初中數(shù)學(xué)教學(xué)中GeoGebra的應(yīng)用探索

◎朱云云

(常州市濱江中學(xué)，江蘇 常州 213034)

引言

GeoGebra是一種跨平臺的數(shù)學(xué)軟件，能夠?yàn)閹缀巍⒋鷶?shù)、統(tǒng)計等方面的教學(xué)提供重要支持，從而提升教學(xué)的質(zhì)量.初中學(xué)生正處在思維快速提升的年齡階段，而數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，探究性的教學(xué)更有助于學(xué)生思維的健全發(fā)展.但是在以往的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師卻過于重視知識的填充，忽視了學(xué)生心智上的發(fā)展，導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)的價值沒有充分體現(xiàn)出來[1].對于上述問題，通過在教學(xué)中合理地利用GeoGebra，教師可以更加簡便地將抽象的數(shù)學(xué)知識形象化、具體化，從而有效提升學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的深度探究，提高學(xué)生的思維水平.因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要結(jié)合學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)需要，合理地開發(fā)GeoGebra的功能，優(yōu)化教學(xué)環(huán)境，逐步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)素養(yǎng)[2].

一、GeoGebra輔助初中數(shù)學(xué)教學(xué)的優(yōu)勢

首先，GeoGebra是一款開源的軟件，能讓用戶獲得更好的使用體驗(yàn).不僅教師可以利用GeoGebra進(jìn)行備課并開展課堂教學(xué)，而且學(xué)生可以在課余的時間對其進(jìn)行操作，開展自主練習(xí)和探究，從而讓自主學(xué)習(xí)能力獲得提升.并且GeoGebra官方網(wǎng)站提供了豐富的素材，包括數(shù)學(xué)游戲素材、圖形素材等，有利于提升教學(xué)的趣味性[3].

其次，GeoGebra有多種版本，除了在課堂上可以借助電腦使用GeoGebra軟件之外，還可以使用手機(jī)、平板下載和使用這一軟件，這為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供了更加多元化的選擇.學(xué)生可以根據(jù)自己的環(huán)境及需要，靈活地選擇GeoGebra的各種版本，開展個性化的學(xué)習(xí).

接著，GeoGebra有助于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成和發(fā)展.初中學(xué)生正處在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時期，而數(shù)形結(jié)合是學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象本質(zhì)的一個重要數(shù)學(xué)思想.GeoGebra軟件為學(xué)生提供了很多可以用來進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化的工具，為學(xué)生探究數(shù)形結(jié)合思想提供了很大的便利.

最后，GeoGebra有助于提升課堂教學(xué)的效率.一，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會遇到畫圖的問題，如果花費(fèi)較多的時間作圖，不僅會浪費(fèi)課堂時間，而且畫出來的圖像經(jīng)常不標(biāo)準(zhǔn)，這會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，但是教師可以使用GeoGebra提前制作好課堂上需要用到的圖像，快捷展示出來，從而提升課堂的效率.二，數(shù)學(xué)教學(xué)中有很多比較抽象的知識，這給學(xué)生的理解帶來了困難，但是通過GeoGebra的使用，則可以將抽象的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生容易理解的直觀內(nèi)容，由此增進(jìn)學(xué)生的理解.三，GeoGebra可以成為學(xué)生開展自主探究的平臺，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.綜上，GeoGebra可以有效地彌補(bǔ)傳統(tǒng)課堂教學(xué)的各種不足，從而提升課堂教學(xué)的效率.

二、GeoGebra在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用路徑

1.運(yùn)用GeoGebra進(jìn)行教學(xué)準(zhǔn)備

備課對教師來說十分重要，但在以往的備課過程中，教師大多是結(jié)合自己的經(jīng)驗(yàn)及對學(xué)情的了解，制作出簡單的課件，導(dǎo)致備課往往缺乏針對性，無法滿足學(xué)生在課堂上的學(xué)習(xí)需要.在新課程改革的背景下，教師要在備課的過程中對學(xué)生的需要進(jìn)行充分的分析，并且結(jié)合學(xué)生的需要來開發(fā)有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)的教學(xué)資源，進(jìn)而為學(xué)生有效的課堂學(xué)習(xí)做好保障.因此在備課的過程中，教師可以根據(jù)需要使用GeoGebra軟件，借助GeoGebra上的資源和功能來準(zhǔn)備更有助于學(xué)生學(xué)習(xí)的課堂.

