數學推理在數學課程中的應用

☉晏鳳華

邏輯推理和小學數學教學存在密切的聯系，數、形都是在數學實踐中抽象出來的概念，對數學對象的表現形式十分簡單，只是單純地將客觀事物的特點和空間形式體現出來，而數學推理依據的思維方向不同。所以，需要從不同角度分析數學推理的過程，通過最嚴謹的方式實現數學推理在數學課程中的利用［1-2］。總體來說，數學推理體現在演繹推理和合情推理兩個角度。但是，其都是對數學學科教學的追求，教師在開展課程教學中，應該格外重視對數學資源的整合，積極地優化推理方法，開展推理活動，方可讓學生得到更多推理體驗的機會，從而有效促進數學邏輯思維的構建，讓學生在數學推理過程中養成習慣，實現推理能力與核心素養同步提升。

一、數學推理的概念分析

新課標中對數學推理的內容都作出了嚴格的歸納，主要是從演繹推理和合情推理兩個角度進行分析。演繹推理也就是從已知的實際出發，實現對公理、定理、定義等內容分析；而合情推理是在已有事實的基礎上根據經驗和直覺進行結果推斷。許多研究認為，合情推理能力涉及到的內容十分廣泛，其中除了包括不完全歸納推理和類比推理，還有統計推斷，而統計推斷也就是在特定的情境下做出的一種合理推斷，但這種推斷不能夠偏離實際的情境，具體如下。

（一）演繹推理

演繹推理就是從具體的數學問題入手，將一般化的數學問題逐漸發展為特殊的問題進行推理。演繹推理最早發展在古希臘時期，該推理現象引起了許多人的關注，類似的研究逐漸變多。比如，古希臘的思想家亞里士多德曾經詳細分析了關于演繹推理的三段論，其編寫的《工具論》其實就是一部影響較大的邏輯學著作，該著作中體現較為深刻的就是傳統形式邏輯，這是邏輯思維發展的關鍵體現。而古希臘數學家歐幾里得對推理相關思想進行了嚴密深刻的分析，并且在實踐中逐漸將這種推理引入數學研究中，而《幾何原本》就有效構建了完善的推理知識體系，保證在推理的過程中將定理和公理當作基礎，從而實現演繹形式的優化。在16 世紀后期，自然科學隨著社會的發展形式不斷變化，這個過程中萊布尼茨假想就逐漸將推理的過程變得“運算化”，在運算中得到理想的結論，所以將運算化的推理命名為“通用的科學語言”［3-5］。在發展中受到當時社會歷史條件的影響，導致各種假想無法實現。因此，在后期的研究中，布爾、弗雷格等在研究中逐漸將數學推理理解為獨立的學科，認為演繹推理就是數理邏輯發展的基礎條件，并且該發展過程逐漸趨于現代化，能夠滿足數學問題解決的需求。在后期的發展中，相關人員通過對智力活動的解剖，詳細將推理的種類劃分為演繹推理和歸納推理兩個方面。通常來說，演繹這一分支就是從三段論出發，科學地實現對數學知識的推理傳遞，實現對數學知識的判斷，其對知識進行歸納總結的時候，可以利用類比和因果分析的方法。三段論的主要內容包括兩個假設前提、真假未定前提，體現為大、小前提與未知定論，而演繹推理的主要形式就是三段論，這種方式對于學生的數學學習能力發展和發展水平提升具有積極的意義，數學邏輯在一定程度上能夠促進科學技術深化發展。比如，圖靈機理論就為計算機科學的發展奠定了堅實的基礎，定理證明等發展利用都是將數理邏輯作為基礎。

（二）合情推理

合情推理是數學推理的另一個角度，開始階段人們十分重視對數學推理形式的討論。但是，這種推理方式不能夠完全和單純的邏輯推理等同，其一般被賦予了十分深刻的內涵。早在19 世紀，龐加萊等針對“數學推理的本性”進行詳細分析，根據自身對于數學的理解，勇敢提出了自己對于數學三段論的質疑，從而在后期的發展中逐漸促進推理過程的深入，認為多數的數學推理與演繹推理的情況具有顯著的區別，其中除了演繹推理的成分也包含有歸納推理的成分，這種推理的過程體現了創造性特點，這個過程始終具有絕對嚴格的特征［6-7］。在20 世紀50 年代，數學家和教育家就編寫了《數學與猜想》的著作，首次將合情推理的概念提出，然后對其系統研究發展奠定良好的理論基礎。歐幾里也提出了自己的想法，他對于數學的理解就是演繹的科學。通過分析數學發展的形成過程，能夠發現數學的發展具有實驗性質。所以，近年來關于合情推理的研究和實驗實踐從未停止，一些數學教育家、心理學家等對數學推理過程進行全面分析，認為分析性推理中演繹邏輯推理也發揮著十分關鍵的作用，而創造性推理比較重視對演繹過程的猜想，其中實踐性推理都將歸納的過程融入到特定的問題情境中，然后通過合理的推測實現數學問題的解決，從而實現對學生的數學綜合能力培養。

