預(yù)設(shè)促思生成資源，課堂深學(xué)靈動(dòng)發(fā)展

摘要：在生成性教學(xué)思想指導(dǎo)之下，勾股定理的教學(xué)憑借預(yù)習(xí)生成教學(xué)資源，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探求新知，深度思考問題，領(lǐng)悟勾股定理驗(yàn)證的數(shù)學(xué)本質(zhì)，在靈動(dòng)對話過程中獲得新知識(shí)、完善新體系、形成新方法，提升數(shù)學(xué)思想境界，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀、抽象能力、推理意識(shí)等核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：預(yù)設(shè)促思;勾股定理;核心素養(yǎng)

“有效生成”是新課程課堂教學(xué)的重要特征，它強(qiáng)調(diào)教學(xué)的過程性，突出教學(xué)個(gè)性化建構(gòu)的成分，追求學(xué)生的生命成長，是一種開放的、互動(dòng)的、動(dòng)態(tài)的、多元的教學(xué)形式·[1·].基于此，“勾股定理”的教學(xué)以問題驅(qū)動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，促進(jìn)課堂的有效生成.

通過學(xué)生課前淺學(xué)生成課堂教學(xué)資源，通過課堂深學(xué)獲得研究數(shù)學(xué)問題的思想方法，從而發(fā)展抽象能力、推理意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 預(yù)設(shè)促思，課前淺學(xué)，自然生成學(xué)情資源

把學(xué)生要掌握的原理和規(guī)律，通過設(shè)置問題情境，放在“未知的東西”的地位上.在問題教學(xué)的學(xué)生活動(dòng)模式中，學(xué)生處于主動(dòng)狀態(tài)，更傾向于去“奪取”知識(shí)·[2·].在問題的驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生自己閱讀課本，嘗試?yán)斫饨滩模芯肯嚓P(guān)問題.

教學(xué)環(huán)節(jié)一：課前淺學(xué)，生成新知.

（1）閱讀課本（蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊）第78～79頁內(nèi)容，思考：利用第79頁上方方格紙，設(shè)計(jì)一個(gè)直角三角形，并計(jì)算出向外所作正方形的面積.由此可知直角三角形的三邊有什么關(guān)系？

（2）閱讀課本（蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊）第80～81頁內(nèi)容，思考：怎樣用圖1驗(yàn)證勾股定理？怎樣用圖2驗(yàn)證勾股定理？

（3）怎樣用勾股定理解決問題？請你“自悟三題”（由課堂上選擇運(yùn)用）：

基礎(chǔ)題：直接運(yùn)用勾股定理解決的問題；

中檔題：間接運(yùn)用勾股定理解決的問題；

提高題：勾股定理的拓展運(yùn)用或與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用.

教學(xué)說明：在彈性的教學(xué)預(yù)設(shè)前提下，學(xué)習(xí)重心前移，所有學(xué)生都進(jìn)行了預(yù)習(xí)，不同的學(xué)生感受不一樣，有的浮光掠影，有的深度領(lǐng)會(huì)，學(xué)生的課前預(yù)習(xí)生成的教學(xué)資源的量巨大，教者的選用以有利于課堂教學(xué)組織為佳.

2 課始提問，系統(tǒng)思考，自然形成學(xué)習(xí)目標(biāo)

教學(xué)環(huán)節(jié)二：課始提問，生成目標(biāo).

教者在課堂開始，沒有按照課本的要求直接組織勾股定理的探索活動(dòng)，也沒有直接展出預(yù)習(xí)成果，而是靈活地提出兩個(gè)問題：

（1）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過直角三角形的哪些知識(shí)？

（2）還想知道直角三角形的哪些知識(shí)？

在學(xué)生回答問題的同時(shí)，教者板書學(xué)習(xí)要點(diǎn)（也是學(xué)習(xí)目標(biāo)）.