比如，在教學(xué)“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”時，教師可以通過對教學(xué)內(nèi)容、學(xué)情及教學(xué)目標(biāo)的分析來利用GeoGebra完成備課的活動.本單元內(nèi)容是九年級的知識，是對二次函數(shù)概念的深度延伸，也是學(xué)生學(xué)會利用二次函數(shù)的知識解決問題的基礎(chǔ).這一單元對三種形式的二次函數(shù)圖像和性質(zhì)進(jìn)行了整合，而GeoGebra的使用可以幫助學(xué)生更好地體會不同形式二次函數(shù)之間的關(guān)系，同時鍛煉學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想及分類討論能力.在學(xué)習(xí)這一單元的知識之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何研究一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，能按照一般的步驟來繪制函數(shù)的相關(guān)圖像，知道要從哪些角度總結(jié)函數(shù)圖像的性質(zhì).但是本單元所學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖像對學(xué)生來講仍然比較困難，尤其需要學(xué)生將三種形式的二次函數(shù)圖像的差異進(jìn)行對比，這給學(xué)生的歸納總結(jié)帶來了阻礙.結(jié)合上述的教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情分析以及對GeoGebra作用的整理，可以將這一單元的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計為：可以用一般的方法畫出三種形式的二次函數(shù)圖像，理解不同系數(shù)的變化給二次函數(shù)帶來的影響，掌握三種形式下二次函數(shù)的性質(zhì)；有序觀察GeoGebra呈現(xiàn)的二次函數(shù)圖像，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合意識，提升幾何直觀素養(yǎng)；利用GeoGebra探索二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，提升數(shù)學(xué)欣賞能力.而根據(jù)這一目標(biāo)，教師可以先使用GeoGebra軟件制作出y=ax2的函數(shù)圖像；再結(jié)合函數(shù)圖像進(jìn)行左右平移，得到另一種形式的二次函數(shù)圖像；之后再進(jìn)行上下平移，得到第三種圖像.通過觀察這一過程中函數(shù)解析式和函數(shù)圖像發(fā)生的變化，幫助學(xué)生總結(jié)出二次函數(shù)的性質(zhì).

總之，教師在準(zhǔn)備教學(xué)的過程中要充分地發(fā)揮GeoGebra的作用，將其融入備課中，從而簡化教師的備課流程，提升教師備課的效率，增強(qiáng)教師備課的能力.

2.運(yùn)用GeoGebra進(jìn)行教學(xué)傳遞

在課堂教學(xué)的過程中，教師可以使用GeoGebra向?qū)W生傳遞一些比較復(fù)雜的內(nèi)容，從而幫助學(xué)生突破平面作圖的限制，使他們對數(shù)學(xué)知識形成更加深刻的理解.GeoGebra是一款十分優(yōu)秀的教學(xué)軟件，尤其在畫圖方面，它可以即時呈現(xiàn)教學(xué)所需的各種圖像，從而給了教師和學(xué)生更多的時間來進(jìn)行語言和思維上的交流，便于學(xué)生建立邏輯清晰的知識鏈條.因此在實(shí)際的教學(xué)中，除了在上課之前使用GeoGebra來完成備課，教師還可以根據(jù)學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)需要，即時使用GeoGebra進(jìn)行知識傳遞，打造靈活多變的數(shù)學(xué)課堂[4].

