可以讓學(xué)生依據(jù)語言描述畫出相應(yīng)的圖形，在此基礎(chǔ)上根據(jù)圖形的特征深入分析圖形要素的性質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

三、在統(tǒng)計(jì)與概率知識學(xué)習(xí)中發(fā)展幾何直觀

統(tǒng)計(jì)與概率主要包括數(shù)據(jù)的分類、數(shù)據(jù)的收集整理與表達(dá)、抽樣與數(shù)據(jù)分析、隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性、隨機(jī)事件的概率等。小學(xué)階段主要學(xué)習(xí)“數(shù)據(jù)的分類”“數(shù)據(jù)的收集、整理與表達(dá)”“隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生的可能性”三個(gè)主題的內(nèi)容。

在小學(xué)階段統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)中，我們可以通過利用統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表分析實(shí)際情境與數(shù)學(xué)問題，探索解決問題的路徑，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀的形成與發(fā)展。這里從數(shù)據(jù)信息直觀感知到數(shù)據(jù)規(guī)律直觀刻畫的進(jìn)階，由感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識，主要體現(xiàn)在以下兩個(gè)方面。

一是在統(tǒng)計(jì)知識的學(xué)習(xí)中，統(tǒng)計(jì)是數(shù)據(jù)蘊(yùn)含規(guī)律的一種抽象，統(tǒng)計(jì)表是數(shù)據(jù)分類與整理的有效手段，統(tǒng)計(jì)圖是數(shù)據(jù)蘊(yùn)含規(guī)律的一種直觀刻畫。教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)實(shí)際情境和數(shù)學(xué)問題，用統(tǒng)計(jì)表直觀表達(dá)數(shù)據(jù)，學(xué)會根據(jù)真實(shí)情境和真實(shí)問題，用相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖直觀表達(dá)數(shù)據(jù)，用統(tǒng)計(jì)圖呈現(xiàn)出來的變化規(guī)律進(jìn)行推斷與預(yù)測，一般地，條形統(tǒng)計(jì)圖適用于表達(dá)離散型的數(shù)據(jù)，折線統(tǒng)計(jì)圖適用于表達(dá)連續(xù)型的數(shù)據(jù)，扇形統(tǒng)計(jì)圖適用于表達(dá)部分與整體關(guān)系的數(shù)據(jù)。

二是在概率知識的學(xué)習(xí)中，概率是隨機(jī)現(xiàn)象發(fā)生可能性大小的一種抽象，本質(zhì)上是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小量化的一種結(jié)果。教學(xué)時(shí)，為了準(zhǔn)確把握隨機(jī)現(xiàn)象的變化規(guī)律，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)的方式收集相關(guān)的數(shù)據(jù)，學(xué)會用統(tǒng)計(jì)表整理數(shù)據(jù)，在觀察數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)隨機(jī)現(xiàn)象的變化規(guī)律。

（作者單位：泉州師范學(xué)院教育科學(xué)研究所）

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