作業：源于學情，基于教材

摘要：隨著“雙減”政策的推進，一線教師越來越重視作業設計.本文中以“直角三角形（2）”為例，在備學情、備教材的基礎上，引導教師進行作業設計時回歸教材中的例題和習題，做到源于學情、基于教材，幫助提升教師的教材研究力和學生的學習反思力.

關鍵詞：直角三角形；備作業；備教材；備學情；備課

隨著“雙減”政策的推進，作業直接源于“教輔”的情況得到了有效改觀，越來越多的一線教師開始重視教材中的例題和習題，并在例題和習題的基礎上進行變式改編，以此豐富、完善作業的內容及形式，達到了良好的預期效果.下面以“直角三角形（2）”為例，在備學情、備教材的基礎上，引導教師進行作業設計時回歸教材中的例題和習題，做到源于學情、基于教材，以期提升教師的教材研究力和學生的學習反思力，不當之處，敬請指正.

1 備學情

“直角三角形（2）”是山東教育出版社（下文簡稱“魯教版”）義務教育教科書（五·四學制）七年級下冊第十章“三角形的有關證明”第3節教學內容的第2課時，本節課的主要內容是在學生初步感知直角三角形的基礎上，對直角三角形全等的判定定理“HL”給出嚴格的幾何證明，引導學生感受數學學習的嚴謹性和思維的嚴密性.

在本節課之前，學生已經學習了一般三角形全等的判定方法、勾股定理以及用尺規作三角形等相關知識，為本節課的學習奠定了堅實的基礎.通過本節課的學習，引導學生從“畫一畫”到“證一證”，獲得直角三角形全等的判定定理，進一步加深學生對幾何證明的認識，感受幾何定理學習的“基本套路”.2 備教材

2.1 備教材正文

教材正文部分共分為三個部分.

第一部分

解讀：教材中借助小明呈現了這部分尺規作圖的具體作法.學生保留作圖痕跡，不要求寫出作法.要求學生依據給定的線段a，c，用尺規作出直角三角形，再與同學交流，比較大家所作出的三角形是否能夠重合，最后教師引導學生用數學語言歸納、概括方法，在此基礎上獲得判定直角三角形全等的特殊條件，進而提出猜想.

第二部分

解讀：由猜想得到的命題只有經過證明才能成為定理，因此教學時要讓學生體會證明的必要性.證明這一定理的思路是利用勾股定理得出另一條直角邊對應相等，再根據基本事實“SSS”判定兩個三角形全等.

至此，學生經歷了定理的發現、提出和證明的全過程，感受到了合情推理與演繹推理的緊密關系.

第三部分

解讀：教材中設計了一個利用“斜邊、直角邊”定理解決的實際問題，使學生體會數學結論在實際中的應用.教學中應要求學生能用數學語言清楚地表達自己的想法，并能將解題過程規范地書寫出來.

2.2 備教材習題

為減輕學生過重的課業輔導，引導教師和學生將布置作業和完成作業的視角回歸教材，特別是將教材中的例題和習題（詳見文·[1·]），以及與此相關的變式練習作為作業的主要組成部分.為此，在上述分析教材、分析教材中例題的基礎上，對課后習題給出如下解讀.

本節課的課后習題共分為三個部分：第一部分是隨堂練習，主要是鞏固直角三角形“HL”定理的簡單判別與證明的相關習題，其中第1題為判斷題，第2題為證明題，第3題是實際應用題；第二部分是習題10.9，這一部分從知識技能、數學理解、問題解決的角度呈現了相關課后習題，其中知識技能部分的第1題和第2題的題型分別與隨堂練習的第1題和第2題題型一致，但是難度上有所加大，數學理解部分的第3題將“HL”定理與之前所學的其他判定方法綜合，引導學生選擇合適的判定方法進行證明，問題解決部分的第4題介紹了用三角尺畫角平分線的原理，將直角三角形全等的“HL”判別方法進行實際應用；第三部分為本章復習題中與此相關的題目，比如第5題、第8題，題型均為證明題類型，與前面保持一致，其中第8題需要添加輔助線.