比如，在教學(xué)“一次函數(shù)的圖像”時，教師可以利用GeoGebra豐富學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)經(jīng)歷.教師可以在課堂上利用課件或者電子白板向?qū)W生展示與一次函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題，比如“科學(xué)家測量得到，當(dāng)海拔每上升1千米的時候，溫度就會下降6攝氏度，那么溫度和海拔之間的關(guān)系可以怎么表示？”.學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念，掌握了一次函數(shù)的建模方法，因此學(xué)生可以很快地將這個問題中的數(shù)量表示出來，寫出y=-6x的式子.在學(xué)生寫出函數(shù)式后，教師再使用信息技術(shù)向?qū)W生展示更多的相關(guān)問題，進(jìn)一步激活學(xué)生對一次函數(shù)的印象.接下來，教師再引導(dǎo)學(xué)生借助GeoGebra探究一次函數(shù)的圖像，首先讓學(xué)生在紙上畫出y=-6x和y=-6x+5的圖像，接著教師在GeoGebra上輸入相關(guān)的數(shù)據(jù)，快速呈現(xiàn)兩個函數(shù)的圖像，讓學(xué)生觀察軟件上的圖像和自己的圖像之間是否存在差別，同時使用GeoGebra上的播放功能來展示這兩個圖像的形成過程，強(qiáng)化學(xué)生對畫圖步驟的理解.之后，教師再引導(dǎo)學(xué)生對兩個圖像之間的差異進(jìn)行分析，讓學(xué)生對y=kx+b函數(shù)中b的變化給函數(shù)圖像帶來的影響進(jìn)行探索，之后再向?qū)W生展示y=6x的函數(shù)圖像，讓學(xué)生再次進(jìn)行對比，從而總結(jié)出k的變化給函數(shù)圖像帶來的影響.

總之，GeoGebra可以為教師的信息傳遞提供很多便利，因此在實(shí)際的教學(xué)中，教師要根據(jù)課堂教學(xué)情況，靈活地開發(fā)GeoGebra，幫助學(xué)生完善學(xué)習(xí)活動.

3.運(yùn)用GeoGebra引導(dǎo)自主探究

數(shù)學(xué)是對學(xué)生思維的教育，因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要使用各種方法來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)自主探究，讓學(xué)生學(xué)會靈活地運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)構(gòu)建新的知識，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.而GeoGebra有十分便利的功能，可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究提供重要的支持，因此教師可以將GeoGebra作為學(xué)生自主探究的平臺，幫助學(xué)生開展深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[5].

比如，在教學(xué)“等腰三角形的軸對稱性”時，教師可以將學(xué)生的實(shí)踐操作和GeoGebra的功能聯(lián)系在一起，幫助學(xué)生進(jìn)一步探索等腰三角形的性質(zhì).第一，教師在GeoGebra上向?qū)W生展示等腰銳角三角形、等腰直角三角形和等腰鈍角三角形這三種圖形(注意不要設(shè)置網(wǎng)格，從而讓學(xué)生對這三種等腰三角形形成更加直觀的印象).第二，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶軸對稱圖形的概念等與本節(jié)課有關(guān)的知識，進(jìn)一步激活學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài).第三，教師在GeoGebra上標(biāo)出其中一個三角形的頂點(diǎn)、腰和底邊等關(guān)鍵要素，并且讓學(xué)生說一說另外兩個三角形的相關(guān)要素.第四，教師讓學(xué)生展開自主學(xué)習(xí)活動，讓學(xué)生想一想可以怎么做出一個等腰三角形，在學(xué)生做好后，讓學(xué)生通過折一折、比一比等方式初步探索等腰三角形的性質(zhì).第五，教師在GeoGebra上添加網(wǎng)格，并且適當(dāng)調(diào)整做好的三角形，過其中一個三角形的頂點(diǎn)做一條角平分線，之后再做出這個三角形底邊的垂線，讓學(xué)生通過GeoGebra上顯示的坐標(biāo)發(fā)現(xiàn)兩條線是重合的，從而讓學(xué)生進(jìn)一步了解等腰三角形的對稱軸在哪里、如何畫.第六，在教師完成演示后，可以再在GeoGebra上畫出一個隨機(jī)的等腰三角形，邀請學(xué)生上臺對等腰三角形的軸對稱性進(jìn)行講解，從而讓學(xué)生進(jìn)一步完善自己的認(rèn)識.

