利用有效增設探尋證明思路

摘要：為了探尋“勾股定理的逆定理”的證明思路，本文中設計了“盤點邊角關系，剖析有效增設的產生背景”“組織動態構圖，感悟有效增設的等價條件”“重復等價條件，生成有效增設的具體路徑”“辨識不同證法，欣賞有效增設的建構特點”等遞進教學環節，體現有效增設的創建過程，突出有效增設的思維立意，彰顯有效增設的優越價值.

關鍵詞：勾股定理的逆定理；證明；有效增設；等價條件

在學習人教版八年級下冊第十七章“勾股定理”時，聽了幾節“勾股定理的逆定理”示范課.對“勾股定理的逆定理”的證明，執教教師無一例外地采取了直接呈現的方式，幾乎沒有給學生前置的思考時間，教師只是匆忙地單純復述解釋課本上提供的“證明”，之后便轉入定理的應用環節.整個探究活動將本應思考設計、觀點碰撞、研究優化的過程，變成了單一的對已有“證明”的解讀，這如同在解題時僅僅要求學生能“看懂答案”一樣，問題啟發思維的作用、價值引領的功能將難以發揮出來.課下交流時，幾位執教教師提到，主要是迫于該定理證明方法的特殊性，覺得難以進行再設計，只好暫且如此.這令筆者陷入了深深的思考.盡管受學生認知水平的制約，受證明方法特殊性的局限，但若省略探究直接告訴學生結果，似有遺憾.因此，筆者嘗試找到一種設計，讓“證明”發揮出應有的育人價值.

1 課本“證明”再現

在圖1中，已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足a2+b2=c2，要證△ABC是直角三角形，我們可以先畫一個兩條直角邊長分別為a，b的直角三角形，如果△ABC與這個直角三角形全等，那么△ABC就是一個直角三角形.

2 教學實踐

2.1 盤點邊角關系，剖析有效增設的產生背景

問題1你能說出我們學過的三角形的邊角關系有哪些嗎？

師生活動：師生共同回顧學過的有關三角形的邊角關系，必要時教師給予提示和補充.相關內容有大邊對大角；大角對大邊；等邊對等角；等角對等邊；直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°；勾股定理；等等.

問題2這些邊角關系各是用什么方法證明的？

師生活動：學生先小組合作交流，之后推選代表發言.證明“大邊對大角”用的是在三角形內部構造等腰三角形的方法，如圖3，在長邊AB上截取AD=AC，連接CD；證明“等邊對等角”及其逆定理用的是構造全等三角形的方法，如圖4，作底邊BC上的高AD；證明“直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”采取的是構造等邊三角形的方法，如圖5，延長BC到D，使CD=BC，連接AD；證明“勾股定理”用的是面積法，如圖6，以Rt△ABC三邊為邊長，分別向三角形外作正方形，通過割補法證明S1+S2=S3，從而得AC2+BC2=AB2；等等.

追問：對所面臨的問題，在不改變題意的前提下，增加一點條件使得問題更容易求解，叫做有效增設·[1·].那么在上述各邊角關系的證明中，是如何實現有效增設的呢？

師生活動：教師引導學生概括各種邊角關系的證明方法，意在突出思考有效增設增的是什么“條件”，該“條件”起到了什么作用，力爭上升到策略運用的層面.通過交流與學生達成共識，對于一些不易直接證明的問題，往往通過作輔助線（或引入輔助量）來設計，或割補變換，或等量替代，或數形轉化，或設參輔助，或逆向設計，等等.學生會隱約感受到等價條件的出現和應用，如圖3中求證∠ACB＞∠B，也就是證明∠ACB＞ADC，且∠ADC＞∠B；圖5中求證BC=12AB，也就是證明BD=AB（因為BD=2BC）；等等.

設計說明：“邊”與“角”屬于不同類別的量，跨“類”聯絡，往往需要有效增設.問題1的盤點回顧，讓學生感受到一個看似“簡單”的三角形，蘊含著怎樣豐富的邊角關系.問題2對證明思路進行說明，讓學生進一步感知新穎多樣的“增設”方法，充滿創意的“增設”思路.而“追問”則要求說明有效增設是如何創立條件繼而整合條件促使問題解決的，突出有效增設的作用與功能.問題背景在多層級的分析和反思中越加明朗，學生對各邊角關系“證明”的認識也將不斷深化，“等價條件”這一核心要素漸漸浮出水面.

