基于終端滑模的打擊時間與打擊角度約束制導律

郝文欣，宋 斌，王鵬宇，朱東方，李傳江

（1.哈爾濱工業大學航天學院，哈爾濱 150001；2.上海宇航系統工程研究所，上海 201108；3.上海航天控制技術研究所，上海 201109）

隨著反導技術的飛速發展，世界各國逐漸形成一體化的防御體系。日益復雜的戰場環境對導彈的殺傷能力和突防能力都提出了更高要求，使得僅考慮零脫靶量約束的制導律難以滿足現代戰爭的需要。研究滿足多約束條件的末段制導方法對于在復雜戰場環境中提高導彈的作戰效能具有重要意義。

現代制導任務通常要求導彈以特定的角度打擊目標的薄弱環節，從而獲得最佳打擊效果。因此，具有打擊角度約束的制導律受到廣泛的關注。Kim 等［1］在傳統比例制導律的基礎上，通過增加時變偏置項，使導彈以期望角度擊中目標。文獻［2］基于線性二次型最優控制提出了導彈任意階動態模型的最優制導律，通過對剩余飛行時間進行估計，實現了打擊角度的約束。文獻［3］提出了一種滿足打擊角度和加速度約束的滑模制導律，通過在滑模面函數中引入阻尼項和設計多冪次自適應趨近律，解決了制導初期產生的指令極值問題。此外，為了突破現代艦船的近程防御武器系統（Close?in?weapon system，CIWS），制導任務通常需要多枚導彈采用協同制導的方式對目標實施飽和攻擊，這對導彈打擊時間的控制提出了要求。Jeon 等［4］首先將打擊時間反饋誤差與比例制導律相結合，通過合理選取比例制導系數使制導律滿足打擊時間的約束。考慮導引頭探測盲區的問題，文獻［5］利用虛擬目標將制導過程分為2 個階段，第1階段采用圓弧跟蹤制導律使加速度指令收斂于零，第2 階段在無控制輸入的前提下以期望打擊時間擊中目標。Hu 等［6］將導彈的視線角速率設計成含有可調參數的時變多項式，并使用終端滑模控制方法對其進行跟蹤，從而建立了打擊時間約束制導律。

相較于單約束制導律，同時考慮打擊角度與打擊時間約束的制導方法將二者的優勢結合，具有更重要的戰略意義。近年來針對這類問題的研究方法大致分為比例導引律、最優制導律及滑模制導律等［7?22］。Lee 等［7］首先對滿足打擊角度和打擊時間約束的制導律進行研究，提出了包含偏置項和反饋環節的最優制導律。Zhang 等［8］將剩余飛行時間期望值與估計值之間的誤差引入閉環反饋，設計了包含兩個修正環節的比例制導律，該制導律滿足打擊角度和打擊時間的約束。文獻［9］基于非線性最優控制設計了前置角的多階段控制策略，并最終給出了視場受限條件下的打擊角度和打擊時間約束制導律。與比例控制律和最優控制律相比，滑模控制律因其非線性特性、快速收斂性和強魯棒性等優勢，已經被大量應用于單約束制導律［3，6］和多約束制導律［10?16］的設計中。特別地，終端滑模具有使系統狀態在指定時間內收斂于零的特性，在考慮打擊時間的制導問題（包括同時考慮打擊角度和打擊時間的制導問題）中被廣泛使用。Harl 等［10］將導彈的視線角設計成一個含有可變參數的多項式，并借助邊界初值條件和數值循環方法完成多項式參數的求解，從而建立了打擊時間和打擊角度滑模制導律。文獻［11］設計了一種含有兩個未知參數的時變滑模面，兩個參數分別用來實現打擊角度和打擊時間約束。文獻［12］提出了一種不需要數值解算方法的打擊時間與打擊角度約束滑模制導律。文獻［13?16］基于滑模控制對打擊角度和打擊時間制導律進行更深入的研究。

