在問題解決中完整理解統計意義*
——以“平均數”的教學為例

2022-12-24 02:38:42劉曉萍

江蘇教育 2022年81期

劉曉萍

【背景】

自新中國成立以來，小學統計教學的目標與要求有過三次轉變：其一，作為算術知識的綜合應用；其二，20 世紀90 年代開始滲透統計思想方法；其三，新課改以來強調數據分析，尤其是《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）將“數據分析觀念”調整為“數據意識”。作為統計學核心概念的平均數，也隨之經歷了三次教學嬗變：用平均數算總數→重復測量取平均數以減少誤差→作為總體的代表值。反思平均數教學數十年來的變化，我們至少可以得到如下啟示：

第一，平均數的教育價值不是它的定義和作為代數公式的運算程序，而是它的統計意義以及學生數據分析素養的培養。一如史寧中教授所指出的：“如果僅就數學計算而言，平均數是一個包含加法和除法的算式，對數學計算來說實在無足輕重；但平均數在統計學中非常重要，體現了真值的無偏估計。”新課標指出：“數據意識就是對數據的意義和隨機性的感悟。”就本課而言，就是要幫助學生理解平均數的意義，利用平均數作出某種決策。

第二，小學生對平均數的統計意義是存在疑惑與困難的。例如，一些學生難以區分“平均分”與“平均數”，尤其難以辨識“平均數”中的樣本“個數”與“平均分”中的“份數”。但是，平均數是學生從確定性向隨機性的思維啟蒙，其教學意義毋庸置疑。

第三，教學設計必須直面兩個問題：如何幫助學生理解平均數的代表性？有哪些好的現實問題情境利于學生理解平均數的統計意義？這也合乎溫州大學章勤瓊教授對平均數教學的建議：“學生學習平均數的時候，需要建立‘代表’的意識，學生理解平均數代表量意義的時候，應體現層次性。”

基于以上種種考量，筆者在教學平均數時，通過創設真實情境來適度還原知識產生和發展的過程，在逐步解決問題的過程中，以數據分析為主線，讓學生動態地“再創造”出平均數的概念，加深他們對平均數計算結果的解釋以及對平均數統計思想的體驗。

【教學過程及分析】

一、創設問題情境，銜接認知過程

第一學段的統計學習側重于感受和體驗，主要是引導學生學會分類、收集和整理簡單的數據。學生此時關注的重點通常是一組數據中蘊含的各種顯性信息。第二學段的教學轉移到把一組數據作為一個整體來看待，需要教師引導學生更多地學會從整體上描述一組數據的特征，或把一組數據與另一組相關數據進行比較。算術平均數的計算方法不復雜，但真正理解它在數據處理過程中的意義和價值，恰當地使用平均數這一統計量，是不容易達成的目標。因此，在學生初步積累收集、整理和分析數據的活動經驗之后，安排平均數的學習，與學生螺旋上升的心理和認知發展規律相契合，也符合新課標關注數學整體性和一致性的要求。

教師出示問題：三年級男女生分4 個小組進行套圈比賽，每人套15 個圈。老師覺得男生的運動能力強，一定是男生套圈水平高，大家同意嗎？學生反對，提出需要收集、觀察、分析數據后才能確定。于是教師呈現圖1（第一小組是女生套圈成績，第二小組是男生套圈成績），追問：哪一組套得準一些？學生一邊討論，一邊提出自己的想法：

