立足經(jīng)驗(yàn)，變構(gòu)學(xué)程，高效建構(gòu)

近日，筆者上了一節(jié)“反比例函數(shù)”教學(xué)課，立足于學(xué)生原有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)變構(gòu)學(xué)程，取得了良好的教學(xué)效果.現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)分析與設(shè)計(jì)、課堂生成及思考呈現(xiàn)給大家，期待與各位共分享.

1 內(nèi)容分析與處理

在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)，反比例函數(shù)則是繼二次函數(shù)后的又一類基本函數(shù).“反比例函數(shù)”單元分三個(gè)課時(shí)，其中“概念”一個(gè)課時(shí)，“圖象與性質(zhì)”兩個(gè)課時(shí)，這樣的安排降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，但制約了學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，以及數(shù)學(xué)知識(shí)體系的整體建構(gòu).基于此，筆者以“式—數(shù)—形”為路徑，改編了本節(jié)課的教學(xué)程序，用一個(gè)課時(shí)學(xué)完反比例函數(shù)的概念、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其基本教學(xué)流程為：現(xiàn)實(shí)情境—抽象概念—概念辨析—構(gòu)建知識(shí)—猜想圖象—驗(yàn)證猜想—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—研究函數(shù)圖象認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)—小結(jié)歸納—分層作業(yè)深化理解.這樣的教學(xué)程序?qū)崿F(xiàn)了式、數(shù)、形的完美統(tǒng)一［1］.據(jù)此，筆者也確定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)與教學(xué)重難點(diǎn).

教學(xué)目標(biāo)：（1）在形成反比例函數(shù)概念的同時(shí)，感受反比例函數(shù)模型在刻畫現(xiàn)實(shí)數(shù)量關(guān)系中的作用.

（2）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的基本思路，自主探究反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，抓住式、數(shù)、形之間的有機(jī)聯(lián)系.

教學(xué)重難點(diǎn)：通過(guò)畫反比例函數(shù)的圖象，經(jīng)歷由圖象獲得性質(zhì)的過(guò)程.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，提取概念

問(wèn)題情境：（1）有一水池的排水管，它的排水效率為8 m3/h，用這樣的排水效率把滿池水排完需6 h.如果水池的排水效率改為Q m3/h，水池的水是滿的，那么排空水池所用時(shí)間t （單位：h）與Q（單位：m3/h）之間有何函數(shù)關(guān)系？

（2）已知菱形ABCD的面積為15 cm2，兩條對(duì)角線AB=x cm，CD=y cm，那么x與y有何函數(shù)關(guān)系呢？

（3）在近視鏡中，它的度數(shù)y與鏡片焦距x有如下一組數(shù)據(jù)，根據(jù)表1中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

提取概念：（1）分別分析上述三個(gè)問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系.（預(yù)設(shè)答案：因?yàn)閮蓚€(gè)變量的乘積一定，所以兩個(gè)變量是反比例關(guān)系.）

（2）仿照正比例函數(shù)的概念，給此類函數(shù)命名.（預(yù)設(shè)答案：反比例函數(shù).）

（3）如何定義反比例函數(shù)呢？（預(yù)設(shè)答案：一般地，形如y＝kx（k是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù).）

設(shè)計(jì)意圖：如何學(xué)？從哪里開始學(xué)？它的內(nèi)在結(jié)構(gòu)與邏輯關(guān)系是什么？在進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)時(shí)，必須考慮以上的問(wèn)題，立足學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合生活中的實(shí)例，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，學(xué)生自主完成對(duì)反比例函數(shù)的概念定義，彰顯了概念形成的過(guò)程性原則.

辨析概念：下列函數(shù)關(guān)系式中，哪些是y關(guān)于x的反比例函數(shù)呢？你判斷的依據(jù)是什么？

追問(wèn)：為什么第（4）小題是y關(guān)于x的反比例函數(shù)？為什么第（5）小題不是y關(guān)于x的反比例函數(shù)呢？

設(shè)計(jì)意圖：用原始的數(shù)學(xué)定義解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是最有效的方法.學(xué)生從概念的本質(zhì)出發(fā)去研究問(wèn)題，既用正例也用反例進(jìn)行辨析，從中找到了關(guān)于反比例函數(shù)的兩種不同風(fēng)格的表達(dá)形式，進(jìn)而對(duì)反比例函數(shù)的本質(zhì)特征有了更好的理解，提高了理解力.