為便于說明，下面呈現隨堂練習第1題和習題10.9的第1題.

隨堂練習第1題判定下列命題的真假，并說明理由：

（1）兩個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；

（2）斜邊及一銳角分別相等的兩個直角三角形全等；

（3）兩條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等；

（4）一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線相等的兩個直角三角形全等.

習題10.9第1題判定下列命題的真假，并說明理由：

（1）兩邊分別相等的兩個直角三角形全等；

（2）一個銳角和一條邊分別相等的兩個直角三角形全等.

解讀：這兩道題都是為了深化學生對直角三角形全等的判定方法的理解，引導學生將隨堂練習第1題（3）與習題10.9第1題（1）、隨堂練習第1題（2）與習題10.9第1題（2）進行對比，在細節對比中，感受異同，從而提升學生的學習反思力.

3 備作業

對學情、教材正文、習題進行精準備課，有效提升了教師的教材解讀力，執教教師對本節課的重點、難點，以及突破重點、化解難點的思路和方法有了深刻的認識，在此基礎上，布置如下作業：

（1）（必做題）隨堂練習第2題、習題10.9第2題.

解讀：與課堂教學中訓練的隨堂練習第1題和習題10.9第1題對應，進一步鞏固“HL”定理的書寫格式和解題步驟，屬于常規作業.

（2）（選做題）將本課例題中的結論與一個條件交換，是否仍然成立？

①如圖3，有兩個長度相等的滑梯，已知兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F互余，那么左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等嗎？

②如圖3，已知兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F互余，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，那么兩個滑梯的長度相等嗎？

解讀：通過對例題進行適當的變式，加深學生對“HL”定理的理解，明確定理的使用條件和使用方法，同時將新知納入原有知識體系，構建完整的知識網絡.“HL”定理是判斷直角三角形全等的特有方法，但不是唯一的方法.以作業的形式鞏固本節課所學內容，引導學生全面分析直角三角形全等的條件與判定方法，進一步提高學生分析能力與綜合能力.此題屬于教材例題的變式練習，有一定的難度，意在“對不同的學生提出不同的要求，使學生在數學上得到不同的發展”，踐行分層作業的設計理念.

下面以“隨堂練習第2題”為例，對部分學生的作業完成情況摘錄如下：

如圖4，①D是△ABC的邊BC的中點；②DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E，F；③DE=DF；④△ABC是等腰三角形.

（1）①②③④成立（HL）

（2）①②④③成立（AAS）

（3）①③④②不成立

（4）②③④①成立（AAS）

解讀：可以看出這名學生的反思非常深刻，不僅完成了作業習題的基礎證明要求，同時還給出了變式訓練，具有很好的總結和反思意識.能夠綜合分析條件與結論，在領悟本節課直角三角形全等的“HL”定理的同時，還能靈活應用其他三角形全等的判定方法，具有一定的分析能力與推理能力.更難能可貴的是他能夠辨別出第（3）種情況是不成立的，也就是說在沒有直角三角形這個特殊條件下，兩邊及其中一邊的對角對應相等是不能判定兩個三角形全等的.

4 結語

作業，早在兩千年之前《學記》就有記載：“時教必有正業，退息必有居學.”現代教育教學中的作業不僅是課堂教學的延伸與拓展，而且融入到學習的全過程中，成為促使課堂體現自主、合作、探究等學習方式的載體.

教師在備課過程中，要堅持在備學情、備教材的基礎上，以教材例題、習題為主，與此相關的變式練習為輔布置作業；學生在完成作業的過程中，要結合教師課堂講解，課下進行適當地整理和反思，以此實現作業的最大效度，即提升教師的教材研究力和學生的學習反思力.

參考文獻：

·[1·]許海英.備課：先備作業——以“整式的加減（1）”為例·[J·].中學數學，2019（12）：15-16.