綜合來看，現有文獻所提出的制導方法按照是否需要估計剩余飛行時間分為2 類。第1 類方法基于小角度假設和簡化的線性模型，將估計的剩余飛行時間與期望值的誤差引入閉環反饋。該類方法對估算的準確性要求較高，當導彈飛行軌跡高度彎曲、小角度假設不成立時難以完成制導任務。第2 類方法無需估計剩余飛行時間。例如，文獻［10］通過設計制導律使導彈跟蹤一個多項式以滿足終端約束，使其避免了對剩余飛行時間的估計。但不足之處在于，仍需借助數值運算合理選擇多項式的參數。文獻［22］基于漸開線制導法將彈目的運動學方程轉換至弧長域空間，而后提出了一種打擊角度和打擊時間分段制導律。文獻［23］首先利用一階泰勒展開將導彈?目標模型線性化，而后使用模型預測控制方法設計打擊時間和打擊角度制導律。

基于上述分析，本文提出一種非奇異終端滑模制導律，可以同時滿足零脫靶距離、零終端加速度、打擊時間和打擊角度的約束。首先將視線角誤差參考軌跡設計成帶有剩余飛行時間項的時間多項式，而后設計制導律對其進行跟蹤。視線角誤差參考軌跡多項式含有一個可調參數，通過在線優化過程確定可調參數的值以滿足期望的打擊時間。需要強調的是，即使在攔截勻速運動目標的情況下，本文設計的制導律也不需要估計剩余飛行時間和預測碰撞點。最后，通過仿真驗證所提方法的有效性。

1 問題描述

在二維慣性坐標系OXY下建立導彈與目標的攔截模型，如圖1 所示。記M 和T 分別表示導彈和目標，r表示導彈與目標之間的相對距離，λ表示導彈與目標的視線角，VM和VT分別表示導彈和目標的速度，σM和γM分別表示導彈的前置角和彈道角，σT和γT分別為目標的前置角和彈道角，AM表示導彈的加速度，并與VM始終垂直。導彈?目標運動關系如圖1 所示。

圖1 導彈?目標運動關系Fig.1 Engagement geometry

假設導彈自動駕駛儀具有理想特性，導彈和目標的速度大小均為常數。根據幾何關系，建立導彈與目標的相對運動方程

分別用t和td表示導彈發射后經過的時間和期望打擊時間，則剩余飛行時間tgo定義為

隨著導彈發射時間t趨近于期望打擊時間，剩余飛行時間tgo趨近于零。導彈的打擊角度一般定義為末制導結束前導彈與目標速度矢量之間的夾角［24］。對于非機動目標，打擊角度的約束問題可以轉化為視線角的約束問題［25］。不失一般性，本文將打擊角度約束定義為終端視線角約束，則制導律的設計目標是在期望的打擊角度λd和打擊時間td約束下實現零脫靶距離。制導目標可表示為

根據上述分析，本文需要設計滿足式（6）的制導律以滿足打擊角度和打擊時間的約束。

2 非奇異終端滑模制導律設計

本文設計的具有打擊角度與打擊時間約束制導方法由以下2 步完成：（1）視線角誤差參考軌跡的構造；（2）非奇異終端滑模制導律的設計。本節首先考慮勻速運動目標，將視線角誤差參考軌跡設計成帶有一個未知參數的時間多項式，該多項式隨著時間項趨近于0 而滿足打擊角度的約束。然后，設計一種非奇異終端滑模制導律跟蹤視線角誤差參考軌跡。最后基于數值求解方法確定合適的未知參數以滿足打擊時間約束。

