初一數(shù)學(xué)解題中分類(lèi)討論思想的應(yīng)用

摘" 要：由于初中數(shù)學(xué)解題知識(shí)具有一定的抽象性，所以對(duì)剛跨過(guò)小學(xué)階段的學(xué)生來(lái)說(shuō)會(huì)存在一定的難度。為了有效解決這一問(wèn)題，在初一數(shù)學(xué)解題教學(xué)中可以采用分類(lèi)討論思想，分類(lèi)討論思想可以提高學(xué)生思維邏輯性，解決了學(xué)生在看到題目后的恐懼心理，同時(shí)教會(huì)了學(xué)生要通過(guò)科學(xué)系統(tǒng)的方法去解答題目，從而培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)律性，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)題意的理解。文章在介紹了分類(lèi)討論思想的重要性基礎(chǔ)上，詳細(xì)闡述了分類(lèi)討論思想在初一數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略。

關(guān)鍵詞：分類(lèi)討論思想；初一數(shù)學(xué)解題；思維邏輯性

一、分類(lèi)討論思想的重要性

分類(lèi)討論思想是一種極為重要的教學(xué)方法，基本思想是將復(fù)雜性的數(shù)學(xué)問(wèn)題分割成無(wú)數(shù)個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題，然后再通過(guò)基礎(chǔ)性問(wèn)題解答來(lái)完成解決原問(wèn)題的思想策略。數(shù)學(xué)中應(yīng)用分類(lèi)討論思想可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)形成全面完整的思維習(xí)慣，學(xué)生可以根據(jù)不同角度來(lái)解決不同的實(shí)際問(wèn)題，從而提高學(xué)生在解題方面的能力，分類(lèi)討論思想可以讓題目變得更加清晰并便于理解。在具體的課堂教學(xué)中，教師首先要讓學(xué)生去理解并能夠掌握分類(lèi)思想，同時(shí)要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境促進(jìn)學(xué)生用分類(lèi)討論的思想去解決問(wèn)題。分類(lèi)討論思想具有一定的原則性，要保證分類(lèi)的科學(xué)性、統(tǒng)一性，不可以有重復(fù)的現(xiàn)象發(fā)生，從而可以減少分類(lèi)，達(dá)到簡(jiǎn)化分類(lèi)的目的。分類(lèi)討論思想在運(yùn)用過(guò)程中要注意每次分類(lèi)時(shí)不能同時(shí)使用多個(gè)問(wèn)題，同時(shí)要做到分類(lèi)拆解后每個(gè)子項(xiàng)要互相排斥。分類(lèi)討論思想還分為一次分類(lèi)和多次分類(lèi)，一次分類(lèi)指的是對(duì)討論的對(duì)象只能去分類(lèi)一次，多次分類(lèi)是將分類(lèi)的所有子項(xiàng)作為母項(xiàng)，從而再分類(lèi)一次，直到滿足分類(lèi)需求為止。

分類(lèi)討論在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以對(duì)一些存在不確定因素或者并不能夠完全解答，又不能統(tǒng)一表述的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)解決，通過(guò)正確的分類(lèi)，可以在一定程度上解決學(xué)生的思維片面性，同時(shí)也可以將復(fù)雜的問(wèn)題變得清晰簡(jiǎn)單。但是在運(yùn)用分類(lèi)討論時(shí)候需要注意要遵循統(tǒng)一性的原則，明確分類(lèi)的原因，清晰地掌握解題的每一步驟，這樣才可保證在分類(lèi)后解答的正確性；隨著我國(guó)教育不斷改革，新課改的要求下教師要遵循學(xué)生的主體地位，教師不得以自身意志去要求學(xué)生，滿足學(xué)生充分發(fā)揮自身的潛力，不斷去成長(zhǎng)。特別是對(duì)初中數(shù)學(xué)的解題方法和思路來(lái)說(shuō)，要摒棄傳統(tǒng)的解題方法，防止學(xué)生死記硬背。而分類(lèi)討論思想作為初中數(shù)學(xué)解題的方法之一，學(xué)生要熟練掌握，并且做到靈活運(yùn)用。這樣使用分類(lèi)討論思想就可以培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)解題方面的邏輯思維。與傳統(tǒng)的解題方法相比，分類(lèi)討論思想是一種比較容易掌握的解題方法。學(xué)生在熟知數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)，也會(huì)全身心投入到數(shù)學(xué)解題中，增強(qiáng)了學(xué)生在學(xué)習(xí)方面的主觀性。