二、數學推理在小學數學課程中的應用

（一）合情推理和演繹推理融合發展

在小學數學教學中，為了促進學生對于推理相關知識的理解，提升學生推理能力，就要從不同角度分析數學推理，科學有效地在合情推理發展中融入演繹推理。因為小學生的思維能力不高，認知發展水平不高，所以演繹推理的開展就變得更加困難，此時應該重視推理歸納的過程，優化推理的方式。在實際推理實踐中推理實踐所得出的結論和性質，都需要讓學生認同和驗證。為了驗證推理結論的正確性，就要在數學知識實踐中運用各種方法，有利于促進學生的思維能力提升。枚舉歸納是一種數學知識分析的有效方式，該方式能夠更加有效地揭示數學知識內部的實質，分析數學知識內部的因果關系和本質，讓學生更加清晰地掌握知識內部的認知特點，能夠嘗試更多科學歸納推理的方式。這就要求教師在教學的過程中重視提升學生的推理能力，讓學生在對數學問題進行解決的時候，可以同步利用合情推理與演繹推理兩種方式，使各種推理過程變得更加科學，讓學生在融合推理過程中掌握各種數學知識，促進學生的邏輯水平提升［8-9］。比如，在講解《加法運算定律》相關知識的時候，許多教師都會讓學生通過計算方法的利用達到計算的目的，讓學生通過觀察總結得出相關的結論：“兩個加數交換位置，和不變”，然后讓學生利用推理對這個結果進行驗證。如果教師通過零散的例子列舉讓學生在頭腦中理解事實，必然會無法深刻將命題的本質揭示出來，這種學習的方式從根本上講就是一種機械的學習，所以需要通過一些案例的列舉進行改進。教師在授課的時候，可以在課桌上擺放兩種顏色的球，其中包括三個黑球和五個白球（如圖1），此時教師就要引導學生利用推理能力解決問題。教師：“如下圖所示，從我的角度看圖形數量為5 ＋3，從你們的角度看到的與我的角度看到的一致嗎？”此時學生：“從我的角度看到的是3 ＋5。”這種實踐教學方式的利用，學生能夠理解5 ＋3 和3 ＋5 這兩個角度之間對物體推算方法的差異性，雖然算法不同，但得到的結果是相同的。如此可以讓學生深刻掌握數學運算方法的本質，掌握數學推理的根本原理，激發學生的邏輯思維能力，讓學生運用推理能力解決問題。

圖1 教師擺放球的位置

（二）通過引導分析整合信息

在小學數學教學中，任何推理都包括推理內容和推理形式，具體而言，脫離具體內容的推理并不存在。所以，只有加強對數學知識的理解，方能夠保證推理活動的有序開展，將學生的推理能力培養作為數學核心素養培養的前提。整個數學知識學習過程中，為了讓學生能夠正確地理解數學信息，教師要盡量利用直觀的方式開展操作活動，讓學生能夠正確地理解數學信息。比如，在《圓的面積》相關內容教學的時候，教師應該引導學生進行公式的推導，讓學生深刻理解圓形面積的計算過程，此時教師要帶領學生完成操作活動，把圓平均分為若干個近似的長方形后，然后觀察變化過程。教師提問：“兩個圖形的面積是否相等？近似的長方形的長和寬和圓存在何種關系，具體的圓的面積應該如何計算？”學生在觀察以后，能夠明白這兩個圖形的面積是相等的。但其形狀是截然不同的，從而理解圓的性質，明白長方形的長就是圓周長一半，長方形的寬就是圓的半徑，如此可以推理出圓的面積。比如，在《數列》相關知識講解的時候，要想讓學生掌握數列的填數規律：17，19，21，23，（ ），（ ），就要為學生樹立數列思維，在教學的過程中積極引導學生分析數列的特點，整合數列的排列規律，只有掌握數字排列規律，合理推理，方可得到正確的推理結果，讓學生掌握知識點，促進推理教學的有序進行。

（三）在推理方法傳授中塑造推理品質

數學推理是一項邏輯思維較強的操控活動，所以教師在實際的操控過程中，應該積極地優化操作方法，加強多種操作方式和演繹方式的利用，為學生提供足夠的數學推理機會。教師在推理教學的過程中，應該加強對學生的指導，讓學生理解操作方法和操作技巧，從而自行完成推理操作，如此方可建立推理品質，塑造推理精神，讓學生的認知過程變得更加深刻。數學學科具有邏輯性和抽象性較強的特點。因此，學生的數學學習應該更加直觀靈動，教師要充分考慮小學生的思維特點，從教學實際出發，加強教學引導，在傳授學生推理方法的時候，應該合理總結生活現象和生活經驗，為學生數學推理教學開展奠定基礎，降低數學推理的學習難度。比如，在開展《小數的加、減法》相關教學的時候［10］，教師要重視對學生推理品質的塑造，做好整數的加減和乘除運算，有效構建全新的知識體系，消除數學知識學習的陌生感。由此，可以為學生創設“超市購物”的教學情景，讓學生在“超市購物”中學會小數加、減算式，從而理解小數點的特殊含義，明白1.5 元＋5.1 元就是1 元5 角＋5 元1 角；讓學生在實際的場景中，完成數學推理，學會小數加、減法的運算相關知識。教師在引導學生學習小數加、減法運算的時候，應該利用“對齊數位”的基本原則，推理出小數加減法計算的方法，實現學生的核心素養培養，讓學生可以自覺地將推理知識利用在數學問題的解決中，在推理嘗試中實現推理品質的塑造。教師在學生學習過程中，既要遵循學生推理學習的自主性，也要科學強化學生推理方法的學習，明確數學推理的主線。

綜上所述，小學階段學生對數學推理比較陌生，還沒有實現數學思維的構建。教師要從數學推理的不同角度出發，積極優化推理內容、推理方法和推理訓練等，在數學推理實踐中給予學生足夠的機會，促進學生對推理知識理解和運用。在數學推理過程中，教師應積極培養學生的整合觀照意識，激發學生的邏輯構建興趣，讓學生在數學知識學習中明確數理關系，塑造數學推理品質，實現數學核心素養的培養。