2.1 視線角誤差參考軌跡設計

文獻［10，16］設計了視線角的參考軌跡多項式，并通過邊界條件確定多項式的系數。本文對視線角誤差的參考軌跡進行設計，定義視線角誤差如下

式中λe表示實時的視線角λ與期望打擊角度λd之間的差值。由運動學方程（2），可得λe的一階時間導數和二階時間導數

注釋1針對運動目標，文獻［10］將視線角參考軌跡設計成以導彈水平位置為自變量的多項式，通過終端約束條件確定未知參數的值以滿足打擊角度和打擊時間的約束。本文則直接對視線角誤差參考軌跡進行設計，并引入tgo作為多項式的自變量。與文獻［10］相比，式（13）隨著tgo趨近于0，λeD及其一階導數也自動收斂于0。根據準平行接近法則，彈目視線角速率在末制導結束前收斂于0或0 附近，導彈即成功擊中目標，故而無需再引入終端約束條件。因此，相比于文獻［10］在制導律中引入5 個未知參數，本文所提出的方法僅需要3 個未知參數，表達形式更簡潔。

注釋2如式（13）所示，若設計的制導律令視線角誤差λe嚴格跟蹤λeD，則隨著tgo趨近于零，λ收斂于λd，制導律滿足終端角度約束。式中包含一個未知參數δ1，用于設計打擊時間。故而只需考慮制導律以及優化過程的設計，不需要對tgo進行估計。

2.2 非奇異終端滑模制導律設計

由2.1 節分析可知：視線角誤差參考軌跡λeD滿足打擊時間和打擊角度約束。因此只需設計制導律跟蹤λeD即可完成打擊時間和打擊角度控制。本小節基于固定時間穩定引理［26］設計一種非奇異終端滑模制導律，并構造Lyapunov 函數對閉環系統的穩定性進行分析。為方便制導律設計，首先定義誤差eλ以及終端滑模面如下

選 取 系 統 誤 差eλ及 其 一 階 導 數e?λ作 為 二 階 系統{eλ，e?λ}的狀態變量，則所設計的非奇異終端滑模制導律能夠令二階系統{eλ，e?λ}在固定時間內鎮定。

注釋3 本文選取系統誤差eλ作為二階系統{eλ，e?λ}的狀態變量，則制導律設計目標是令二階系統狀態在固定時間收斂至0。此時視線角軌跡λe嚴格跟蹤視線角誤差參考軌跡λeD，即可完成打擊角度和打擊時間控制。

注釋4 為了避免控制器uf產生奇異，制導律引入如式（17）所示的飽和函數。考慮式（18）中p1∈(0.5，1)，當e?λ≠0 且eλ→0 時，uf→∞。此時飽和函數能夠避免控制器出現奇異，且umax的選取與滑模面在狀態空間的位置有關，即umax>0。此外，用飽和函數sat(?)代替符號函數sgn(?)可有效消除滑模控制律產生的抖振現象。

下面給出定理1 的證明。

證明 由誤差構成的二階系統{eλ，e?λ}在固定時間鎮定的證明過程如下。

首先證明系統狀態{eλ，e?λ}在固定時間到達滑模面；而后沿著滑模面在固定時間內收斂至平衡點。

如前所述，當sλ≠0 且eλ→0 時控制器uf產生奇異。而當sλ=0時，將式（15）代入式（18）可得控制器uf=α1p1(-α1sig(eλ)(2p1-1)-β1sig(eλ)(p1+g1-1))，由p1∈(0.5，1)可知此時控制器不產生奇異。故而控制器奇異只發生在系統狀態到達滑模面之前，即sλ≠0。為方便證明，根據控制器是否達到飽和函數閾值將狀態空間劃分兩個子空間A和B。子空間A、B以及滑模面的位置關系如圖2 所示，顯然奇異點只出現在子空間B中。A和B的定義如下

圖2 系統狀態相平面圖Fig.2 Phase plane of the control system

式（21）符合文獻［26］的固定時間引理。因此二階系統{eλ，e?λ}在不進入區域B的前提下，能夠在固定時間T1內收斂至滑模面sλ=0 上，T1滿足如下表達式

當系統狀態由A進入B區域時，飽和函數由sat(uf) =α1p1|eλ|(p1-1)e?λ轉 變 為 sat(uf) =sgn(e?λ)umax。由 式（23）可 知V?λ1不 會 立 即 改 變 符號，在B1區域仍有V?λ1<0。當系統狀態由B1區域進 入B2區 域 后，由p1∈(0.5，1)可 知 若e?λ≠0 且eλ→0 有

