基于撓度分析變截面箱型梁的剪力滯效應

韓 嬌 尹錫錫 王 展 韋春宜 周月娥

（廣西民族大學建筑工程學院，廣西 南寧 530006）

0 引言

箱型梁因其良好的力學性能而被運用于各類工程中，箱型梁由頂板、底板、腹板和翼緣板組成。等截面箱梁得到了比較多的研究和應用，變截面箱梁因具有較好的靈活性，即在彎矩不同處可選擇不同截面大小，也得到了廣泛運用。文獻[1]針對等截面連續箱梁，提出了一種當量截面法，將理論計算結果與實驗結果進行了分析比較。文獻[2]針對大撓度問題，建立勢能泛函，用有限元的方法求解變截面箱梁的剪力滯效應。文獻[3]在考慮剪力滯的同時考慮剪切變形效應，采用兩種不同的方法建立了變截面箱梁的撓度和剪力滯系數的求解公式。文獻[4]針對連續箱梁，利用有限梁段法建立了剪力滯系數求解公式。文獻[5]利用正弦函數建立箱梁的縱向位移函數，用有限差分法建立了求解剪力滯系數和應力的公式。文獻[6]利用變分法和有限梁段法分析了變截面箱梁的剪力滯效應。

本文基于箱型梁剪力滯效應分析的能量變分法[7]，結合變截面箱型梁剪力滯效應分析的當量截面法建立了基于附加撓度的變截面箱梁解析分析方法。并在此基礎上，推導了懸臂和簡支箱型梁受均布荷載作用下撓度、剪力滯系數和應力的計算公式。

1 等截面箱型梁的控制微分方程

基于附加撓度的箱型梁控制微分方程[7]：

式中：參數I、n 和k 的定義及取值表達式可參閱文獻[7]。

2 剪力滯效應的影響因素及當量值

由式（2）可知，在q 一定的情況下，附加撓度wa（x）隨參數I、n 和k 變化。參數n 值是Is/I 的函數，參數k 值是Is/I 和Is/I 的函數，有關Is和Is的定義及取值表達式可參閱文獻[7]。

當箱型梁截面是變化的，其翼板的剛度和箱梁的總剛度也是變化的，即Is和Is是x 的函數：

根據上面I、Is/I 和Is/與x 的關系，參照等截面箱型梁的方法推導附加撓度的控制微分方程是很困難的。為了能利用分析等截面箱梁的方法，從近似計算角度出發，將箱梁沿跨長分段，在各個分段上計算I、Is和Is/。按式（6）求出三個當量值m1、m2和m3作為當量等截面梁的I、Is/I、和Is/代替原來的變截面梁，達到簡化求解變截面梁的目的。當量值m1、m2和m3用下式計算：

3 變截面箱型梁的控制微分方程

針對均布荷載作用下的箱型梁，將當量值m1、m2和m3代入式（1）和（2）得變截面箱型梁的控制微分方程為：

式中，

邊界條件與文獻[7]講到的邊界條件是一樣的，只是涉及參數k 和n 時，取式（9）的表達式進行計算。

4 變截面箱型梁附加撓度解析解

式（7）定義的四階常微分方程是w″a的二階常微分方程，其通解為：

對上式求一次、二次積分和一階導數，可得：

上式中的待定系數可利用邊界條件求出。

5 懸臂箱型梁的剪力滯系數

5.1 懸臂箱型梁受均布荷載作用下的撓度

當箱型梁為左端固定右端自由時，其邊界條件是：

結合式（10）～（13），聯立求解方程組可得式（12）中的待定系數：

繼而可得懸臂箱型梁的附加撓度：

求出箱梁截面的彎矩M（x）=-q（l-x）2/2，再根據關系式EIw?c=-M（x）通過積分可得：

箱型梁wc（x）的邊界條件滿足：

結合式（18）進行兩次積分確定：B1=B2=0，得wc（x）的表達式：

5.2 懸臂箱型梁的剪力滯系數

懸臂箱型梁的剪力滯系數表達式：

左端點處的剪力滯系數：

6 簡支箱型梁的剪力滯系數

6.1 簡支箱型梁受均布荷載作用下的撓度

當箱型梁左右端均為簡支時，其邊界條件是：

結合式（10）～（12），聯立求解方程組可得式（12）中的待定系數：

繼而可得簡支箱型梁的附加撓度：

根據初等梁理論可求得箱梁截面的彎矩M（x）=qx（l-x）/2，進而根據撓度wc（x）與截面彎矩M（x）的關系式通過積分可得：

箱型梁wc（x）的邊界條件滿足：

結合式（26）進行兩次積分確定：B2=0，B1=ql3/24，得wc（x）的表達式：

6.2 簡支箱型梁的剪力滯系數

簡支箱型梁的剪力滯系數表達式：

左右端點處的剪力滯系數：

7 箱型梁受均布荷載作用下應力

當箱型梁的邊界條件為左端固定、兩端簡支或是兩端固定，將前面得到的不同邊界條件下的w″a和w″c代入下式，就可以計算翼緣橫截面上的正應力：

8 結語

本文結合基于附加撓度的能量變分法和變截面箱型梁分析的當量截面法建立了適合變截面箱型梁剪力滯效應分析的解析方法。結合懸臂和簡支箱型梁在均布荷載作用下的邊界條件推導了箱型梁撓度、剪力滯系數和應力的解析計算公式，為變截面箱型梁剪力滯效應分析提供了一種新的解題思路。