二、分類(lèi)討論思想在初一數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用策略

（一）分類(lèi)討論思想在有理數(shù)中的應(yīng)用

初一數(shù)學(xué)知識(shí)解題要根據(jù)一定的步驟進(jìn)行運(yùn)算，在實(shí)際數(shù)學(xué)解題中，分類(lèi)需要用統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，不可以有重復(fù)、遺漏現(xiàn)象的發(fā)生。同時(shí)在分類(lèi)討論時(shí)，要明確討論對(duì)象的完整性，首先要讓學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)方面達(dá)到一定的積累，從而在分類(lèi)解題時(shí)發(fā)揮學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)方面的優(yōu)勢(shì)，大大降低數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度。應(yīng)用分類(lèi)討論思想，可以有效提高學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方面的效率，提高學(xué)生的積極性與主動(dòng)性，同時(shí)對(duì)他們思維邏輯性的培養(yǎng)也會(huì)有很大程度的提升。但是在運(yùn)用分類(lèi)討論思想時(shí)要注意遵循科學(xué)合理性，將初一數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，比如數(shù)學(xué)公式、概念等基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)扎實(shí)，在這一基礎(chǔ)下，學(xué)生才能夠很好地運(yùn)用發(fā)揮分類(lèi)討論思想的作用。

例如教師在教學(xué)“有理數(shù)”的數(shù)學(xué)知識(shí)后，便可以用分類(lèi)討論思想去運(yùn)用。

若ａ＝３，ｂ＝５，且ａｂ＜０，求ａ＋ｂ的值。

解析由ａ＝３，ｂ＝５，得ａ＝±３，ｂ＝±５。

又ａｂ＜０，所以ａ，ｂ異號(hào)，所以ａ＝３，ｂ＝－５或ａ＝－３，ｂ＝５。

當(dāng)ａ＝３，ｂ＝－５時(shí)，ａ＋ｂ＝３＋（－５）＝－２；

當(dāng)ａ＝－３，ｂ＝５時(shí)，ａ＋ｂ＝－３＋５＝２，

故ａ＋ｂ的值為－２或２。

通過(guò)這一例題的解題可以看到，在運(yùn)用分類(lèi)討論思想進(jìn)行有理數(shù)求解時(shí)候，首先要將整數(shù)化成零，要保證每一個(gè)小問(wèn)題都可以獲得求解問(wèn)題，之后才可以明確分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)。同時(shí)也要將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)得扎實(shí)，方可在運(yùn)用分類(lèi)討論思想時(shí)候得心應(yīng)手。

（二）分類(lèi)討論思想在一元一次方程中的應(yīng)用

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)候，隨著知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)容逐漸增多，學(xué)生需要加強(qiáng)思維靈活性。遇到未知條件需要不斷證明，盡量做到不遺漏問(wèn)題。在初一數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)中，要通過(guò)解題去鍛煉學(xué)生的思維，提高學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主觀能動(dòng)性。學(xué)生只有通過(guò)多種類(lèi)型的題目才可以提高解題方面的靈活性，從而提升分類(lèi)討論思想的應(yīng)用能力。最主要的是在應(yīng)用實(shí)際分類(lèi)討論思想時(shí)，教師要帶動(dòng)學(xué)生去提高他們學(xué)習(xí)的積極性，從而獲得最佳的學(xué)習(xí)效果。

例如某商場(chǎng)改新需要進(jìn)貨一批電子產(chǎn)品，預(yù)計(jì)撥款６萬(wàn)從廠家進(jìn)購(gòu)６０萬(wàn)臺(tái)電子產(chǎn)品，已知廠家生產(chǎn)了３種不同的電子產(chǎn)品型號(hào)，出廠價(jià)格分別是Ａ型號(hào)每臺(tái)價(jià)格是３００元，Ｂ型號(hào)每臺(tái)價(jià)格是２００元，Ｃ型號(hào)每臺(tái)價(jià)格是５００元。若商場(chǎng)需要同時(shí)進(jìn)購(gòu)其中兩種不同型號(hào)的電子產(chǎn)品一共９０臺(tái)，用去６萬(wàn)，進(jìn)貨的方案是怎樣的？