如圖2 所示，當系統狀態進入子空間B2時，eλ→0。跟 據e?λ的 符 號 存 在 以 下2 種 情 況：若e?λ>0，則eλ單調遞增，系統狀態將沿順時針方向穿越B2區域到達滑模面sλ=0 上；若e?λ<0，則eλ單調遞減，系統狀態將沿逆時針方向穿越B2區域到達滑 模 面sλ=0 上。若e?λ→0 且eλ→0，由 式（15）可知此時sλ→0，二階系統將沿著滑模面趨近于平衡點，系統不發散。假設系統穿越B區域總時間為τ，則從相平面任意位置出發，總能在固定時間內到達滑模面并保持在滑模面上，到達時間如下

實 際 應 用 中τ→0［27］。因 此，可 以 認 為 系 統 狀 態{eλ，e?λ}能夠在固定時間到達滑模面。

系統狀態{eλ，e?λ}收斂至滑模面后，sλ=0。如前文所述，控制器不發生奇異，對eλ求取時間導數得到

可觀察到，式（30）滿足文獻［26］的固定時間引理，故系統狀態{eλ，e?λ}能夠在固定時間T2沿滑模面sλ=0 收斂到平衡點，T2滿足如下表達式

故 而，二 階 系 統{eλ，e?λ}能 夠 在 固 定 時 間T1+T2收 斂 至 平 衡 點，即 由eλ構 成 的 二 階 系 統{eλ，e?λ}固定時間鎮定。

證明完畢。

綜上所述，本文設計的制導律滿足Lyapunov穩定性條件。在制導指令作用下，視線角誤差軌跡λe嚴格跟蹤視線角誤差參考軌跡λeD，導彈能夠實現打擊角度和打擊時間控制。

3 制導律參數尋優

導彈在視線角誤差參考軌跡與制導指令的作用下，滿足打擊時間和打擊角度的約束。由式（13）可知，只需設計制導律對視線角誤差參考軌跡嚴格跟蹤即可完成期望打擊角度控制。參數δ1決定了導彈飛行軌跡，通過選取δ1構造期望的飛行軌跡，使其滿足打擊時間約束。故而對應不同的期望打擊時間td，δ1的值也不同。設導彈真實打擊時間為timp，由于導彈速度是常量，飛行距離越長、軌跡越彎曲，打擊時間timp的值越大。制導律參數尋優的目標是令timp=td，此時導彈在期望的打擊時間td以期望的打擊角度命中目標。

定義如下性能指標

式中J表示真實打擊時間與期望打擊時間之間的差值。假設期望的打擊時間是td，對打擊時間的控制問題即轉化為求解J的最小值問題。J是關于δ1的函數，通過選取δ1的值，找到J的最小值。本文使用在線優化方法對打擊時間進行迭代優化，優化方法使用適合求解少變量多元方程極值的Nelder?Mead 算法，不需要任何求導過程即可獲得合適的δ1。

文獻［6，10，16］將視線角軌跡設計成含有一個未知參數的多項式，并借助優化方法對未知參數迭代尋優，從而實現打擊時間的控制。本文使用的在線優化方法借鑒這一思想，通過數值循環迭代得到式（13）中δ1的最優值，從而構造滿足打擊時間約束的彈道軌跡。該方法具體步驟如圖3 所示。

