“經(jīng)驗數(shù)學”的內(nèi)涵、價值及實踐*

戚洪祥 張新高

數(shù)學無處不在。不論是數(shù)學專業(yè)人員還是普通人，每天都會與數(shù)學打交道。從某種意義上來說，我們每個人都具有一定的數(shù)學經(jīng)驗。《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“新課標”）中有114次提及“經(jīng)驗”，主要以“經(jīng)驗”“活動經(jīng)驗”“數(shù)學經(jīng)驗”“學習經(jīng)驗”等四種提法出現(xiàn)。

一、從雙重意義理解“經(jīng)驗數(shù)學”的內(nèi)涵

1.經(jīng)驗的內(nèi)涵解讀

“經(jīng)驗”一詞在《現(xiàn)代漢語詞典》中的解釋為：（1）名詞，在活動中得到的知識或技能；（2）動詞，體驗、經(jīng)歷。這兩種解釋與美國教育家杜威對經(jīng)驗意義的雙重界定（經(jīng)驗的事物、經(jīng)驗的過程）高度一致，即經(jīng)驗既表示結(jié)果也表示過程。從數(shù)學學科來看，不論是數(shù)學知識本身還是學生學習數(shù)學的過程，都在一定程度上體現(xiàn)了經(jīng)驗的雙重意義，使得二者都具有經(jīng)驗性。

數(shù)學知識體系的經(jīng)驗性。數(shù)學學科知識最初源自人們的生活實踐，人們首先從生活情境中抽象出數(shù)學問題（即抽象），然后結(jié)合相關數(shù)學知識選取合適的方法進行數(shù)學學科的演繹（即推理），最終利用數(shù)學知識解決生活中的實際問題（即模型）。這一過程與史寧中教授提出的“數(shù)學的基本思想是抽象、邏輯、模型”相一致。學生學習的數(shù)學知識基本上都是人們在生活實踐中提煉出來的，屬于經(jīng)驗性知識。

數(shù)學學習過程的經(jīng)驗性。建構主義學習理論認為：學習過程是一種認知過程，是學生內(nèi)部認知結(jié)構變化的過程，是學生主動對外部的信息和刺激進行吸收、加工和賦予意義的過程。學生現(xiàn)有的數(shù)學經(jīng)驗是教師組織數(shù)學教學的邏輯起點，是學生數(shù)學學習的現(xiàn)實起點。從教的視角來看，教師預設、組織、實施教學活動，都應充分考慮學生的已有數(shù)學經(jīng)驗，關注學習過程中學生的體驗。從學的視角來看，數(shù)學學習過程就是學生面對學習材料，經(jīng)歷豐富的、完整的觀察、操作、思考、想象、反思等數(shù)學活動，從而涵育數(shù)學素養(yǎng)，獲得生命成長。在這一過程中，學生對已有經(jīng)驗不斷解構與重構，從而使它轉(zhuǎn)變?yōu)樾碌慕?jīng)驗。從評的視角來看，如果沒有經(jīng)驗的解構與重構，學習活動就是低效的，甚至是無效的，學習就沒有真正發(fā)生。

2.“經(jīng)驗數(shù)學”的內(nèi)涵解讀

基于“經(jīng)驗”的雙重詞性，“經(jīng)驗數(shù)學”是一種教學主張，倡導通過轉(zhuǎn)變學生的學習方式，以他們的已有經(jīng)驗為基礎，以經(jīng)驗過程為目標，構建以學為中心的學習樣態(tài)，促進學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，最終實現(xiàn)他們核心素養(yǎng)的培育。

經(jīng)驗的事物之“經(jīng)驗數(shù)學”。從“經(jīng)驗的事物”這一視角來看，“經(jīng)驗數(shù)學”觀照的經(jīng)驗主要指學生的生活經(jīng)驗和數(shù)學經(jīng)驗。當學生面對新情境、新問題時，會獲得一種原始的、模糊的甚至不正確的經(jīng)驗，隨著學習活動的展開與深入，這種經(jīng)驗逐步被改造、升級，成為較為清晰的、準確的新經(jīng)驗，新經(jīng)驗在多次被調(diào)用、反思、重塑后，內(nèi)化為經(jīng)驗圖式，學生便形成了自己個性化的經(jīng)驗圖譜。