2.2 組織動態構圖，感悟有效增設的等價條件

問題3如圖7，兩個同心圓中，半徑CA為3 cm，CB為4 cm，若△ABC的邊AB大于4 cm，試探究△ABC的形狀與AB長的關系.

師生活動：學生嘗試在同心圓中構圖，探究發現需要分情況討論，分類標準本質是提供了一個可以使用的條件，分情況的“標準”就是有效增設.因為△ABC的三邊不相等，根據所學知識，判斷三角形的形狀當前只能從角上考慮，又因為AB是最長邊，所以△ABC的形狀最終取決于∠C的大小.如圖8，當∠C=90°時，△ABC是直角三角形，此時AB為5 cm；如圖9，當∠Cgt;90°時，△ABC是鈍角三角形，此時5＜AB＜7；如圖9，當∠Clt;90°時，△ABC是銳角三角形，此時4＜AB＜5.

追問：反過來思考，在問題3的條件下，AB的長度也決定∠C的大小嗎？

師生活動：以直觀感知為主，意在引發學生對三角形中邊與角大小關聯性的雙向思考.

問題4作△ABC，使AC=3 cm，BC=4 cm，AB=5 cm.

追問1：作△ABC除了用三邊長直接畫圖外，還有其他畫法嗎？

師生活動：學生自主畫圖，教師鼓勵學生設計出不同的畫圖方法，并收集匯總.有直接利用三邊長畫圖的，也有利用勾股定理間接畫圖的，比如作∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm的三角形或∠C=90°，BC=4 cm，AB=5 cm的三角形等.

追問2：不同的畫法得出的三角形都符合要求嗎？為什么？

師生活動：師生共同推敲不同作圖方法的合理性，加深對“殊途同歸”的認知.作圖就是做“條件”，如作“Rt△ABC，使∠C=90°，AC=3 cm，BC=4 cm”，利用勾股定理可求出斜邊AB=5 cm，這與直接作出“AC=3 cm，BC=4 cm，AB=5 cm的三角形”結果一樣（因三邊對應相等的兩個三角形全等）.“AB=5 cm”與“∠C=90°”在此背景下實現了條件的等價轉化，這為后續實施有效增設作了技術上的鋪墊.

設計說明：本環節試圖解開有效增設的運行機理.學生在問題3構圖的動態變化中，直觀感知三角形中最長邊的取值范圍與其對角大小（直角、銳角、鈍角）的對應關系；問題4的畫圖對比更是讓等價條件從“隱性”狀態變為“顯性”狀態.此時，學生將形成清晰和可利用的數學認知結構，該“認知結構”因其較高的概括性而初步擁有了遷移的能力.

2.3 重復等價條件，生成有效增設的具體路徑

問題5如果△ABC的三邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm，那么△ABC是直角三角形嗎？為什么？

師生活動：根據已知條件，能確定△ABC是直角三角形，但直接證明有困難.教師引導學生利用等價條件轉化，將邊長分別是3 cm，4 cm，5 cm中的任一邊與∠C=90°交換（提醒：∠C的對邊須是△ABC中最長邊），按等價條件另作一個Rt△A′B′C′，如作一個∠C′=90°，B′C′=3 cm，A′C′=4 cm的三角形，利用勾股定理求出A′B′=5 cm，再證明△ABC≌△A′B′C′，從而∠C=∠C′=90°.

問題6已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且滿足a2+b2=c2，求證：△ABC是直角三角形.

師生活動：比較問題6與問題5的異同，類比設計證明路徑.

設計說明：簡單重復通常不產生新的條件，但重復等價條件，并分別看成是不同的存在形式，則能產生新的情境，出現“有效增設”·[1·].問題5、問題6一脈相承，學習過程實現了兩次升級轉型.一是由問題4的作圖過渡到問題5的證明，同中有異，抽象程度增加；二是由問題5的“特例”過渡到問題6的“一般情況”，類比演進，更具普適性.這些轉型問題的設置，符合學生的認知規律，將帶動學生產生順應性知識遷移，思考內容逐步得到“精加工”，有效增設的優勢也將進一步凸顯.

