手術機器人末端執行器械尺寸鏈分析

□ 付亞波 □ 孫亞軍

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1 尺寸鏈概述

在結構設計過程中,零件和裝配體之間總存在著相互關聯的尺寸,將這些相關尺寸按照順序形成一個封閉的鏈環,這個鏈環即稱為尺寸鏈。尺寸鏈中的各個組成尺寸分為增環、減環以及封閉環。尺寸鏈的主要計算方法有三種,即極值法、均方根統計法、蒙特卡洛計算法。尺寸鏈環的計算分為正計算、中間計算、反計算。正計算指已知各個尺寸組成環的基本尺寸及公差,從而來求解封閉環,主要功能在于設計完成后對圖紙中所涉及尺寸進行驗算,從而達到滿足設計精度的要求。反計算指已知封閉環的基本尺寸和公差,進而需要對各組成環(增減環)的公差進行分配,分配方法主要有等公差法、等公差等級法,以及根據制程能力分配法等。當需要采用反計算對結構精度進行分析設計時,要根據實際情況來進行公差分配,以期實現既能滿足產品功能定位的要求,又能滿足經濟性的需求。中間計算是介于正計算和反計算之間的一種尺寸鏈計算場景,指已知封閉環及部分組成環的基本尺寸和公差,需要對其余組成環的基本尺寸、公差進行計算分析,從而確定整個尺寸鏈環。這種計算形式多用于產品工藝設計的工藝尺寸鏈計算,通過保證各工序尺寸精度來保證零件精度要求,主要用于尺寸換算、加工余量確定和零件檢驗。

2 手術機器人末端執行器械結構

對于手術機器人末端執行器械而言,其器械安裝位置相對于基準的誤差對手術精度有著重要影響。手術機器人末端執行器械結構如圖1所示,前端成組孔處要安裝髖臼銼,成組孔相對于基準A與基準B的誤差計算,對于整個設備的綜合精度會起到較大的影響。由于手術機器人的綜合定位精度設計為1.5 mm,根據精度設計準則,取成組孔的公差范圍為±0.075 mm,即取綜合定位精度的1/10作為標準,筆者利用尺寸鏈的正計算原理對其各個組成環的精度分配進行驗算,并利用極限法和統計均方根法分別進行計算并對比。

▲圖1 末端執行器械結構

圖1中的鎖制件尺寸標注如圖2所示,軸環尺寸標注如圖3所示,連接桿尺寸標注如圖4所示,套筒尺寸標注如圖5所示。

3 基準

3.1 單個零件基準標注形位公差

單個零件基準標注形位公差如圖6所示。對于單個零件而言,基準包括在形位公差之內,在尺寸鏈計算過程中,只需考慮被測要素處的形位公差,而無需考慮基準的形位公差。

▲圖2 鎖制件尺寸標注▲圖3 軸環尺寸標注

▲圖4 連接桿尺寸標注▲圖5 套筒尺寸標注▲圖6 單個零件基準標注形位公差

3.2 裝配體基準標注形位公差

零件裝配后的狀態如圖7、圖8所示。

▲圖7 兩者完全互補咬合

圖7中,裝配完成后兩個端面之間的距離最小狀態結合面處完全咬合,咬合量正好等于公差值。圖8

▲圖8 兩者最大實體狀態互斥

中,裝配完成后兩個端面之間的距離最大狀態結合面完全互斥,處于最大實體狀態。

當兩個端面的形位公差值相等時,假定為Tt,兩個結合面處形成的公差帶上限值為Tt,公差帶下限值為0,轉換為正負公差,咬合量R為:

R=Tt/2±Tt/2

(1)

當兩個結合面的面積相差不大時,Tt取兩者中的較小值。當兩個結合面的面積相差較大時,Tt取面積較大一側的公差值。

4 裝配偏移

為便于裝配,在實際零件設計過程中,孔與軸的配合設計會有一定的間隙,如圖9所示。

▲圖9 裝配偏移

孔與軸的最大間隙為最大孔徑Dmax減去最小軸徑dmin,即2.055 mm。

孔與軸進行裝配時,其理想狀態是兩者同心,不取決于孔與軸的尺寸公差大小,因而可以得到裝配偏移量AS為:

AS=±(Dmax-dmin)/2

(2)

5 極值法

利用極值法進行尺寸鏈計算,即將尺寸鏈環中的各組成環尺寸與公差均轉換為正負公差的形式,大小取各個公差的極限值作為計算的基本值。極值法的基本計算步驟如下:

(1) 根據功能需求分析組成環;

(2) 根據工程圖畫尺寸鏈圖;

(3) 分析增減環,并轉化為正負公差;