解析：解分三種情況：

①設(shè)購(gòu)買(mǎi)的是Ａ、Ｂ兩種型號(hào)，且設(shè)購(gòu)Ａ型號(hào)電子產(chǎn)品x臺(tái)，則Ｂ型號(hào)電子產(chǎn)品（６０－ｘ）臺(tái)，根據(jù)題意得：

３００x＋２０0（６０－ｘ）＝６００００，

解得：x＝３０，６０－ｘ＝６０－３０＝３０。

②設(shè)購(gòu)買(mǎi)的是Ｂ、Ｃ兩種型號(hào)，且設(shè)購(gòu)Ｂ類(lèi)型電子產(chǎn)品ｙ臺(tái)，則Ｃ類(lèi)型電子產(chǎn)品（６０－ｙ）臺(tái)，則：

２００Ｘ＋５００（６０－ｙ）＝６００００，

解得：ｙ＝４８，６０－ｙ＝６０－４８＝１２。

③設(shè)購(gòu)買(mǎi)的是Ａ、Ｃ兩種型號(hào)，且設(shè)購(gòu)Ａ類(lèi)型電子產(chǎn)品z臺(tái)，則Ｃ類(lèi)型電子產(chǎn)品（６０－Ｚ）臺(tái)，則：

３００z＋５００（６０－z）＝６０００，

解得：ｚ＝１２０（大于６０，不符題意舍去）。

答：購(gòu)買(mǎi)Ａ類(lèi)型電子產(chǎn)品３０臺(tái)，Ｂ類(lèi)型電腦３０臺(tái)；或者購(gòu)買(mǎi)Ｃ類(lèi)型電子產(chǎn)品１２臺(tái)，Ｂ類(lèi)型電子產(chǎn)品４８臺(tái)獲利最多。

（三）分類(lèi)討論思想在冪的運(yùn)算中應(yīng)用

在學(xué)生學(xué)習(xí)初一數(shù)學(xué)知識(shí)后，難度也會(huì)逐漸增加。這個(gè)時(shí)候就需要學(xué)生及時(shí)去了解分類(lèi)討論思想是什么，只有這樣學(xué)生才可以不斷提高自身在解題方面的水平能力。對(duì)初一數(shù)學(xué)教材來(lái)說(shuō)公式和定理非常多，因此在數(shù)學(xué)教材的對(duì)應(yīng)習(xí)題里教師要帶動(dòng)學(xué)生去學(xué)習(xí)分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，同時(shí)學(xué)生也可以了解學(xué)習(xí)分類(lèi)討論思想后的益處，了解每一類(lèi)型的解題思路，從而去提升解題能力，尋找解題規(guī)律，鍛煉學(xué)生的思維。比如在解冪的乘方時(shí)候，為迅速解答題目，就可以采用分類(lèi)討論思想，在實(shí)際解題時(shí)候?qū)W生首先對(duì)解題的知識(shí)定義有一定的回憶，確定知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)，其次在確定用分類(lèi)討論思想后要去探索如何解題。冪的運(yùn)算這一章節(jié)在初一的整個(gè)學(xué)期占比雖然不是很大，但是這一章節(jié)內(nèi)容對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)思想是很重要的，它可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想等能力。對(duì)鍛煉學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性有很大的幫助作用，同時(shí)還可提升學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣以及解決問(wèn)題的能力。

例題１ 光在真空中的速度約為３×１０８米／秒，太陽(yáng)光照射到地球上大約需要５×１０２秒，地球距離太陽(yáng)大約有多遠(yuǎn)？

解析：３×１０８×５×１０２＝１．５×１０１１

答：地球距離太陽(yáng)１．５×１０１１。ａ×１０ｎ形式，其中１≤ａ＜１０，ｎ為整數(shù)。確定ｎ值時(shí)，把原數(shù)變成ａ時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了幾位，ｎ的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞１時(shí)，ｎ是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜１時(shí)，ｎ是負(fù)數(shù)。