2.4 辨識不同證法，欣賞有效增設的建構特點

問題7閱讀下面的材料，請結合證明過程談一談“有效增設”的應用.

師生活動：師生共同分析證明過程，在交流合作中抽象出有效增設的實施路徑.

設計說明：現階段，學生還沒有學習反證法，但是基于認知基礎和同伴互助，學生是能夠理解證明過程的.問題7的材料證明中設計了三次有效增設.第一次是“△ABC中，求證∠C=90°”的等價條件是“求證∠C不是銳角也不是鈍角”；第二次是“∠C不是銳角”的等價條件是“假設∠C＜90°時，不成立”，“∠C不是鈍角”的等價條件是“假設∠C＞90°時，不成立”；第三次是“假設∠C＞90°或∠C＜90°時”，才“作AD⊥BC”，讓勾股定理參與進來.正是在這連續的增設轉化中，問題變得越來越具體和單一，易于畫圖和求證，從而迎來證明的轉機.

3 教學思考

3.1 教學要體現有效增設的創建過程

章建躍教授提到，沒有“過程”的教學將“思維的體操”降格為“刺激—反應”的訓練·[2·].而這種降格的教學呈短期效應，無益于學生數學核心素養的培養.本文中“勾股定理的逆定理”的證明所采用的有效增設法從引導學生發現、探索特征，再到應用經歷了多次孕育，拉長了思維鏈條，體現了有效增設不是憑空產生，也不會一蹴而就的應有規律.因此本文中詳細設計了“盤點邊角關系，剖析有效增設的產生背景”“組織動態構圖，感悟有效增設的等價條件”“重復等價條件，生成有效增設的具體路徑”“辨識不同證法，欣賞有效增設的建構特點”等遞進教學環節，讓學生在活動中體驗，在經歷中領悟.其“增設”的必要性、有效性、優越性等隱性價值在“過程”中融合展現，持續施加影響，與知識內容一并轉化為學生穩定的、可遷移的數學認知結構.

3.2 教學要突出有效增設的思維立意

突出教學的思維立意，是提高教學質量的必經之路，也是提升學生素養的必然要求.為什么要進行有效增設？增設的“有效性”怎么體現？增設的路徑如何設置？這些融入情境中的問題，對學生而言具有較高的思維含量.“任何數學問題的解決過程，都是由未知向已知的轉化過程，是等價轉化的過程.”·[3·]“等價轉化”能實現條件向結論的自然延伸，這是許多數學問題的解決之道.師生正是由于發現了“等價條件”這一抓手，思維的閘門才得以打開，思維活動才做到具體而深入.“增設”要增的是有效的等價條件，基于這樣的認知，醞釀等價條件、利用等價條件成為學生的思維指向和動力源.值得一提的是，勾股定理逆定理的尋證過程，沒有局限于定理本身，而是將其置于更寬闊的視野中，看作是有效增設統領下的一個具體問題，隨著“證明”的完成，取得了以點帶面的效果，可以說，思維立意放大了探究價值.

3.3 教學要彰顯有效增設的優越價值

“增設”的目的在于突破，“有效”的關鍵在于銜接，而彰顯的優越性可增加認同感和向心力.首先通過“盤點邊角關系”，將三角形中眾多邊角關系集中起來，進行證法的有效增設分析，使學生感受到有效增設的多樣性、新穎性、創新性等優越價值，體驗加深，激起進一步探索的興趣.“組織動態構圖”環節看似自然、平常，實則平中見奇，隨著“等價條件”浮出水面，簡單的構圖瞬間變得深刻，這一“發現”拉近了與有效增設的距離，再回看有效增設就變得“親切”了.到“重復等價條件”環節，學生基本是自覺和有意識的行為，過程也更加規范和高效，水到渠成，學生將獲得成功應用的滿足感.“辨識不同證法”環節，欣賞不同的證明設計，反向強化了對有效增設優越性的認識.一句話概括，不同的造設“美景”，皆因出自同一“巧匠”之手.

參考文獻：

·[1·]羅增儒.數學解題學引論·[M·].2版.西安：陜西師范大學出版社，2001：308，313.

·[2·]章建躍.章建躍數學教育隨想錄·[M·].杭州：浙江教育出版社，2017.

·[3·]曹才翰，章建躍.數學教育心理學·[M·].3版.北京：北京師范大學出版社，2017：196.