圖1 第一、二小組學生套圈成績

（1）男生最多的投了10 個，比女生最多的還多，所以男生準一些；

（2）男生最少的是兩人投了4 個，而女生最少的是兩人投了6個，女生準一些；

（3）投得最多或最少反映的都是某一個人的套圈水平，不代表這一組的套圈水平；

（5）女生組一共套中了6+9+7+6=28 個，男生組一共套中了10+4+7+5+4=30個，28＜30，所以男生準一些；

（5）男生組和女生組人數不一樣，算總數不公平；

（6）我們需要造出一個數來代表男生組的水平，再造出一個數來代表女生組的水平，然后比較這兩個數的大小。

要清楚地確定兩組數據的異同，僅靠說明每組數據中的最大值、最小值或簡單分布情況是不夠的，還需要從整體上描述一組數據的水平。教師在教學中尊重學生的數學現實，引導學生在熟悉且喜歡的套圈游戲中，體驗現實生活中有些問題的解決需要先做調查研究，收集數據，感悟數據中蘊含著信息。接著順接學生的認知經驗，從只關心個別數據起步，通過學生之間的彼此啟發與批判性說理，發現單個數據、看得見的數據存在不足，從而過渡到關注一組數據的方方面面。盡管學生此時還沒有說出“平均數”這一術語，但他們真正觸及了概念的本源，感悟到了“為什么”要引入平均數來解決這個問題。這也回應了曹培英老師的呼吁：“讓平均數恢復統計的本來面目！”

二、展開統計分析

蔡金法教授通過實證研究認為：“理解平均數有三個角度，即算法理解、概念理解、統計理解。”為此，筆者繼續依托“套圈比賽”的問題情境，通過進一步豐富學習素材，把平均數的統計意義、算法融為一體，引導學生開展豐富的數據分析活動，讓學生在思辨平均數概念的同時想到求平均數的方法，聯系求平均數的方法感受平均數的產生是基于統計的需要。

1.建構概念

基于上述學生的討論，教師追問：造出一個數來代表一組的水平，很好的主意！那么，是隨意編造出一個數嗎？學生繼續討論，認為既要關注到每一組每個人的套中次數，還要考慮每一組的總人數。他們嘗試著改造圖1，第一組最大的數是9，移一格給一個6，再移一格給另一個6，現在所有的人都是7，7就是這一組套圈水平的代表數；同樣，學生也用移多補少的方法找到了第二組的代表數6。

在學生展示改造后的統計圖后，教師提問：造出的7 與第一組中③號同學的7，意思一樣嗎？學生明晰③號同學的7 個只代表她自己的套圈水平，造出的7 代表整組的水平。教師追問：第二組里沒有一個人投6 個，怎樣理解6 這個數？學生領悟：造出的數可以碰巧是某一個人的水平，也可以是在整組數據中都沒有出現的數。教師揭示這個數叫“平均數”，同時學生下結論：女生投得準些。

教師出示表1，提問：觀察數據，你能聯想到圖嗎？哪個數能代表第三組的套圈情況？學生感悟到平均數的算法：先合再分，即總數÷人數=平均數。

表1 第三小組學生套圈成績

課堂以解決“哪一組套得準一些”這一問題不斷推動學生學習，讓學生多次感悟平均數的含義，從“移多補少”到選擇“先算總數，再平均分”的方法算出平均數，理解“7個”“6個”“6個”分別代表第一組、第二組、第三組學生套圈的整體水平，感受平均數在數據分析過程中的獨特作用，概念的理解逐步從具體走向抽象、從淺表走向深刻，其最終目的就是發展學生的數據意識。同時，使他們在“同”與“不同”的比較中，感悟“平均數”為什么可以作為代表：平均數不一定是一組數據中的某一個值，但和所有數都相關；平均數用到了每一個數據，所以感覺上公平；在一組數據中，平均數比最大數小，比最小數大，但不一定是正中間的那個數，它是整組數據中通過移走或者補償所得，可以反映一組數據的整體情況……

2.洞察性質

教師出示第三組另一名學生套中的次數——0，提問：這組同學的套圈水平有沒有發生變化？強調計算平均數時要把數值為0 的數據考慮在內。

接著提問：第四小組4個同學的平均成績是5 個，估一估，每個同學套中的個數可能是多少？學生感悟到：平均數5 一般不會是每個同學都套中5個，有的比5個多，有的比5個少。

出示圖2并追問：第四小組有3個同學套中的個數分別是3 個、6 個、5 個，④號同學套中幾個？如果④號同學套中了10 個，平均數還是5嗎？如果④號同學套中了5 個呢？4 個呢？學生小結：平均數易受到不等于平均數的數據的影響。