教學(xué)說明：教師的提問點(diǎn)燃了學(xué)生系統(tǒng)思考問題之火，直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和運(yùn)用是幾何對象的一般規(guī)律，直角三角形角的關(guān)系是學(xué)生已經(jīng)知道的，斜邊中線的性質(zhì)是剛剛學(xué)過的，而邊的關(guān)系是還想知道的，這樣的對話自然引出本節(jié)課要研究的內(nèi)容.不僅如此，對話中還引出了今后要研究的數(shù)學(xué)內(nèi)容，即直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）、邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)部分）.課堂要研究的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系（學(xué)習(xí)目標(biāo)）也在對話的過程中自然生成.

3 課堂深學(xué)，探索研究，自然產(chǎn)生思想方法

建構(gòu)主義學(xué)說認(rèn)為：學(xué)生是一個(gè)積極的探究者.教學(xué)中要恰當(dāng)運(yùn)用互動(dòng)性教學(xué)方法，必須以對話的理念貫穿始終·[3·].指向有效生成的數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)，在對話的過程中要關(guān)注知識(shí)的自然生成、方法的自然獲取.學(xué)生課前預(yù)習(xí)生成的教學(xué)資源的量巨大，能否用好預(yù)設(shè)內(nèi)的生成資源考量教者的智慧.

教學(xué)環(huán)節(jié)三：課堂對話，生成方法.

在問題驅(qū)動(dòng)之下，學(xué)生課前自主預(yù)習(xí)，最終生成如下預(yù)習(xí)結(jié)果.

對教學(xué)環(huán)節(jié)一中的第（1）題，選取4位學(xué)生畫出的圖形，如圖3～6所示.

圖3是課本上的圖形；圖4是特殊的等腰直角三角形；圖5是直角邊為1∶2的直角三角形；圖6畫成了上邊不是正方形的情況，不符合題意.

圖3～6體現(xiàn)了學(xué)生不同的認(rèn)知水平，圖3是依樣畫葫蘆的照搬，圖4、圖5是理解基礎(chǔ)上的變通，圖6則是視覺上的誤判.學(xué)生的認(rèn)知在教師的問題驅(qū)動(dòng)之下自然生成，學(xué)生對新知識(shí)有了自己的初步認(rèn)知.

對教學(xué)環(huán)節(jié)一的第（2）題，依據(jù)圖①，生1書寫出（b－a）2=c2－4×12ab，化簡得b2+a2=c2.生2書寫出4×12ab+（a－b）2=c2，展得2ab+a2－2ab+b2=c2，化簡得a2+b2=c2.

根據(jù)學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，結(jié)合學(xué)生的預(yù)習(xí)生成資源，設(shè)計(jì)如下問題.

問題1勾股定理是怎樣得來的？

（1）計(jì)算：如果小方格的邊長為1，則圖3、圖4、圖5、圖6中三個(gè)正方形面積分別是多少？

（2）思考：通過計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)這三個(gè)正方形面積間有什么關(guān)系？提出猜想.（直角三角形三邊關(guān)系）

生3：圖3中三個(gè)正方形面積分別為9，16和25，發(fā)現(xiàn)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

師：你是如何計(jì)算的大正方形面積？

生3到投影屏前講解：如圖7，通過“補(bǔ)”的辦法，計(jì)算正方形CFGH面積為49，四周4個(gè)直角三角形面積都是6，49-4×6=25，所以正方形ABDE面積為25.

師：大正方形面積還有不同的計(jì)算方法嗎？

生4：如圖8，通過“割”的辦法，計(jì)算得出四個(gè)直角三角形面積都是6，中間正方形的面積是1，這樣大正方形面積為4×6+1=25.

在教師的追問下，利用“割”或“補(bǔ)”的方法求幾何圖形面積的方法自然生成.

接著，研究圖4、圖5、圖6.

生5：圖4中三個(gè)正方形面積分別為9，9和18，發(fā)現(xiàn)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生6：圖5中三個(gè)正方形面積分別為4，16和20，發(fā)現(xiàn)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

生7：圖6中有一邊向外作出的不是正方形，需要修改一下.修改后求得三個(gè)正方形面積分別為1，25和26，仍然發(fā)現(xiàn)直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

教者追問：利用方格紙，我們計(jì)算了幾個(gè)直角邊為整數(shù)的情況，若直角邊為小數(shù)時(shí)，所得到的正方形面積間也有如上關(guān)系嗎？

教者進(jìn)一步追問：全班同學(xué)都畫了不同的直角三角形，通過計(jì)算，都發(fā)現(xiàn)了同樣的結(jié)論，是否就表明猜想一定是正確的？

生8：仍然不能，要證明.