這樣，GeoGebra可以為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究提供重要的支撐，幫助學(xué)生更好地探索數(shù)學(xué)知識的形成過程，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)能力.

4.運(yùn)用GeoGebra發(fā)展數(shù)學(xué)思想

GeoGebra可以為數(shù)學(xué)思想教學(xué)的落實(shí)提供幫助.初中學(xué)生正處在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵時期，讓學(xué)生掌握各種數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵及使用方法，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到啟發(fā).因此教師要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，以GeoGebra為平臺來引導(dǎo)學(xué)生展開探索，幫助學(xué)生建立對數(shù)學(xué)思想的全面認(rèn)識.

比如，在教學(xué)“反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)”時，這是學(xué)生第一次接觸圖像是曲線的函數(shù)，這對學(xué)生來講存在一定的難度，因此教師要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，從而為學(xué)生以后的曲線函數(shù)圖像學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).教師可以給出提出一個反比例函數(shù)，讓學(xué)生列出這個函數(shù)的幾個對應(yīng)值，制作一份關(guān)于函數(shù)值的表格.在學(xué)生完成表格后，教師對表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行觀察，并且搜集一些數(shù)據(jù)，輸入到GeoGebra上，畫出描點(diǎn)圖.之后教師讓學(xué)生利用計算機(jī)或者猜想的方式，思考這個函數(shù)圖像的大致走向，并且讓學(xué)生說一說自己猜想的依據(jù).在學(xué)生進(jìn)行了充分的猜想后，教師再在GeoGebra上輸入函數(shù)解析式，將完整的圖像畫出來，讓學(xué)生將自己的計算結(jié)果和真實(shí)的圖像結(jié)果進(jìn)行對照，看看自己的猜想是否正確.如此，有助于學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的形成，有助于降低教學(xué)的難度，有助于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心.

5.運(yùn)用GeoGebra提升課堂參與

數(shù)學(xué)知識的抽象性使得很多學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常產(chǎn)生消極的情緒，導(dǎo)致了課堂教學(xué)效果不理想的情況.而GeoGebra軟件的使用可以將原本枯燥的數(shù)學(xué)知識以更加直觀的方式呈現(xiàn)出來，從而有效地提升學(xué)生的課堂參與度，讓學(xué)生在更加具有趣味性的環(huán)境中學(xué)習(xí)知識.

比如，在教學(xué)“設(shè)計軸對稱圖案”時，教師可以將GeoGebra作為師生互動的平臺，給學(xué)生提供充足的自主操作機(jī)會，讓學(xué)生試著使用GeoGebra來開展軸對稱圖案的設(shè)計和創(chuàng)作.教師可以在機(jī)房提前安裝好GeoGebra軟件，并且對學(xué)生進(jìn)行分組，先幫助學(xué)生了解用GeoGebra畫圖的方法，之后再給學(xué)生自主操作的時間，讓學(xué)生們合作進(jìn)行軸對稱圖形的制作.在學(xué)生合作完成制作后，教師不僅要讓學(xué)生展示最終的作品，同時還要讓學(xué)生回憶作圖過程中都用到了哪些知識和技能，并且讓學(xué)生自己說一說怎么用軸對稱的知識來檢驗(yàn)自己所做的圖形是否是軸對稱圖形，從而進(jìn)一步升華學(xué)生的思想.

隨著科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的信息素養(yǎng)也成為教師現(xiàn)如今的一個主要任務(wù)，因此教師要利用好GeoGebra平臺，提升學(xué)生在課堂上的參與度，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的創(chuàng)新意識、信息素養(yǎng)和實(shí)踐能力得到更好的發(fā)展.

