單元整體視角下的角平線習題課教學課例分析

摘要：單元教學設計是教師在對課程標準、教材等資源進行分析、整合、重組后，形成相對完整的教學內容，并以一個完整的教學主題作為一個單元的教學.本文中從“角”這個單元整體視角出發，對與角平分線有關的計算這一課例進行分析．

關鍵詞：單元整體設計;角平線習題課;課例分析

數學單元教學設計是運用系統的方法有效地整合某個教學單元的各類課程資源，再整體安排教學過程，從而進一步達成整個單元教學的目標．教學設計是根據教學目標、教學內容和學生的發展需求等因素進行綜合設計，使教學過程中所涉及到的知識、態度、學習的方式方法等成為一個有機整體，是一套完整的教學體系［1］．本文中從“角”這個單元的整體視角出發，對與角平分線相關的計算這一課例進行了研究．

1 “角”單元教學設計

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中認為：課程內容組織的重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑［2］.重視數學結果的形成過程，處理好過程與結果的關系；重視數學內容的直觀表述，處理好直觀與抽象的關系；重視學生直接經驗的形成，處理好直接經驗與間接經驗的關系.另外，在課程內容呈現方面應注重數學知識與方法的層次性和多樣性；根據學生的年齡特征和認知規律，采取螺旋式的方式，逐漸拓展和加深課程內容，以適應學生的發展需求.

本單元內容設計根據從感性直觀的認識逐步上升到理性本質認識，從靜止狀態認識發展到運動狀態認識，從定性描述向定量刻畫過渡的順序進行設計.在“角”這個單元主題中，要學會從特定的物體中提取出幾何圖形，掌握圖形的性質，會用數學的語言去表達，以及會應用相關知識去解決問題.

北京市義務教育教科書七年級上冊第三章“簡單的幾何圖形”第三單元“角”包括角及其分類、角的度量與角的換算、角平分線這三節內容．

“簡單的幾何圖形”這一章節是初中圖形和幾何的入門章節，其中直線、射線、線段、角等都是基礎的幾何圖形.“角”單元的教學在本章中占有重要的地位，其課時安排如下.

第一課時：角及其分類；

第二課時：角的度量與角的換算；

第三課時：角平分線；

第四課時：與角分線有關的計算.

2 “與角平分線有關的計算”課時教學設計

2.1 教學內容分析

角雖然是基礎的幾何圖形，但卻十分重要.有關角的和差、角平分線等基礎知識是重要的幾何知識，同時也是幾何課程的必備基礎.本節的學習，經歷“實物和模型—幾何圖形—文字語言—數學符號表示”的探究過程.首先構建圖形語言，然后將圖形語言轉化為文字語言、符號語言，最終形成三種語言的互化，這有助于加深學生對角的和差以及角平分線的認識，也體現了學習和掌握幾何圖形的方法.

本節課從學生已有的生活經驗出發，盡可能多地為學生提供動手操作和主動參與的機會，使學生在探索、思考、交流的過程中，不斷積累和豐富基本經驗.在激發學生學習興趣的同時，鼓勵獨立思考、合作交流，感悟數學的基本思想.

2.2 學情分析

在小學的學習中，學生知道了周角、平角，了解了多種角之間的大小關系；會用三角板畫角.本節課的授課對象是七年級的學生，學生在單節新課知識的學習中，已經學習了角的和差以及角平分線的概念.但是，學生并不習慣畫圖分析幾何問題，而是單純在頭腦中想象，在幾何問題的計算中也往往忽視邏輯推理.所以將與角平分線有關的計算作為“角”這個單元的復習課.

2.3 教學目標及重難點

教學目標：

（1）進一步理解角平分線的定義，能解決與角平分線有關的計算問題；

（2）經歷“折紙-觀察-猜想-驗證-歸納-證明-應用”的探究過程，培養動手實踐、觀察分析、歸納概括和解決問題的推理意識，同時培養幾何直觀素養，發展空間觀念；

（3）通過折紙操作探索數學規律，樂于探索和發現，體驗學習的樂趣.

教學重點：能解決與角平分線有關的計算問題.

教學難點：運用角平分線的有關知識完成計算過程中推理格式的書寫.

2.4 教學流程圖

教學流程如圖1所示：

2.5 教學過程

（1） 復習引入，溫故知新

教師活動： 教師在黑板上畫出一個角，然后提問“如何畫這個角的平分線？”

學生活動：度量角的度數，然后除以2，得到一個新的度數，從角的一邊量取這個度數，然后從角的頂點引一條射線，這條射線就是這個角的平分線.