經(jīng)驗的過程之“經(jīng)驗數(shù)學”。從“經(jīng)驗的過程”這一視角來看，“經(jīng)驗數(shù)學”強調(diào)“再經(jīng)歷”“再創(chuàng)造”，關注學生學習過程中的具身操作、獨立思考、合作探究、交流辨析、自主實踐等學習方式。數(shù)學學習不是簡單的背誦、記憶、做題，而要讓學生完整地經(jīng)歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程。

3.“經(jīng)驗數(shù)學”的顯著特征

經(jīng)驗的事物與過程具有個體的獨特性。與外顯的數(shù)學學科知識不同，學生的已有經(jīng)驗受其身心發(fā)展狀態(tài)、社會生活背景、感悟能力等因素的影響，呈現(xiàn)出顯著的差異性，體現(xiàn)出明顯的獨特性。面對相同的情境、問題或材料，不同個體獲得經(jīng)驗的程度也不同，有些人有了經(jīng)歷卻沒有構成經(jīng)驗，有些人獲得了一個初步的經(jīng)驗，有些人則得到了一個完整的經(jīng)驗。當然，經(jīng)驗的過程并非一定需要具身參與，也可以是學生在與學習伙伴分享交流、質(zhì)疑討論的過程中進行思辨和內(nèi)化，將他人的經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為自己的，重塑自身經(jīng)驗的過程。

經(jīng)驗的事物與過程具有遷移的兩面性。對學生來說，在新的數(shù)學學習活動中，已有經(jīng)驗有著積極與消極的兩面性。其積極作用體現(xiàn)在：當學生面對新情境、新問題時，經(jīng)驗往往可以驅(qū)動、支撐他們思考，并成為他們學習新知的有效支架，最終使其不太完善的認知結(jié)構變得更加完善，原有低級認知結(jié)構發(fā)展為更加高級的認知結(jié)構。其消極作用體現(xiàn)在：當學生面對新情境、新問題時，會產(chǎn)生認知沖突，從而導致認知失衡，此時原有的認知結(jié)構會開啟自我保護功能，拒絕新知識進入。另外，學生在學習過程中容易受數(shù)學思維、習慣常規(guī)等數(shù)學經(jīng)驗（即思維定勢）束縛，導致新知學習不暢、學習能力鈍化。

經(jīng)驗的事物與過程具有動態(tài)的發(fā)展性。學生的數(shù)學經(jīng)驗來源豐富，可能是數(shù)學學習活動，也可能是其他學科的學習活動或課外社會活動。從主體與客體相互作用的角度來看，經(jīng)驗的事物與過程都是動態(tài)的、發(fā)展的、可利用的，是聯(lián)絡未來的。任何一個經(jīng)驗的過程都要花時間來完成，它是一個“有始有終、中間有發(fā)展”的動態(tài)生長過程。當學生處于新的學習情境、面對新的數(shù)學問題時，他們的已有經(jīng)驗會悄無聲息地融入進來，激發(fā)認知沖突，從而啟動新一輪的學習活動。如此，學習的真實發(fā)生總是從經(jīng)驗的遷移開始，伴隨著經(jīng)驗的失衡、解構、重構與心理的反省、摒棄、重組等一系列活動過程，這種螺旋上升的動態(tài)、循環(huán)往復的經(jīng)驗過程帶來了經(jīng)驗事物的自然生長。

二、從多重功能彰顯“經(jīng)驗數(shù)學”的價值

1.落實數(shù)學課程目標的新舉措

為了體現(xiàn)整體的一致性，義務教育階段的課標與高中階段一樣，采用核心素養(yǎng)來表述課程目標，并將“側(cè)重對經(jīng)驗的感悟”明確為小學階段的目標之一。“創(chuàng)新意識”作為數(shù)學課程要培養(yǎng)的11 個小學生核心素養(yǎng)之一，其內(nèi)涵中指向小學階段的有“主動嘗試……發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題”“勇于探索……實際問題與數(shù)學問題”。學生要想“發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題”，就需要有一定的與現(xiàn)象和情境相關聯(lián)的經(jīng)驗，這種經(jīng)驗是生發(fā)問題的源頭活水。另外，學生要“探索問題”，就需要有探索問題的一般路徑與方法，也就意味著要有“經(jīng)驗過程”的經(jīng)驗。