三、GeoGebra在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用注意事項(xiàng)

GeoGebra的使用對于提升初中數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量有十分積極的作用，但是在實(shí)際的應(yīng)用過程中，還有很多值得教師關(guān)注的問題.為將GeoGebra的價值真正體現(xiàn)出來，并避免由于GeoGebra的不合理使用而導(dǎo)致教學(xué)質(zhì)量下降的問題，應(yīng)注意如下事項(xiàng).

首先，教師自身要不斷地進(jìn)行學(xué)習(xí)，充分認(rèn)同在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用GeoGebra的必要性，并且熟練掌握GeoGebra的各種功能，從而為GeoGebra的使用奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量起到很大的影響，但是在當(dāng)前的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多教師缺乏學(xué)習(xí)教育技術(shù)的意識，從而導(dǎo)致了課堂信息含量匱乏的問題.因此教師只有正確認(rèn)識教育信息化改革的必要性，積極探索GeoGebra的功能，提升自身的GeoGebra操作水準(zhǔn)，才能給學(xué)生提供更好的教學(xué)服務(wù).

其次，教師在使用GeoGebra的時候要選擇好時機(jī).GeoGebra是一款十分便于操作的工具，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以很方便地利用它來引導(dǎo)學(xué)生開展角度、圖形軌跡、圖形形狀等方面的探索.但是需要注意的是，學(xué)生是教學(xué)的主體，如果教師在教學(xué)中過于依賴GeoGebra，一味地使用GeoGebra來呈現(xiàn)各種信息，很容易使學(xué)生失去思考的意識，產(chǎn)生反作用.因此，教師要選擇好用GeoGebra呈現(xiàn)信息的時機(jī)，在學(xué)生思考后再使用GeoGebra平臺，幫助學(xué)生驗(yàn)證猜想或者輔助學(xué)生完成猜想，從而真正發(fā)揮出GeoGebra的作用.

接著，教師要根據(jù)實(shí)際需要，為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)腉eoGebra操作機(jī)會.在絕大多數(shù)的情況下，教師都是自己動手操作GeoGebra，讓學(xué)生進(jìn)行觀察，這種做法雖然可以節(jié)省課堂上的時間，但是容易導(dǎo)致學(xué)生失去探索的動力.初中學(xué)生正處在好奇心旺盛的年齡階段，因此在實(shí)際的教學(xué)中，教師要注重為學(xué)生提供多一些的實(shí)踐機(jī)會，滿足學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生可以在動手操作中獲得對數(shù)學(xué)知識的進(jìn)一步了解.教師可以在學(xué)生針對教學(xué)內(nèi)容提出猜想后，讓學(xué)生自己動手操作GeoGebra，用方便快捷的軟件來驗(yàn)證自己的猜想，從而讓學(xué)生收獲更多的課堂參與感，切實(shí)提升學(xué)生在課堂上的參與度.

最后，教師要鼓勵學(xué)生在課后利用GeoGebra進(jìn)行學(xué)習(xí).GeoGebra是一款免費(fèi)的軟件，而且有手機(jī)版、網(wǎng)頁版等各種版本，十分適合學(xué)生的數(shù)學(xué)課后學(xué)習(xí)，讓學(xué)生可以根據(jù)自己的需要了解更多的數(shù)學(xué)知識.因此，在教學(xué)的過程中，對于學(xué)生在課堂上產(chǎn)生的一些想法，教師可以鼓勵學(xué)生在課后使用GeoGebra進(jìn)行獨(dú)立驗(yàn)證，之后在課堂上分享自己的成果，以此營造良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，并且提高學(xué)生自主解決數(shù)學(xué)問題的能力.

結(jié)語：GeoGebra軟件在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有廣泛的應(yīng)用價值.在實(shí)際的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生的具體需要，分析軟件的具體用法，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供更多的便利，使學(xué)生能在信息技術(shù)的幫助下真正掌握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)探究的方法，進(jìn)而推動核心素養(yǎng)教育目標(biāo)的落實(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，提升教學(xué)的整體質(zhì)量，并且驅(qū)動數(shù)學(xué)教育信息化改革，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識水平和創(chuàng)新能力獲得協(xié)調(diào)的成長.