2.2 立足經(jīng)驗(yàn)，規(guī)劃路徑

（1）關(guān)于一次函數(shù)，我們主要研究了哪些內(nèi)容呢？（預(yù)設(shè)答案：一次函數(shù)的一般形式，一次函數(shù)的圖象是一條直線，一次函數(shù)的增減性，利用一次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題.）

（2）根據(jù)研究一次函數(shù)的學(xué)習(xí)歷程，對(duì)于本節(jié)的反比例函數(shù)，你準(zhǔn)備如何進(jìn)行研究呢？（預(yù)設(shè)答案：根據(jù)具體反比例函數(shù)的表達(dá)式畫出函數(shù)圖象，然后通過(guò)函數(shù)圖象獲得函數(shù)的增減性，最后歸納出一般情形.）

（3）師生共同建構(gòu)反比例函數(shù)的知識(shí)框架.（預(yù)設(shè)答案：反比例函數(shù)的概念、反比例函數(shù)的圖象、反比例函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的應(yīng)用.）

設(shè)計(jì)意圖：類比一次函數(shù)的研究路徑，對(duì)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究加以規(guī)劃，可以將原來(lái)分散的知識(shí)與方法形成一個(gè)統(tǒng)一的整體，讓學(xué)生既見樹木又見森林.

2.3 變構(gòu)學(xué)程，建構(gòu)策略

探究反比例函數(shù)y＝6x的圖象與性質(zhì).

（1）分析表達(dá)式，猜想特征

分析函數(shù)y＝6x的表達(dá)式，根據(jù)其中的數(shù)量關(guān)系，猜想函數(shù)圖象的特征.

教師先讓學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)，然后再小組內(nèi)交流學(xué)習(xí)心得，最后抽小組代表展示小組學(xué)習(xí)成果：①由于x，y都不等于0，因此其函數(shù)圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸都不相交；②根據(jù)自變量與因變量的乘積為正數(shù)，所以它們的符號(hào)必須是同號(hào)，即當(dāng)它們同為正數(shù)時(shí)，所描各點(diǎn)在第一象限內(nèi)，當(dāng)它們同為負(fù)數(shù)時(shí)，所描各點(diǎn)在第三象限內(nèi)；③函數(shù)圖象分別分布在第一、三象限內(nèi)，且函數(shù)圖象呈下降趨勢(shì).

設(shè)計(jì)意圖：沒(méi)有直接由解析式畫出函數(shù)圖象，而是根據(jù)解析式特點(diǎn)猜想圖象特征，繼而研究函數(shù)的性質(zhì).在此過(guò)程中，教師給了學(xué)生充足的探究空間，讓學(xué)生通過(guò)研究函數(shù)表達(dá)式獲取函數(shù)圖象的大致特征，旨在引導(dǎo)學(xué)生從自變量、因變量的取值范圍、符號(hào)特征、增減性去分析函數(shù)解析式.這種探究活動(dòng)改變了學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（2）分析表格，驗(yàn)證猜想

師：觀察表2中的數(shù)據(jù)，聯(lián)系（1）中的猜想，你有什么新發(fā)現(xiàn)嗎？

學(xué)生在小組討論交流中，獲得以下結(jié)論：xlt;0時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)xgt;0時(shí)，y隨x的增大而減小.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生分析表格里的數(shù)據(jù)，有兩個(gè)方面的好處，一是驗(yàn)證前面學(xué)生研究函數(shù)解析式時(shí)的發(fā)現(xiàn)，二是進(jìn)一步明確了函數(shù)的圖象，獲得函數(shù)的增減性的性質(zhì).當(dāng)對(duì)自變量的取值進(jìn)行分類研究時(shí)，還培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力.