圖3 在線優化計算步驟Fig.3 Computational steps for optimization routine

將使用優化方法求出的δ1表示為δ*1，并將δ*1代入式（13）得到

使用上述制導律跟蹤視線角誤差參考軌跡，系統狀態將維持在滑模面sλ=0 上，因而確保導彈在期望打擊時間以期望打擊角度擊中目標。本例中令δ1的初始猜測值為0.1，對應的優化指標J也存在一個初始值。經動力學遞推及仿真迭代后，J滿足條件J<0.05 時輸出δ1，此時的δ1即為最優解δ*1。使用2.6 GHz CPU 對優化方法測試的平均時間為0.06 s，平均次數為9。雖然使用數值方法得到的δ*1相對于解析方法花費更多時間，然而本例中的優化方法運算量較小，可忽略不計。如圖4 所示，仿真結果表明性能指標J收斂速度較快，最終滿足優化的終止條件，得到合適的δ1。

圖4 性能指標收斂過程Fig.4 Convergence of performance index

所提制導算法求解過程的偽代碼如下所示。仿真開始前設置制導算法的初始參數，幾次尋優迭代得到最優δ1值，最終得到滿足約束的非奇異終端滑模制導律。

4 仿真分析

為驗證本文設計的非奇異終端滑模制導律的性能，考慮靜止目標和勻速運動目標，采用式（1～4）的導彈運動學方程開展仿真驗證。假設導彈的速度恒為250 m/s、初始彈道角為60°，導彈和目標的初始位置分別為(0，0)和(10，0) km。式（15，16）中的參數分別選取為p1=p2=0.7 與g1=g2=1.3。將本文設計的視線角誤差參考軌跡（13）、制導律（16）以及上節介紹的優化方法在設置的初始條件下進行仿真。

4.1 針對靜止目標的制導律仿真分析

首先針對靜止目標開展仿真，此時目標速度為0。式（1，2）可表示為

考慮一個靜止目標，假設期望打擊時間為50 s，期 望 打 擊 角 度 分 別 為-25°，-45°和-65°。如圖5 所示，仿真結果表明所提制導律對靜止目標有效，系統的控制輸入最終收斂至零。

考慮相同的期望打擊時間、不同期望打擊角度的情形。如圖5（a）所示，隨著期望打擊角度的增大，導彈飛行軌跡進行調整以適應終端打擊角度的約束。由圖5（b）所示的相對距離曲線可知，導彈以期望打擊時間完成零脫靶打擊。導彈的視線角曲線如圖5（c）所示，不同期望打擊角度的視線角曲線在彈道初始階段變化較小而彈道末段變化較大，并以各自期望打擊角度擊中目標。控制加速度曲線如圖5（d）所示，期望打擊角度越大，導彈進行軌跡調整時所需的加速度越大。3 組仿真對應的參數δ1如表1 所示。

表1 攔截靜止目標的參數Table 1 Parameters for intercepting stationary targets

圖5 不同打擊角度約束下對靜止目標攔截的仿真結果Fig.5 Simulation results for various impact angles against a stationary target

對表1 參數δ1在不同期望打擊角度下的取值進行定性分析可知，隨著期望打擊角度增大，參數δ1的值隨之增大。需要注意的是，針對靜止目標時制導律（16）發生退化，故而制導任務開始前可對參數δ1進行離散求解，不需要在線更新參數。

4.2 針對勻速運動目標的制導律仿真分析

本小節針對勻速運動目標進行仿真驗證。考慮現代艦船的典型巡航速度，將目標的運動速度設為水面艦艇的定常速度30 m/s，并假設導彈和目標的初始位置以及導彈的飛行速度與4.1 節相同。隨著目標的運動，視線角誤差參考軌跡進行調整，參數δ1不斷迭代更新。制導框架依然不需要預測碰撞點即可滿足打擊角度與打擊時間的約束。

將本文所提出的制導律與文獻［10］所提出的制導律，在考慮不同打擊角度和打擊時間的情形下進行仿真對比。導彈和目標的初始航向角分別設為60°和135°，分別選取期望打擊時間45 s，期望打擊角度-20°以及期望打擊時間48 s，期望打擊角度-30°兩種約束條件與文獻［10］進行仿真分析，仿真結果如圖6 所示。經在線尋優算法的迭代計算可知，在期望打擊時間45 s，期望打擊角度-20°的條件下，本文參數δ1的值為-2.281 8，文獻［10］中參數a的值為-4.55；在期望打擊時間48 s，期望打擊角度-30°的條件下，本文參數δ1的值為-3.700 3，文獻［10］中參數a的值為-2.694 7。本文和文獻［10］均實現了打擊角度和打擊時間的同時控制。

