發展幾何直觀的三個基本途徑

■ 蘇明強

幾何直觀是學會用數學的眼光觀察現實世界的重要基礎，幾何直觀不僅有助于把握問題的本質、明晰思維的路徑，而且有助于形成數學抽象能力，發展數學核心素養。《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣。幾何直觀的形成基礎在于“意識”，關鍵在于“習慣”，主要包含以下四個方面：一是能夠感知各種幾何圖形及其組成元素，依據圖形的特征進行分類；二是根據語言描述畫出相應的圖形，分析圖形的性質；三是建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型；四是利用圖表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的思路。下面，我們從“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”三個知識領域，討論發展幾何直觀的三個基本途徑。

一、在數與代數知識學習中發展幾何直觀

數與代數主要包括數與運算、數量關系、代數式、方程、不等式和函數等。數與運算、數量關系和代數式是代數學的重要基礎，方程、不等式和函數是代數學的重要內容，小學階段主要學習數與運算、數量關系兩個主題的內容，為后續方程、不等式和函數的學習奠定重要基礎。

在小學階段數與代數知識的學習中，我們可以通過建立“數”與“形”的緊密聯系，構建數學問題中“量”的直觀模型，促進學生幾何直觀的形成與發展。這里的“量”從常量向變量進階，從離散量向連續量過渡，主要體現在以下三個方面。

一是在數的認識中，數是量的一種抽象，這里的“量”通常是常量、離散量。教學時，我們可以通過畫“圈圈圖”或制作圖形卡片的方式，建立離散量的直觀模型，理解數的意義，在這里幾何直觀主要表現為利用圖形描述和分析離散量的問題。

二是在數的運算中，運算是關系的一種抽象，這里的“關系”通常是離散量的關系。教學時，我們可以通過畫圖的方式，建立離散量的直觀模型，理解數量關系，比如3×5，我們可以畫“圈圈圖”，每行畫5個圈圈，畫3 行，橫著看是3 個5，豎著看是5 個3，觀察的角度和算式變了，總數和結果不變，理解乘法的意義，在這里幾何直觀主要表現為利用圖形描述和分析離散量關系的問題。

三是在數量關系中，關系是規律的一種抽象，“路程、速度與時間”“周長公式”“面積公式”“體積公式”等數量關系，是變量、連續量之間變化規律的一種抽象。教學時，我們可以通過畫線段圖和幾何圖的方式，建立數量關系的直觀模型，在這里幾何直觀主要表現為利用圖形描述和分析連續量變化規律的問題。

二、在圖形與幾何知識學習中發展幾何直觀

圖形與幾何主要包括圖形的認識與測量、圖形的位置與運動、圖形的性質、圖形的變化、圖形的坐標等。小學階段主要學習圖形的認識與測量、圖形的位置與運動兩個主題的內容，圖形認識是圖形測量的基礎，圖形位置是圖形運動的基礎。

在小學階段圖形與幾何的學習中，我們可以通過感知平面圖形和立體圖形及其構成要素，依據要素的特征對圖形進行分類，以及根據語言描述畫出相應的圖形，深入分析圖形的性質，促進學生幾何直觀的形成與發展。這里從圖形特征的感知到圖形性質的進階，由感性認識上升為理性認識，主要體現在以下兩個方面：一是在圖形的認識中，圖是形的一種抽象，這里的“形”有一維的線段、射線和直線，有二維的角、三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，還有三維的長方體、正方體、圓柱、圓錐等。

教學時，我們可以讓學生從整體的角度感知這些圖形的形狀和從局部的角度感知圖形的基本構成要素，在此基礎上根據要素的特征對圖形進行適當的分類，發展學生的幾何直觀。二是在圖形的測量中，測量是圖形大小量化的結果，一維量化的結果是長度或周長，二維量化的結果是面積，三維量化的結果是容積或體積。教學時，我們可以讓學生依據語言描述畫出相應的圖形，在此基礎上根據圖形的特征深入分析圖形要素的性質，發展學生的幾何直觀。

三、在統計與概率知識學習中發展幾何直觀

統計與概率主要包括數據的分類、數據的收集整理與表達、抽樣與數據分析、隨機現象發生的可能性、隨機事件的概率等。小學階段主要學習“數據的分類”“數據的收集、整理與表達”“隨機現象發生的可能性”三個主題的內容。

在小學階段統計與概率的學習中，我們可以通過利用統計圖和統計表分析實際情境與數學問題，探索解決問題的路徑，促進學生幾何直觀的形成與發展。這里從數據信息直觀感知到數據規律直觀刻畫的進階，由感性認識上升為理性認識，主要體現在以下兩個方面。

一是在統計知識的學習中，統計是數據蘊含規律的一種抽象，統計表是數據分類與整理的有效手段，統計圖是數據蘊含規律的一種直觀刻畫。教學時，我們應該讓學生學會根據實際情境和數學問題，用統計表直觀表達數據，學會根據真實情境和真實問題，用相應的統計圖直觀表達數據，用統計圖呈現出來的變化規律進行推斷與預測，一般地，條形統計圖適用于表達離散型的數據，折線統計圖適用于表達連續型的數據，扇形統計圖適用于表達部分與整體關系的數據。

二是在概率知識的學習中，概率是隨機現象發生可能性大小的一種抽象，本質上是隨機事件發生可能性大小量化的一種結果。教學時，為了準確把握隨機現象的變化規律，我們應該引導學生通過實驗的方式收集相關的數據，學會用統計表整理數據，在觀察數據中發現隨機現象的變化規律。