教師活動： 給出一個角的紙片，提出問題“如何畫這個角的平分線？”

學生活動：可以使用度量法或者疊合法（折疊，折痕所在的射線即為角平分線）.

設計意圖：通過復習角平分線的有關知識，可以梳理已經掌握的舊知識，同時還能夠由淺入深地引入新知識，從而找出新舊知識的聯系點，并發揮承上啟下的作用.

（2） 探索規律，提出問題

教師活動：按下列要求完成折紙（A4紙片：長邊處已經畫出一個平角）.

規則：

①將準備好的A4紙中的平角命名為∠AOB ；

②以O為頂點，折出一個直角，可以怎么折？并說明理由.

通過層層推進的活動任務，引導學生獨立思考，對學生在完成任務的過程中遇到的困難，及時給予幫助和指導.學生演示折紙方法，同時及時梳理并歸納折圖依據.在畫圖過程中，教師應引導學生體會折痕的作用.

學生活動：根據教師所設計的教學活動進行自主思考，并在完成任務后，對所學到的知識進行歸納和反思.

設計意圖：將活動任務層層推進，讓學生經歷由簡單到復雜、由特殊到一般的探究過程，同時引導學生概括總結平分角的常用方法和基本圖形.同時，考查學生對角平分線定義的運用.

（3）驗證規律，激發思維

如圖2，已知∠AOB=180°，從點O引出一條射線OC，射線OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC.求∠MON的度數.

教師活動：引導學生書寫正確的推理格式，也可以設未知數說明理由.在此基礎上追問，如果是60°，120°的角按照上述折法操作，折出來的角是多少度？當∠AOB=n°，∠MON的度數又是多少呢？

學生獨立思考，運用角平分線的有關知識解題.鼓勵一題多解.

引導學生學會分解復雜圖形，及時總結方法，鼓勵學生多角度思考問題，并對其表現及時給予肯定和鼓勵.同時利用幾何畫板演示，驗證學生的猜想.

設計意圖：

這是一道綜合題，通過將折紙問題轉化成數學問題，考查學生運用角平分線有關知識解決問題的能力.講解中要引導學生學會從較為復雜的圖形中分離出基本圖形或常見圖形，培養學生的幾何直觀素養.同時，此練習也是對前面兩個活動中解題方法的總結.通過總結規律環節，引導學生體會利用特殊到一般的思想方法探究圖形中一般規律的過程.

（4）總結規律，能力提升

如圖3，已知∠AOB=n°，OM，ON分別平分∠AOC和∠BOC.求∠MON的度數.

教師活動：你能用一句簡潔的話表達你發現的規律嗎？

學生活動：在教師的引導下，類比線段中點的相關規律總結角平分線規律.

總結規律：從一個角的頂點引一條射線，與已知角的兩邊組成兩個角，這兩個角的角平分線所形成的夾角等于原角度的一半.

設計意圖：通過總結規律環節，引導學生體會運用由特殊到一般的思想方法探究圖形中一般規律的過程.

（5）規律延伸，拓展提高

已知∠AOB=n°，過點O任作一射線OC，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC.

求∠MON的度數.

學生活動：畫圖并解決問題.

設計意圖：利用規律解決問題，同時引導學生無圖畫圖.符合題意的圖形不唯一，要注意分類討論．

（6）知識小結，總結提高

①體會運用由特殊到一般的思想方法探究圖形中一般規律的過程；

②符合題意的圖形不唯一，要注意分類討論.

設計意圖：引導學生回顧本節課所學內容，幫助學生梳理知識，進行整理和提升.

（7）布置作業

必做習題+自編習題+有能力的同學課后利用幾何畫板探究.

3 教學反思

在數學單元教學中，教師要從整體的視角出發對每一單元、每一章的特點進行分析，特別要注意章節之間的內在聯系，這樣才能更好地反映教學內容，體現出課程的總體思想［3］.中學數學內容豐富、類型多樣.其中，數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐等內容都有著不同的特征，因此，教師應該針對不同單元的教學內容、教學要求、教學目標進行整體設計，這樣有利于整合資源，提升有限課時的效益.在單元整體設計的基礎上進行教學，有利于培養學生運用知識解決問題的能力，同時提高學生的綜合素養.

參考文獻：

［1］仇錦華．從數學整體觀看單元教學［J］．中學數學教學參考，2015（32）：8-10.

［2］中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022 年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］李曉東．把握主題，整體設計——例說初中數學單元教學設計的基本策略［J］．數學教學研究，2016（10）：18-26．