基于《數學分析》課程的低年級本科生科研訓練探索
——以南京郵電大學為例

王蘭寧，戴建新，朱薇，穆振國

（南京郵電大學理學院，江蘇南京 210023）

自2018年開始實施的“雙一流”建設計劃是教育部全面振興本科教育、提高高校人才培養能力、實現高等教育內涵式發展的重要舉措[1-3]。該計劃將學科建設擺在高等教育發展的首要位置。優質學科的建設離不開優質的本科教育，其中本科生科研能力的培養尤為重要[4-6]。

“十四五” 期間，科技創新被擺在極其重要的位置。其中，基礎研究作為科技創新的源頭也將進一步擴大投入。作為創新活動的源頭，基礎研究人才的培養，對原始創新有著關鍵作用。

在此背景下，作為將來重要的科技創新人才儲備的本科生，特別是基礎數學學科的學生，需在本科階段打好專業基礎的同時，不斷提升自己的科研創新能力。

學生通過參加科研活動，能夠運用所學的知識解決實際科學問題，從而對所學知識進行鞏固并加深理解。同時通過參與科研活動，學生的科研能力與科研素養以及解決實際問題的能力能夠得到有效培養，有利于學生將來的高質量就業及進一步深造。

科研訓練的核心是如何從被動接受知識的“學習型學生”，變成可以自己發現問題、主動解決問題的“研究型學生”，這正是國家對高質量人才的本質需求。通常系統性的科研訓練出現在碩博階段。但是，近些年隨著科研競爭的不斷加劇和人才培養質量的不斷提高，很多國內外知名高校在招錄碩士研究生的時候越來越看重學生在本科階段的科研訓練情況和科研成果。在這種趨勢下，大學本科階段的科研訓練越來越受重視。

1 現狀分析

意識到科研訓練在人才培養模式改革、強化創新創業能力、提升大學生綜合素質等方面的重要作用，教育部決定在“十二五”期間實施國家級大學生創新創業訓練計劃。南京郵電大學也積極推出了校級“大學生科技創新訓練計劃項目（STITP）”，凡我校全日制本科生均可申請。項目主持人一般為大二、大三學生，創新訓練項目團隊一般為3人。每名學生只允許參加一個項目的申報。該計劃的實施為本科生提供了科技創新訓練的機會，使學生在本科階段就接觸了解學科前沿，極大地提高了學生的科研興趣。

但事實上，一方面由于參加STITP項目需要有一定科研基礎且名額有限，大部分本科生并沒有機會加入其中接受科研訓練，而他們卻需要在大四階段快速進入科研狀態并完成本科畢業設計（論文），這種由被動學習到主動科研的突然轉變，對毫無經驗的學生而言充滿挑戰。另一方面，STITP項目絕大部分偏向工科應用，缺少數學基礎理論研究的訓練內容。而這部分內容的缺失往往會造成學生數學基礎不牢，進而在研究生階段科研能力缺乏后勁[7]。

特別地，作為數學專業類學生，本科階段的理論學習通常復雜枯燥，他們需要了解自己所學知識的來龍去脈和實際用途，以增強專業認同感和歸屬感，提升對基礎學科的學習興趣。

為了彌補上述不足之處，我們從數學類專業基礎課《數學分析》入手，從中提煉適合低年級學生的研究課題，讓數學專業類學生從大一開始就逐步參與簡單的科研訓練，夯實數學基礎、體會科研樂趣，初步掌握“提煉問題→查閱文獻→應用所學知識解決問題→形成總結報告”這一完整的科研過程，為后續參與或主持更加復雜的科研工作奠定堅實的基礎，培養具有創新意識的高質量人才。

2 基礎科研訓練探索

2.1 提煉適合的科研訓練課題

我們以“夯實基礎，激發興趣，逐步提高”為宗旨，從《數學分析》課程常用的教材[8-9]中提煉出以下幾類適合低年級本科生進行初步科研訓練的課題：

（1）數學問題的歷史回顧。如“極限思想的產生和發展”“數系的擴充歷史探究” “微積分思想的歷史由來”等。這些課題雖然看著簡單，但卻都是最容易激發學生探討興趣的內容，在初學階段對此類課題進行相關資料的查找，搞清楚基礎概念的來源和不斷嚴謹化的過程非常重要。法國數學家龐加萊曾經說過：“如果我們想要預見數學的將來，適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀”。這樣的科研訓練能讓學生在查閱資料的過程中了解問題的來龍去脈和解決問題的曲折艱難，從而激起強烈的科研內驅性[10-11]。