圖6 不同打擊角度與時間約束下對勻速運動目標攔截的仿真結果及與文獻[10]的對比Fig.6 Simulation results compared with Ref.[10]for various impact angles and times against a constant?velocity target

由圖6（a）可知，隨著期望打擊時間的增加，導彈飛行軌跡更長，飛行軌跡更彎曲。本文與文獻［10］中目標的運動軌跡重合，在同一時刻被導彈擊中，實現打擊時間的控制。相比之下，文獻［10］中導彈的飛行軌跡在初期上升速度更快，到達彈道頂點更早。而本文與文獻［10］在彈道后半段的飛行軌跡比較接近，能夠提前以期望打擊角度徑直攔截勻速運動目標。由圖6（b）所示的相對距離曲線可知，不同的期望打擊時間約束條件下，導彈分別以各期望打擊時間完成零脫靶打擊。在飛行時間前半段，本文的彈?目相對距離相較文獻［10］下降速度更快；而飛行時間后半段，相對距離的變化趨勢相近。導彈的視線角曲線如圖6（c）所示，視線角曲線以各期望打擊時間收斂至期望打擊角度。本文與文獻［10］的視線角變化規律在飛行時間前半段較為相近；而在飛行時間后半段，文獻［10］的視線角變化更平緩，最終二者皆收斂于期望打擊角度。控制加速度曲線如圖6（d）所示，隨著期望打擊時間增加，導彈進行軌跡調整時所需的加速度增加，終端加速度最終收斂至零。假設控制輸入受限為100 m/s2，文獻［10］的控制加速度指令變化更劇烈，初始階段達到限幅。彈道前半段陡增至100 m/s2，在7 s 左右下降至-20 m/s2，再緩慢變化直至收斂至0。相較之下，本文所提制導律的控制加速度指令的極值遠小于文獻［10］，約為30 m/s2，未達到限幅。經13 s 左右緩慢降至-25 m/s2，再緩慢變化直至收斂至0。

綜合來看，隨著期望打擊時間和期望打擊角度的增加，導彈飛行的軌跡更加彎曲、終端加速度收斂到0 的速度更慢。而本文所提制導方法相較文獻［10］的控制加速度具有更小的極值和變化平緩等特點，最終收斂至0 且末端無突變，更適用于工程應用。需要強調的是，所提出的制導方法考慮非機動目標。這是由于機動目標的彈道傾角在制導過程中不再是一個常數，其變化情況完全取決于目標的機動策略，此時打擊角度約束無法轉換為視線角約束。而本文所提出的制導方法對視線角的誤差參考軌跡進行設計，不適用于打擊機動目標的情形，故而針對機動目標的多項式成型方法可以通過對其他變量進行設計從而滿足打擊角度的約束，此處不再贅述。綜合上述分析，通過對靜止目標與勻速運動目標的仿真驗證可知，本文所提出的制導律滿足零脫靶量、打擊時間、打擊角度和終端加速度約束。

5 結 論

本文考慮靜止目標和勻速運動目標，設計一種滿足打擊角度和打擊時間約束的非奇異終端滑模制導律。首先考慮導彈的視線角誤差，將其設計成含有一個未知參數的時間多項式以滿足打擊角度約束。而未知參數的引入為系統對打擊時間的控制提供了可能。而后，基于固定時間穩定的概念設計一種終端滑模制導律對視線角誤差參考軌跡進行跟蹤，同時利用在線數值優化方法確定未知參數的值以實現打擊時間控制。本文提出的制導策略不需要剩余飛行時間估計和碰撞點預測。最后，仿真結果驗證了該方法的有效性。