培養逆向思維探尋解題新途徑

摘" 要：在初中數學課堂教學中，培養學生逆向思維能力，既可以突破學生思維固化已久的局面，又能增強學生解決數學問題的綜合能力，進而達到提高初中數學課堂教學效果的目的。對此，文章主要對初中數學教學中學生逆向思維能力養成的有效教學策略進行探索，以期為初中數學教學提供思考與借鑒。

關鍵詞：逆向思維；初中數學教學；培養訓練

思維是人腦在一定時期內對客觀現實進行概括與間接的反映，它體現了事物本質和內部規律性。而逆向思維則是打破常規思維定勢的一種思維方式，是站在對立面反其道而行之，具有變通性、獨創性、靈活性等特點。初中階段的數學教學目標在于強化學生的基礎知識、思維能力、數學思想方法以及解決問題的能力。初中數學教學中對學生逆向思維的培養應做到以下幾點教學手段：

一、從概念定義教學入手，培養逆向思維

很多教學概念的界定都要通過揭示概念的本質屬性來得出，有些數學結論也是通過確定、分析和探究某一數學對象或某一研究過程而得出的。因此，從不同角度去觀察、分析事物就會產生新的認識。這種由已知到未知的思維過程叫作反向思維能力。教學中我們應激發學生把握這一特征，以深化對定義的認識與把握，發展逆向思維，形成逆向思維習慣。如線和平面垂直的定義是：“如果線和平面內任意一條線垂直，那么線和平面垂直”。利用定義來求解的題目并不多，但是往往利用其逆命題來證明線和平面是垂直的。筆者把這一結論應用于其他方面，往往可以起到化繁為簡的效果，使解題更加簡便。再比如互為反函數定義域和值域之間存在互逆關系。利用這種關系可以通過求定義域得到一些函數值域。否定命題只要有反例即可。舉反例來訓練學生的逆向思維，不僅可以加深記憶，而且在深入理解定義，定理公式方面起到主要作用，還是一種常見的糾正錯誤手段。如定理：“閉區間內連續函數必然存在最大值與最小值。”其關鍵字眼為“閉區間”與“連續”，這兩個詞缺一不可，如果定理條件發生了變化，則定理結論將遭到否定。由此可見，教學時注重經常性地激發學生對一些定理、概念的逆用，可有效發展他們的逆向思維能力。

二、幾何定義、定理等逆向思維的培養

幾何上很多定義、定理、公式、法則都是雙向的，教師在平時教學時，常常只秉持從左向右地應用，會使學生產生定向思維，對逆用公式法則極不適應。在解數學問題的過程中，若無法從正面求解時，可引導學生反其道而行之，進行思考與探究。證明題中如果條件較少或者不充分時，常以分析法為首要，執果索因地從結論出發，一步一步地尋找出使得結論成立的條件，然后運用已知條件，展開因果導向下的論證。

例如當已知一個數與另一個數成比例時，如何求這個數量？如果只知道這個量的絕對值（或相反數）而未知其和值，怎樣求解？這種對問題解決方式的逆向探索，更有利于學生逆向思維品質的形成和問題解決方式的尋找，因此教師有目的地對學生的逆向思維加以訓練，有助于發展學生思維的靈活性、深刻性和突破性。恰當地實施逆向思維教學對打開解題思路、突破定向思維限制產生積極影響。這種情況常常通過一些簡單教學便能逐漸形成。

三、創設問題情境，訓練逆向思維

初中數學課堂教學過程，應訓練學生養成逆向思維能力，教師應該先給學生提出符合教學內容的數學問題，引導學生從逆向思維出發，分析、解決數學問題。在此基礎上，教師可通過一題多解指導學生，進一步加強其逆向思維能力培養。例如一般學生常用正向思維思考、分析數學問題，但在正向思維不能判斷題目回答正確與否時，教師可引導學生從逆向思維出發，驗證結果，判斷解題思路及解答是否準確，鍛煉學生“舉一反三”的思維敏捷性。

教師在引導學生研究數量關系的過程中，可以提出：“小云的媽媽去市場上賣雞蛋，已知她第一次售出的雞蛋數量是全部雞蛋一半的一半；第二次售賣的數量是上次所剩雞蛋一半的一半；如果按照這種方式，一共售出了四次，雞蛋恰好會全部賣完，請學生計算一下，小明的媽媽原本有多少個雞蛋？”教師可引導學生從逆向思維出發，探索這道題的解決方法，請學生列舉數量關系式，并加以分析驗證，以測試正向思維計算結果的正確性。通過此形式，學生不僅能更進一步掌握數學應用問題求解的本領，還可養成了用不同觀點處理數學問題的自覺性與能力。

