對一個條件概率問題的思考與變式

張洪源 (河北省唐山市第一中學2020級16班 063000) 指導教師 王筱穎

條件概率是高中數(shù)學的重要知識點，掌握條件概率的概念和應用是學習的重點.近日，《天才基本法》這部電視劇在各大平臺熱播，劇情中出現(xiàn)了許多有趣的數(shù)學題目，其中的一個條件概率問題引發(fā)了筆者的深入思考.

1 情景

有三個完全相同的盒子，第一個盒子里面裝了2個紅球，第二個盒子里面裝了2個藍球，第三個盒子里面裝的是1個藍球和1個紅球.

2 問題與分析

從三個盒子中隨機選擇一個盒子，從里面拿出一個球，發(fā)現(xiàn)球是紅色的.這個盒子里剩下的那個球也是紅球的概率是.

為了便于分析，我們將題目中各個盒子中的球進行編號.設第一個盒子中的兩個紅球分別為A1和A2；第二個盒子中的兩個藍球分別為B1和B2；第三個盒子里的紅球為A3，藍球為B3.

評注此問題屬于條件概率中的“有序”問題，和著名的“三門問題”原理類似，解決問題時一定不能盲目依靠直覺求解.

3 變式

變式1 從三個盒子中隨機選擇一個盒子，發(fā)現(xiàn)盒里的兩球中有紅球.這個盒子里的兩球都是紅球的概率是.

評注此問題屬于條件概率中的“無序”問題，如果采用列舉法，一定要注意A3B3和B3A3兩個事件都需滿足已知條件.

變式2 從三個盒子中隨機選擇一個盒子，從里面拿出一個球，發(fā)現(xiàn)球是紅色的.這個球來自第一個盒子的概率是.

評注此問題屬于條件概率中的后驗概率問題，即“執(zhí)果尋因”，可以使用貝葉斯公式直接求解.

變式3 從三個盒子中隨機選擇兩個盒子，分別從中拿出一個球，發(fā)現(xiàn)拿出的球里有紅球.拿出的兩球是一紅一藍的概率是.

評注此類問題事件情況數(shù)較多，需要對事件進行合理拆分，結(jié)合全概率公式求出所需事件概率.如果遇到求復雜事件的概率時，可以嘗試使用“正難則反”的方法，先求出其對立事件的概率，再得到所求概率.

以上是筆者對于一個條件概率問題進行的思考與變式，希望能對各位讀者學習、理解此類問題有所幫助.