（3）觀察圖象，歸納性質(zhì)

首先，要求學(xué)生在自己的練習(xí)本上畫出函數(shù)y=6x的圖象.在畫函數(shù)圖象的過(guò)程中，有的學(xué)生未將平滑曲線向兩端延伸；有的學(xué)生將第一、三象限的點(diǎn)連接起來(lái).有了錯(cuò)誤不可怕，可怕的是漠視錯(cuò)誤.教師需要因勢(shì)利導(dǎo)，幫助學(xué)生分析錯(cuò)因，運(yùn)用幾何畫板這個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具，畫出直觀形象的函數(shù)圖象，讓學(xué)生對(duì)圖象有準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí).接著，教師再引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)圖象獲取性質(zhì)，得到這個(gè)反比例函數(shù)的圖象是兩支曲線，故命名為雙曲線.最后，讓學(xué)生嘗試自主歸納函數(shù)圖象的特征與性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生動(dòng)手畫函數(shù)圖象，驗(yàn)證猜想，體會(huì)式、數(shù)、形的內(nèi)在統(tǒng)一性，由式?jīng)Q定形，由形刻畫式.學(xué)生經(jīng)歷了由函數(shù)解析式—函數(shù)圖象—函數(shù)性質(zhì)的全過(guò)程，積累了活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

（4）總結(jié)反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

筆者輔以幾何畫板的演示，又分別畫出了y＝4x，y＝-4x，y＝-6x的圖象，讓學(xué)生通過(guò)比較總結(jié)，得到反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的性質(zhì).①反比例函數(shù)的圖象為雙曲線：當(dāng)kgt;0時(shí)，圖象位于第一、三象限；當(dāng)klt;0時(shí)，圖象位于第二、四象限.②反比例函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且分別關(guān)于直線y＝x，y=-x對(duì)稱.③函數(shù)的增減性：當(dāng)kgt;0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)klt;0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

（5）反思總結(jié)，構(gòu)建知識(shí)體系

①本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？

②請(qǐng)回顧研究反比例函數(shù)圖象與性質(zhì)的歷程，談?wù)勀闼@得的經(jīng)驗(yàn).

（6）分層作業(yè)，深化理解

3 教學(xué)反思

（1）立足有效互動(dòng)，促進(jìn)概念轉(zhuǎn)化

教學(xué)中，教師應(yīng)明確新知的生長(zhǎng)點(diǎn)在哪里，從學(xué)生已有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)出發(fā)呈現(xiàn)問(wèn)題，由一個(gè)個(gè)問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考.同時(shí)注重方法的遷移，啟迪學(xué)生的思維，從而喚醒學(xué)生的記憶，在自我互動(dòng)中把原有的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行重組與轉(zhuǎn)化，生成新的知識(shí)·[2·].

（2）立足生本課堂，發(fā)揮主導(dǎo)作用

學(xué)習(xí)是一個(gè)生動(dòng)活潑、富有個(gè)性化的過(guò)程，教學(xué)中，教師應(yīng)以生為本，給學(xué)生充足的時(shí)間與空間，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察與實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)與計(jì)算、推理與驗(yàn)證的過(guò)程，同時(shí)，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，嘗試通過(guò)改變學(xué)程，以促進(jìn)高效課堂的生成.

（3）立足思維發(fā)展，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

對(duì)于零散的、不系統(tǒng)的知識(shí)，學(xué)生是難以運(yùn)用的.因此，教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生建立知識(shí)體系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的整體建構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，讓學(xué)生在過(guò)程經(jīng)歷中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，在探究活動(dòng)中豐富經(jīng)驗(yàn)，在反思評(píng)價(jià)中領(lǐng)悟經(jīng)驗(yàn)，在應(yīng)用歸納中發(fā)展經(jīng)驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：

·[1·]王俊蓉.整體建構(gòu)視角下的問(wèn)題串設(shè)計(jì)研究——以“反比例函數(shù)”教學(xué)為例·[J·].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（20）：5-7.

·[2·]崔佳佳，范興亞，凌文偉.對(duì)反比例函數(shù)的認(rèn)識(shí)·[J·].中小學(xué)數(shù)學(xué)（初中版），2021（5）：51-53.