教學(xué)說明：教學(xué)在師生的對話中進(jìn)行，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)過程，勾股定理的概念在師生的對話中、在生生互相的啟發(fā)中有效生成.教師的追問，推進(jìn)了學(xué)生語言表達(dá)的規(guī)范性，進(jìn)而得到“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”.

教學(xué)環(huán)節(jié)四：課堂追問，形成證法.

盡管學(xué)生的展示都表明“直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方”成立，但這依然只是猜想.事實(shí)上，即使有再多的個(gè)案也不能說明猜想的正確性，還是需要嚴(yán)格的證明.

問題2怎樣證明勾股定理？

（1）探索、思考：根據(jù)圖1，嘗試驗(yàn)證勾股定理？小組學(xué)生交流.

（2）探索、思考：根據(jù)圖2，嘗試驗(yàn)證勾股定理？小組學(xué)生交流.

借助圖1，圖2，展示生1、生2驗(yàn)證勾股定理的過程（見前文），讓小組學(xué)生討論書寫的合理性，憑借學(xué)生課前預(yù)習(xí)的生成資源，開展課堂的深度學(xué)習(xí).

證明過程在學(xué)生的互相批判性思維活動(dòng)中不斷得到完善.

教者補(bǔ)充說明圖1就是中國古代的“弦圖”，為弘揚(yáng)我國古代數(shù)學(xué)文明，該“弦圖”被選為2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的徽標(biāo).接著，教師呈現(xiàn)一段學(xué)生自己課前在互聯(lián)網(wǎng)上查找的閱讀素材，并讓一名學(xué)生閱讀：我國是最早了解勾股定理的國家之一.早在三千多年前，周朝的數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”.它被記載于我國古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，在這本書中的另一處，還記載了勾股定理的一般形式.這一發(fā)現(xiàn)，至少早于古希臘人500年.作為一名中國人，我們?yōu)楣湃说牟W(xué)和多思而感到自豪！勾股定理是人類文明的成果，幾乎所有擁有古代文化的民族和國家都對勾股定理有所研究.在地球以外是否存在生命這個(gè)問題上，我國數(shù)學(xué)家華羅庚曾認(rèn)為，如果外星人也擁有文明的話，我們可以用“勾股定理”的圖形，作為人類探尋“外星人”并與“外星人”聯(lián)系的“語言”.

為了深入地研究勾股定理的證明，課堂教學(xué)中可以進(jìn)一步探索其他證明方法.

至此，學(xué)生能夠知其然亦知其所以然.

歸納：通過圖形變換、拼接，從不同角度表示同一圖形面積，再通過代數(shù)變形得出簡潔的表達(dá)式，進(jìn)而證明勾股定理.

教學(xué)說明：環(huán)節(jié)四使得研究幾何定理的一般方法在課堂對話、課堂探究過程中自然生成.課堂學(xué)習(xí)先從特殊到一般發(fā)現(xiàn)結(jié)論，提出猜想，并通過證明說明其正確性，從而得到定理，然后再運(yùn)用定理解決問題.真正意義的課堂學(xué)習(xí)發(fā)生了，學(xué)生獲得了研究幾何對象的一般性方法.閱讀素材也是數(shù)學(xué)文化元素的滲透.

教學(xué)環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，合理應(yīng)用.

本環(huán)節(jié)題目主要選自學(xué)生的預(yù)習(xí)生成資源“自悟三題”，多數(shù)與課本吻合，學(xué)生課前預(yù)習(xí)生成資源再次被利用.由于學(xué)生的認(rèn)知能力不同，原有知識(shí)基礎(chǔ)也不一樣，預(yù)習(xí)本身也有很大的生成性和差異性.有的學(xué)生是同類型平行線式的選擇，有的學(xué)生是混合型交叉式的選擇，有的學(xué)生是先易后難型遞進(jìn)式的選擇，不同學(xué)生“悟題”的情況不同，教師事先也難以預(yù)料.教者整合成下面的問題：

問題3怎樣運(yùn)用勾股定理解決問題？

（1）完成課本（蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊）第79～80頁練習(xí)1，2．

（2）如圖9，一個(gè)高3 m，寬4 m的大門，需在相對角的頂點(diǎn)間加一個(gè)加固木條，則木條的長為（）.