（四）分類(lèi)討論思想在軸對(duì)稱中的應(yīng)用

在學(xué)習(xí)軸對(duì)稱這一課內(nèi)容時(shí)，教師仍然可以讓學(xué)生通過(guò)分類(lèi)討論思想進(jìn)行解題，在生活中軸對(duì)稱現(xiàn)象是比較常見(jiàn)的，所以教師要注意引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)審題，運(yùn)用多種解題思路去思考研究，這樣分類(lèi)討論思想就可以很大程度利用進(jìn)去。通過(guò)已知條件去創(chuàng)造內(nèi)容，讓學(xué)生多方面去思考，這樣就可以讓解題方法有多種可能，從而迅速完成解題，也可以在一定程度上提升學(xué)生解題方面的能力，鍛煉學(xué)生的解題速度和他們的思維活躍性。教師要盡量在教學(xué)中培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

例如指出以下哪一組圖形是軸對(duì)稱的，并指出對(duì)稱軸。

①任意兩個(gè)半徑相等的圓；

②正方形的一條對(duì)角線把一個(gè)正方形分成的兩個(gè)三角形；

③長(zhǎng)方形的一條對(duì)角線把長(zhǎng)方形分成兩個(gè)三角形。

解析：①中的兩個(gè)圓成對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是連接兩個(gè)圓心的線段的垂直平分線。

②中的兩個(gè)三角形成對(duì)稱軸，對(duì)稱軸是將原正方形分成兩個(gè)三角形的對(duì)角線所在的直線。

③中的兩個(gè)三角形不一定成軸對(duì)稱。

（五）分類(lèi)討論思想在幾何中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)課本的大部分內(nèi)容都可以用分類(lèi)討論思想進(jìn)行，就初一下幾何內(nèi)容來(lái)講，幾何圖形在生活中運(yùn)用較為廣泛，且?guī)缀蔚牟糠謨?nèi)容具有抽象性，學(xué)生在理解方面就會(huì)較為薄弱，因此在幾何的應(yīng)用題中，教師首先讓學(xué)生理解幾何的概念，進(jìn)行理解討論；其次根據(jù)具體的圖形進(jìn)行分類(lèi)討論。對(duì)概念的分類(lèi)是明確概念的一種方法，需要理解概念的意義，這樣有助于學(xué)生對(duì)概念的掌握和理解；分情況討論問(wèn)題，幫助學(xué)生全方面考查一個(gè)對(duì)象，從而得出應(yīng)有的結(jié)論，而幾何中運(yùn)用分類(lèi)討論思想解決，也在很大程度上幫助學(xué)生方便理解抽象化的學(xué)習(xí)內(nèi)容，在解題的過(guò)程中，可以更加謹(jǐn)慎地去判斷問(wèn)題，從而達(dá)到分類(lèi)解決的目的。

例如：△ＡＢＣ中，ＡＣ＝５，中線ＡＤ＝７，則ＡＢ邊的取值范圍是多少？

解析：延長(zhǎng)ＡＤ至Ｅ，使ＥＤ＝ＡＤ，連接ＣＥ。

在△ＡＢＤ和△ＥＣＤ中，

ＢＤ＝ＣＤ，∠ＡＤＢ＝∠ＣＥＤ，ＡＤ＝ＥＤ，

∴△ＡＢＤ≌△ＥＣＤ（ＳＡＳ），

∴ＡＢ＝ＣＥ。

在△ＡＣＥ中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得：

ＡＥ－ＡＣ＜ＣＥ＜ＡＥ＋ＡＣ，

即９＜ＣＥ＜１９，

則９＜ＡＢ＜１９。

答：ＡＢ的取值范圍是９＜ＡＢ＜１９。

三、結(jié)語(yǔ)

分類(lèi)討論思想在初中數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用得較為廣泛，它可以有效提高學(xué)生在解題方面的能力，從而提升學(xué)生在數(shù)學(xué)思維方面的能力。學(xué)生在具體的解題過(guò)程中，可以根據(jù)題干要求去獲得分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，然后有順序地進(jìn)行分類(lèi)，再去解題。

分類(lèi)討論思想是數(shù)學(xué)解題思維中具有重要意義的一種方式，對(duì)初一學(xué)生來(lái)說(shuō)，教師有效培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論思想，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)各種題型的掌握，同時(shí)也有利于學(xué)生在數(shù)學(xué)素養(yǎng)方面的培養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：秦" 雷）