圖2 第四小組學生套圈成績

學生沿著片段1 中解決問題的思路，深刻理解一組數據中某一個數無法代表整組的套圈水平，尤其是極大數、極小數更不能代表，每一個數都是個人成績的體現，但平均數整合了所有數一起發揮作用。由此，通過問題解決來分析數據，學生于其中洞察到平均數的一些特質：如果增加一個數是平均數，新的一組數的平均數不變；如果增加一個數大于平均數，新的一組數的平均數就大于原來的平均數，反之亦然；計算平均數時，特殊數0 也要考慮在內，雖然總數加0 沒有變化，但要意識到0 也要參與平均分；把大于平均數的數值全部轉移給小于平均數的數值，結果剛好是0，不偏不倚……

回顧以上教學片段，教師引導學生在熟悉的情境中，在不斷的認知沖突中理解平均數具有代表性——通過刻畫一組數據的集中程度表達總體的集中情況。首先，學生因為過往的學習不能幫助他們解決新問題，提出造一個數——平均數，從而以用什么代表（即為什么求平均數）發起數學學習；然后，引導學生研究怎樣造一個新數（即平均數表示什么），推動他們看見自己的數學理解；最后，引導學生進一步分析數據（即怎樣更好地求平均數），使他們對平均數的認識從經驗走向理論。每一個教學片段都指向在問題解決中理解平均數的意義，學生由此能時刻感受到平均數的作用。

三、融入真實活動，促進學力生長

統計知識的學習如果僅僅停留在“嘴上談兵”層面，那么學生對實際應用中會遇到什么問題就會一無所知，還自以為都會了，所以教學中要融入真實的活動，促進學生積累應用的實戰經驗。正如美國教育家布朗所說：“學習的環境應放在真實的背景中，使它對學生有意義。”那么，如何讓學生真正理解抽象的平均數概念和平均數的應用價值呢？練習是一個不可或缺的重要環節。

1.閱讀交流

（1）2020 年，我國成年公民人均紙質圖書閱讀量為4.8本，蘇州某小學學生人均紙質閱讀量為10.7本；

（2）2019年，全國人均壽命77歲，蘇州人均壽命83.82歲。

進一步豐富學生對平均數統計意義的理解，合理解釋“平均數可以是小數”，以4.8 本為例：看書的本數是整數，但在被調查的樣本中，有人閱讀多于5 本，有人少于4 本，還有人一本都沒讀，也有人遠遠高于5 本，于是先“集中”后“平分”便出現了在整數4和5之間的數。同時，題目素材具有濃厚的本土氣息，有利于熏陶學生的人文素養。當數學素養與人文素養共同作用于學生時，學生就會用多元的眼光觀察與闡釋世界，從而促進其心與腦的健康發展。

2.看圖推測

下面3 筐蘋果平均每筐24 個，第一筐有（）個蘋果。

A.28 B.24 C.19

本題無須計算，僅從平均數處于最大數與最小數之間便可推理出：由于三個數中有兩個數大于平均數，剩下的這個數只能小于平均數。

3.思考辨析

學校籃球隊有6 名隊員，他們的平均身高是160cm。后來，姚明加入了，這時，160cm 還能代表這組隊員的整體水平嗎？他們的平均身高變成了多少？

讓學生再一次感受一旦出現這樣的極端數據，對平均數的影響比較大。同時，結合統計圖，讓學生的思考走得更遠一點：將姚明的身高先視作平均數，這樣籃球隊隊員的平均身高就不會有變化，引起變化的是高于平均數的數，于是可將姚明的身高減去平均身高，然后平分（移多補少）給新的一組隊員，讓學生注意新的一組隊員由之前的6人變成了7人，再一次感受平均數作用于每一個數據。正是因為極端數據對平均數的影響大，接著引導學生思辨當姚明身高這樣的數據出現時，平均數就不是好的“代表”了，原來平均數與總數、單個數等其他數一樣，在問題解決中都有局限性，于是新的問題又出現了，推動學生思考新的改造方案。

如此，片段1的實際問題雖然在片段2和片段3 中得到解決了，但平均數的教學不能結束，教師還要繼續通過解決實際問題引導學生內化學習過程與思想方法，使平均數的知識進入學生的認知結構，使操作體驗與思維經驗進入學生的理性系統中。