2.促進學習方式轉(zhuǎn)型的新路徑

近年來，學生的學習方式發(fā)生了一些改變，但學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)還未能跟上時代發(fā)展的步伐，通過轉(zhuǎn)變學生的學習方式來促進其創(chuàng)新能力的提升一直是教育教學研究的熱點之一。新課標明確指出：學生的學習應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數(shù)學的重要方式。“經(jīng)驗數(shù)學”強調(diào)在一定的情境中，讓學生主動參與學習活動和經(jīng)驗學習過程，并積極對初步的、模糊的經(jīng)驗進行加工處理。教師在設計教學活動時，應注意融入學生的實踐知識和實際經(jīng)驗，通過營造氛圍、設計任務、搭建支架等激發(fā)學生學習的能動性，使學習真實發(fā)生，從而使學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)成為可能。

三、從三個維度關注“經(jīng)驗數(shù)學”的實踐

1.“經(jīng)驗數(shù)學”之教——讓創(chuàng)新意識自主生發(fā)

讓創(chuàng)新意識生發(fā)于問題情境中。數(shù)學在生活中無處不在，生活情境是學生創(chuàng)新意識生發(fā)的源點。“經(jīng)驗數(shù)學”的教學預設與展開關注問題情境的創(chuàng)設，關注學生生活經(jīng)驗的激發(fā)與融入。從外顯的角度來看，學生創(chuàng)新意識產(chǎn)生的火花源于有效問題的產(chǎn)生，而學生熟悉的、有效的生活情境與經(jīng)驗能引發(fā)學生大膽地猜想，這種猜想就是一種創(chuàng)新。教師在備課時，要注意調(diào)研學情，了解學生在日常生活與實踐活動中所經(jīng)歷、獲得的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗看似平常，但如果教師能充分挖掘其價值，并將其合理地融入教學，將有助于激發(fā)學生的學習興趣，孕育創(chuàng)新意識。如教學“認識平行與相交”時，教師可以設計“兩支鉛筆同時掉到桌子上，結(jié)果會怎么樣？”這一學生特別熟悉的問題情境，接著開展想一想、畫一畫、分一分、說一說等活動，讓學生經(jīng)歷概念抽象的一般過程。

讓創(chuàng)新意識生發(fā)于動手操作中。數(shù)學是好玩的，兒童是好（hào）玩的，陶行知先生提出的“六大解放”之一就是“解放小孩子的雙手”。“經(jīng)驗數(shù)學”主張在課堂上給予學生足夠的時間和空間，讓創(chuàng)新意識從學生的指尖迸發(fā)出來。如教學“圓的面積”時，教師可以借助學具，引導學生討論用不同方法拼擺出圖形來推導面積。與講思路、播PPT、讀結(jié)論的教學相比，與傳統(tǒng)意義上的動手操作相比，“經(jīng)驗數(shù)學”教學更加注重學生已有經(jīng)驗的激發(fā)，更加重視“知行合一”的創(chuàng)造性實踐，更加關注學生在操作過程中的具身體驗和實踐探究。

2.“經(jīng)驗數(shù)學”之學——促創(chuàng)新意識自由生長

讓創(chuàng)新意識生長于遷移重構的學習動態(tài)。當學生面對新情境、新問題時，經(jīng)驗能夠提供具體、可靠而及時的反饋，幫助其理清新情境、新問題中蘊含的信息。“經(jīng)驗數(shù)學”提出重經(jīng)驗、重體驗、重驗證的“三重”學習觀，其中，重驗證就是要啟發(fā)學生把學到的數(shù)學原理和數(shù)學規(guī)則應用到新的、實際問題的解決中，創(chuàng)新意識則于這個過程中產(chǎn)生。如在學生合作探究出“偶數(shù)+奇數(shù)=奇數(shù)”這一規(guī)律，并依次進行舉例驗證、數(shù)形驗證、字母驗證的分享后，有學生提出：“我突然想到，可以用字母驗證的方法來說明‘2、3、5 的倍數(shù)的特征’。”語言是思維的外殼，學生口中的“我覺得”“我突然想到”“受×××的啟發(fā)”等話語，正是他們自覺地去遷移、去創(chuàng)新后的真情流露。