A.3 mB.4 m

C.5 mD.6 m

（3）（蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊第80頁練習(xí)）如圖10，△ABC和△DEF都不是直角三角形，分別以△ABC和△DEF的各邊為一邊向三角形外部作正方形，其中兩個(gè)小正方形面積的和等于大正方形的面積嗎？

教學(xué)說明：第（1）題是直接運(yùn)用勾股定理解決問題，第（2）題是間接運(yùn)用勾股定理解決問題，第（3）題是拓展運(yùn)用勾股定理解決問題.第（3）題的解決，拓展了學(xué)生的視野，從直角三角形三邊平方相等關(guān)系的學(xué)習(xí)拓展到研究一般三角形三邊平方的不等關(guān)系.

4 交流反思，提煉總結(jié)，自然完善結(jié)構(gòu)體系

要使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)有所得，真正形成優(yōu)良的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，必須要有反思、交流、完善和建構(gòu)的過程.

教學(xué)環(huán)節(jié)六：總結(jié)建構(gòu)，提升思想.

本節(jié)課的收獲可以從下面幾個(gè)問題展開：

（1）勾股定理的內(nèi)容是什么？

（2）采用什么方法發(fā)現(xiàn)勾股定理？

（3）怎樣證明勾股定理？

（4）怎樣用勾股定理解決問題？

（5）對于本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容還有什么疑問？

提示：從知識(shí)、方法、思想等方面進(jìn)行反思.

本環(huán)節(jié)的問題串為學(xué)生梳理本節(jié)課的學(xué)習(xí)心得提供了抓手，學(xué)生先小組成員之間進(jìn)行交流，后班級(jí)交流.

教學(xué)說明：通過交流，學(xué)生的反思在生生的相互啟發(fā)、補(bǔ)充過程中逐步得到完善.本環(huán)節(jié)既有知識(shí)的總結(jié)，又有方法的提煉，特別是對研究幾何對象一般方法的總結(jié)，充分發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光思考問題.

5 教程回顧，教學(xué)反思

5.1 課前淺學(xué)，初步感悟新知

在實(shí)施預(yù)習(xí)策略的過程中，特別是“自悟三題”促使學(xué)生對新知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用進(jìn)行辨別、選擇，甚至創(chuàng)造.環(huán)節(jié)五對運(yùn)用勾股定理解決的問題的選擇，體現(xiàn)了直接運(yùn)用、間接運(yùn)用、實(shí)際運(yùn)用和發(fā)展運(yùn)用的區(qū)別.在不斷的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生會(huì)慢慢感悟到與他人的差異，特別是與優(yōu)秀同學(xué)的差異，并注意在今后的學(xué)習(xí)過程中不斷改變自己，領(lǐng)會(huì)什么是真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).這樣的有效學(xué)習(xí)能不斷挖掘?qū)W生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)潛能.

5.2 課始提問，生成學(xué)習(xí)目標(biāo)

在勾股定理第一課時(shí)開始學(xué)習(xí)時(shí)，教者沒有按照課本的要求直接組織勾股定理的教學(xué)活動(dòng)，而是向?qū)W生提問：已經(jīng)學(xué)習(xí)過直角三角形的哪些知識(shí)？還想知道直角三角形的哪些知識(shí)？

追問點(diǎn)燃了學(xué)生系統(tǒng)思考問題之火，自然生成了研究直角三角形的概念、性質(zhì)、判定和運(yùn)用的方法，同時(shí)也呈現(xiàn)了一般性研究幾何對象的規(guī)律.直角三角形角的關(guān)系是學(xué)生已經(jīng)知道的，斜邊中線的性質(zhì)是剛剛學(xué)過的，而邊的關(guān)系是還想知道的，這樣的對話自然生成了本節(jié)課要研究的內(nèi)容.