(4) 根據尺寸鏈表進行計算。

針對手術機器人末端執行器械,尺寸鏈分為水平尺寸鏈和豎直尺寸鏈,尺寸鏈如圖10所示。

▲圖10 末端執行器械尺寸鏈

將圖10中各組成環的基本尺寸與公差值進行匯總,并根據形位公差的計算原則,將尺寸鏈中的增減環數據分別填入尺寸鏈計算表,見表1、表2。

根據表格計算結果可知,在水平方向上,目標要素相對于基準的公差帶大小為±0.035 mm,在豎直方向上,目標要素相對于基準的公差帶大小為±0.074 5 mm,均能滿足綜合定位精度誤差±0.075 mm的要求。

表1 水平尺寸鏈極值法計算結果 mm

表2 豎直尺寸鏈極值法計算結果

根據表格中的數據可以發現,在豎直方向上,裝配體偏移量AS占據了較大的比例,這是由于套筒件選型為塑料件,其加工精度遠低于金屬件,從而導致裝配體偏移過大。

6 統計均方根法

根據統計學原理,假設零件的制造結果服從一定的概率分布,其中最為常用的分布形式為正態分布,如果能夠利用統計的方法來獲得加工零件的公差分布情況進而獲得其概率分布參數,如此就可以利用統計均方根法來對零件進行尺寸鏈計算。相較于極值法的完全互換,統計均方根法無法做到完全互換,但是由于尺寸公差值可以更加寬泛,這會給設計和加工帶來較好的經濟性,因而對于大批量生產的零部件,往往會考慮采用統計均方根法來對尺寸鏈進行正、反計算。

對于相互獨立的隨機變量X、Y,分別服從正態分布,即:

(3)

式中:μx為隨機變量X的正態分布的數學期望值;σx為隨機變量X的正態分布的標準差;μy為隨機變量Y的正態分布的數學期望值;σy為隨機變量Y的正態分布的標準差。

對于線性組合隨機變量Z=aX+bY,也服從正態分布,即:

(4)

服從正態分布的隨機變量如圖11所示。

▲圖11 服從正態分布的隨機變量

推而廣之,對于隨機變量Si,其主尺寸為Li,公差值設定為Ti,有:

Si=Li±Ti

(5)

(6)

式中:i=1,2,3,…;μi為隨機變量Si的數學期望;σi為隨機變量Si的標準差。

考慮過程有偏差時,樣本數據的過程性能PPK計算方法為:

(7)

式中:Mean為實際制程的均值,即μi;USL為規格上限,即Li+Ti;LSL為規格下限,即Li-Ti;SLT為長期標準差,即σi。

取PPK為1.33,對于尺寸鏈的計算而言,當μi趨向于Li時,可得:

Mean-LSL=μi-Li-Ti=Ti=4SLT=4σi

(8)

USL-Mean=Li+Ti-μi=Ti=4SLT=4σi

(9)

Ti=4σi

(10)

即:

(11)

又有:

(12)

可得:

(13)

采用封閉環尺寸L鏈統計計算方法,基本尺寸L計算式為:

L=∑Li

(14)

公差T計算式為:

(15)

單隨機變量正態3σi分布如圖12所示。

▲圖12 單隨機變量正態3σi分布

根據計算式及單隨機變量正態3σi分布,可以推導出復合隨機變量的正態分布,如圖13所示。

▲圖13 復合隨機變量正態分布

綜上,對手術機器人末端執行器械進行均方根法計算,填入表3、表4。對比表1、表2可以發現,在水平方向上,極值法計算的封閉環尺寸公差為0.035 mm,統計均方根法計算的封閉環尺寸公差為0.016 mm。在豎直方向上,極值法計算的封閉環尺寸公差為0.074 5 mm,統計均方根法計算的封閉環尺寸公差為0.036 mm。可以發現,極值法的計算結果是統計均方根法的兩倍,統計均方根法的經濟性更好。

表3 水平尺寸鏈統計均方根法計算結果

7 結束語

尺寸鏈的正計算和反計算可以幫助設計人員對設計意圖進行核算和驗證,避免由于誤差分配不合理導致零件以及裝配體的功能喪失。

表4 豎直尺寸鏈統計均方根法計算結果

在尺寸鏈計算過程中,形位公差的計算占據非常大的比重,這也是新國標未來的發展方向。涉及形位公差的尺寸鏈計算,應當充分考慮基準,以及被測要素上標注形位公差對尺寸鏈的影響,從而得出合理的計算結果。

尺寸鏈的計算方法主要有三種,工程師常用的有極值法和統計均方根法,極值法的計算結果相對于統計均方根法而言比較保守,計算余量較大。而統計均方根法需要做統計過程控制公差分析,才可以得出可靠的計算結果,但是其更接近大批量的生產,具有較好的經濟性。在實際應用中,應當根據實際需求而定。對于小批量、完全互換的產品,建議使用極值法進行計算。對于大批量生產,有能力完成統計過程控制的情況,可以考慮采用統計均方根法進行計算。對于復雜的三維裝配,可以考慮采用蒙特卡洛三維仿真軟件進行計算。