（2）理論方法的歸納總結。如“不定積分的技巧總結”等。不定積分題目多變，技巧性較強，學生在面對大量不定積分的計算時可能會感到十分困惑，無從下手。類似的主題還有數列求極限、函數列一致收斂的證明等。因此適時進行總結能讓學生對所學方法和技巧加深理解、鞏固記憶。同時尋找合適的分類方法也是對學生邏輯思維能力的一種鍛煉。這種歸納總結能力對于在如今大數據時代做科研的學生顯得尤為重要，它決定了學生是否能從海量信息中迅速篩選出有用的部分，并加以分析利用。

（3）理論知識的深挖探究。如“Gauss公式在復雜情況下的應用舉例及技巧分析”。大部分數學分析教材只涉及了Gauss公式在簡單情況下的應用，而當情況變得復雜，比如封閉曲面內包含被積函數偏導數的不連續點時，學生能不能根據之前所學的Green公式舉一反三解決問題，并從中得到啟發甚至激發更深層次的想法，值得嘗試。又如“空間曲線積分與路徑無關的充要條件”需要學生從平面曲線積分與路徑無關的充要條件出發摸索證明類似的結論。更進一步還有“曲面積分與積分曲面無關的條件”等課題。這種從“已知”到 “相似未知”的探索與嘗試是培養學生科研能力的重要途徑，為以后探索“完全未知”的學術領域提供重要經驗和寶貴的“科研直覺”。

（4）數學知識的實際應用。如“最優價格模型的建立和解決方法”“曲率在高鐵軌道中的應用”等，可以讓學生對所學知識熟練掌握的情況下，進一步了解其在實際生活中的應用，明白數學知識并不是孤立于日常生活的單獨存在，而是來源于實際并服務于實際。讓學生建立起對數學專業的信心與熱愛，同時也培養了學生“理論聯系實際”這一重要本領。

2.2 具體實施方案

（1）課題發布。基于《數學分析》的低年級本科生科研訓練伴隨課程學習的始終，每個章節結束時教師發布本章相關知識點的科研訓練課題。課題的來源也可以由學生自行提出相關的、自己感興趣的內容，征得教師同意后加入備選課題。

（2）學生選題。學生從備選課題中選擇合適的課題進行研究。選擇同一課題的3-5人可以成立一個課題小組，組內自行分工，明確個人任務。

（3）課題研究。課題小組在教師的指導下利用課余時間分析課題任務，明確需要解決的具體問題，查閱相關資料，定期進行研討交流、向指導教師匯報課題進展。

（4）課題結題。學生將研究成果形成研究報告并參加答辯，評委教師根據答辯過程參照一定的考核標準判斷該課題是否滿足結題標準。

2.3 制定合理的考核評價標準

考核評價是科研訓練環節中一項重要的內容，是檢驗學生訓練效果的有效手段和評價教學質量的重要途徑。我們對學生的課題研究進行過程化考核，采用百分制，具體考核內容和占比如表1所示。

表1 考核評價內容和占比

為了讓所有學生都能參與課題研究并從中得到一定的科研鍛煉，備選課題的難易程度稍有差異，我們對其難度進行預先評估，分為三檔，學生可以根據自己的水平選擇合適的課題進行研究。課題的難易程度占比10%。

總結報告可以按照課題完成度、創新度、報告寫作水平等方面進行評估，占比50%。

課題研究結束后學生對自己的科研訓練結果進行答辯，由評委教師按照熟悉程度、語言表達等方面進行打分，占比20%。

課題研究的最終得分按比例計入《數學分析》課程的平時成績。從而激發學生對本課程的學習興趣，形成對學生科研訓練效果的有效監督機制。

3 充分發揮指導教師的育人作用，將思政內容融入科研訓練過程

作為數學類專業基礎課，開設在大一、大二的《數學分析》課程意義重大，不僅要幫助學生打好專業基礎，更要幫助學生建立牢固的愛國意識以及正確的科研觀。我們在指導學生進行科研訓練的時候，要充分發揮指導教師在育人方面的重要作用，將愛國主義、強國意識、社會責任感和時間管理等內容融入科研訓練中。例如，指導“級數的理論發展過程”課題時引入“不積跬步無以至千里”的思想，引導學生注重平時的點滴積累，最終完成從量變到質變的蛻化過程；指導“弧長和曲率的實際應用”課題時，引入我國在航天科技事業上的巨大發展，激發學生的愛國情懷和學習熱情。從而最終實現在科研訓練的同時，完成“課程思政”的創新發展[12-14]。

4 結語

為數學專業低年級學生打造初步的科研訓練基礎，使他們在合理的引導下熟悉一般科研流程，逐步建立科研興趣，夯實數學基礎，為后續進一步參與更加復雜的科研工作奠定堅實的基礎。該訓練計劃連同STITP和畢業設計一起形成了大學四年本科生科研訓練的完整框架，為高校培養更加具有創新意識和創新能力的高質量人才提供了必要基礎。