讓創(chuàng)新意識生長于學思融通的學習樣態(tài)。從內(nèi)隱的學習心理學、認知發(fā)生論的視角出發(fā)，“經(jīng)驗數(shù)學”倡導建構學思融通的學習樣態(tài)。首先，通過創(chuàng)設問題情境或?qū)W習任務激活學生的已有經(jīng)驗，促進他們獨立思考，引發(fā)其經(jīng)驗失衡，促使他們在不斷自問、質(zhì)疑、嘗試之后，將自己的思考通過多元化的表征方式展現(xiàn)出來。接著，進行基于分享、交流、質(zhì)疑等學習活動的共學研討，優(yōu)化思考問題的方式和思路，形成更為科學、高效而一般化的解題思路或?qū)W習路徑。最后，通過具有生活情境的變式練習，在解決不同類型的問題時，對前期的思路、模式進行分析、綜合甚至是反思評價，從而發(fā)展包括創(chuàng)造性思維在內(nèi)的高階思維，長此以往，將有助于學生形成相對穩(wěn)定的思維方式和思維結(jié)構。

3.“經(jīng)驗數(shù)學”之評——為創(chuàng)新意識培養(yǎng)賦能

日常增值評價為創(chuàng)新意識培養(yǎng)賦能。“經(jīng)驗數(shù)學”倡導“看每個學生進步了多少”的評價理念，弱化已有經(jīng)驗水平不同的學生之間的橫向比較，在尊重學生已知的前提下重點開展關注學生經(jīng)驗增加值、進步度的縱向評價。以課時、單元教學為日常周期，通過學情調(diào)研、對話交流等方式，促進學生獲得學科知識、培養(yǎng)創(chuàng)新意識。在日常教學中，教師與學生亦師亦友，甘心站于教室的一角，把學生請到講臺的中央，借助教學實錄記載、課堂觀察量表、信息技術平臺等，真實而詳盡地記錄每個學生在學習過程中的真實表現(xiàn)，特別是其創(chuàng)新意識的生發(fā)與生長過程，進而找準每個學生的經(jīng)驗增加值、思維進階度，助推其創(chuàng)新意識向創(chuàng)新能力、創(chuàng)新精神生長。

階段情境樂評為創(chuàng)新意識培養(yǎng)賦能。情境樂評是我們開展的一種階段性素養(yǎng)評測活動，包括創(chuàng)設真實情境、設計主題任務、解決實際問題等項目，在引導學生開展做中學、學中說、說中用的過程中，考查他們創(chuàng)新意識的發(fā)展水平。在期中或期末階段開展活動時，家長、教師、其他研究者共同擔任觀察者、評價者，通過一對一觀察、模擬情境對話等形式，觀察學生全過程的表情、動作、神態(tài)、語言，評測學生在面對新情境、新任務、新問題時，能否將積淀的經(jīng)驗進行提取、融合、應用，能否呈現(xiàn)一種看似非經(jīng)驗實則是經(jīng)驗引發(fā)質(zhì)變的頓悟狀態(tài)。觀測結(jié)束后，依據(jù)評價標準賦予學生不同的星級。

綜上，“經(jīng)驗數(shù)學”給課堂注入了活力，讓學習煥發(fā)了生機，讓創(chuàng)新意識的培育、創(chuàng)新能力的發(fā)展成為可能。“經(jīng)驗數(shù)學”給學生帶來了有意義的學習歷程，能讓學生對數(shù)學學習的認識產(chǎn)生根本性的變化，這對學生的數(shù)學學習、學校生活甚至其未來的發(fā)展來說，都將產(chǎn)生積極的影響。