不僅如此，教者還引導(dǎo)學(xué)生思考了今后還要研究的內(nèi)容：直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）、邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)）.

5.3 課堂深學(xué)，明理悟道敏思

勾股定理的驗(yàn)證，從認(rèn)識(shí)2002年北京國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的徽標(biāo)開始.從審視學(xué)生的預(yù)習(xí)成果出發(fā)，用含a，b的代數(shù)式表示大正方形的面積，再根據(jù)整體由部分組成的角度出發(fā)，用含a，b，c的代數(shù)式表示大正方形的面積，由于表示結(jié)果的一致性，整理得到a2+b2=c2.學(xué)生在課堂的進(jìn)一步考量之下，能夠規(guī)范地在黑板上板書出解題過程.閱讀有關(guān)勾股定理的文史材料，不僅使學(xué)生了解了勾股定理的文化歷史價(jià)值，更激發(fā)了學(xué)生對經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的研究情感.勾股定理不同驗(yàn)證方法的探討也豐富了學(xué)生的視野.

課堂上，凡是學(xué)生能夠說清楚的問題教師堅(jiān)決不說，學(xué)生能夠理解的內(nèi)容更不必重復(fù)，不斷地發(fā)現(xiàn)新知識(shí)讓學(xué)生一步步地實(shí)現(xiàn)自我超越，在連續(xù)地攀登過程中愉快地前行.講臺(tái)首先是學(xué)生的，其次才是教師的.就提供的問題情境或新學(xué)習(xí)內(nèi)容請學(xué)生到講臺(tái)上講述自己的思想認(rèn)識(shí)，一個(gè)人講了以后，其他人可接著講，或是延續(xù)或是另辟新說.學(xué)生的互相敘說、互為補(bǔ)充有利于修正不正確或不健全的認(rèn)識(shí)，加上教師的點(diǎn)撥和引導(dǎo)，對學(xué)生的學(xué)習(xí)起到推波助瀾的作用，使學(xué)生的對話交流和探究學(xué)習(xí)活動(dòng)能夠順利進(jìn)行.

讓學(xué)生去解釋一切現(xiàn)象、說明一切問題，聽課的教師驚嘆于學(xué)生的表達(dá)，學(xué)生講解的內(nèi)容甚至超過教師的，學(xué)習(xí)效果顯而易見.掌握知識(shí)和技能只是學(xué)習(xí)的淺表層，獲取思想方法才是學(xué)習(xí)的精華，學(xué)生要感受通過類比、特殊化、一般化、逆向思考等途徑發(fā)現(xiàn)新知識(shí).課堂上的對話交流和探究活動(dòng)，使學(xué)生親自實(shí)踐、親身體驗(yàn)直至發(fā)現(xiàn)知識(shí)，而不是被動(dòng)發(fā)現(xiàn)，課堂上的深度生成，對學(xué)生身心的影響是非常深刻的，增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的自信心，提高了解決問題的能力.

5.4 課程整體設(shè)計(jì)，發(fā)展核心素養(yǎng)

本節(jié)“勾股定理”的教學(xué)，依據(jù)學(xué)生課前預(yù)習(xí)的生成資源展開，憑借問題主動(dòng)探求，“勾股樹”下對話生成.課堂教學(xué)從特殊到一般，通過操作、計(jì)算和思考，歸納勾股定理的涵義.從拼圖到算式，通過代數(shù)表達(dá)，演繹勾股定理的證明，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力.從數(shù)史到運(yùn)用，通過觀察和求值，體會(huì)勾股定理的文化價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的興趣.課堂教學(xué)一氣呵成，一切都在自然的有效課堂生成中發(fā)生、發(fā)展和完善.課堂以有效生成為考量指標(biāo)，課堂的生成發(fā)展使得數(shù)學(xué)教學(xué)變得有意義、有價(jià)值，學(xué)生的智慧得到了發(fā)展，課堂實(shí)現(xiàn)了知識(shí)生成、方法生成和思想生成.學(xué)生在學(xué)校享受到了高質(zhì)量的數(shù)學(xué)教育，發(fā)展了幾何直觀、抽象能力、推理意識(shí)等核心素養(yǎng).

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