四、利用數學公式，培養逆向思維

就初中數學課堂教學而言，通常情況下，學生習慣于正向運用數學公式，一旦在考試時數學公式發生微小的形變，學生在解題時就會沒有思路，影響了學生學習效率的提升和教師教學質量的穩定。因此，教師在進行初中數學教學時，應給學生舉出能逆向運用數學公式的實例，并對其進行鍛煉，這既能深化學生對公式的認識與把握，又能促進其更靈活地運用公式，從而促進學生在實際中學會運用數學知識。例如完全平方公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２，在實際數學問題中，使用范圍很廣，學生不能僅僅掌握完全平方公式的正向用法，教師也要引導學生逆向理解完全平方公式，促使學生對該公式進行理解及變換應用。

在解答題目時，有些學生由于不能將兩個相同的數之間的關系轉化過來，因此常常會出現錯誤。例如：“已知ａ２＋ｂ２－２ａ－４ｂ＋５＝０，求■（ａ－１）２－ａｂ的值”，學生碰到此問題時，自覺地先化簡，但對式子能連接哪一個公式，學生反而更加迷茫了，字母中存在平方，所以它可能和完全平方公式相關。對此，教師應鼓勵學生自由發揮、暢想，將式子通過某些形變，化簡為完全平方公式，通過交流和探討，促使學生能獲得“（ａ－１）２＋（ｂ－２）２＝０”，這就解決了“ａ－１＝０”和“ｂ－２＝０”的問題，并最終得到“ａ＝１”和“ｂ＝２”的結果，接著代入原式，解值為－２。由此看出，一個典型的逆向使用完全平方公式來求解的題目，能鍛煉培養學生的邏輯思維及逆向思維能力，同時也能培養學生的創新意識、創新能力以及探索精神等。這說明在初中數學課堂教學中，教師要善于為學生創設運用逆向思維處理數學問題的情境，增強初中數學教學有效性。

五、布置課后習題，加強逆向思維

對初中數學課堂教學來說，發展學生的逆向思維能力不是一朝一夕之功，而是需要很長一段時間堅持所得，因此教師僅僅依靠上課短短幾十分鐘的教學時間是遠遠不夠的，教師很難對學生的學習問題進行綜合的思考，應通過布置課后習題，讓數學知識從課內教學向課外自主學習延伸，在課余時間讓學生也能對知識進行全面應用。為了實現鞏固課內知識的教學目標，教師在布置課后作業時要有計劃性、有針對性地訓練逆向思維能力，鼓勵學生廣泛地接觸各種數學題目，從而促進學生逆向思維意識和模式的形成。

比如在求證“兩線交叉只有一個交點”這個結論時，為了指導學生驗證該結果，教師可以從指導學生的假設開始：“如果兩條直線相交，就出現Ａ、Ｂ兩個交點。”然后結合“穿過點Ａ與點Ｂ之間只存在一條直線”這一學過的知識進行推理和分析，就可以很容易地推翻原來的假設，它顯然不符合相關的數學定義，從而準確地判斷出假設的正確性。教師可以讓學生提出各種觀點，要求學生根據這個答案：先設定結果，然后根據這一結果進行逆向推理，再一步步顛覆以前的設定，得出正確的判斷。在鞏固練習后，學生也可以初步應用逆向思維的方法，通過對相關習題的解答，促使自身逆向思維能力得到訓練與開發。基于此，教師可以給學生布置層次化的課下學習任務，結合學生依據自身情況，有針對性地安排課后作業，這樣就能照顧到全體學生的學，實現更有效的教學效果。

六、培養學困生的反思意識

（一）和學生搞好關系，創設民主教學氛圍

和學生搞好關系，創設民主教學氛圍，這樣能使他們減少心理包袱、敢問、敢提不同意見，從而培養學生學習數學的積極性，主動性。教學活動過程，就是師生雙方進行情感、思維溝通的過程。構建良好的師生關系有利于激發學生的學習興趣，讓學生建立起學習信心。教師平時應該更加積極地親近學困生，多關心他們，向他們打聽學習、生活等問題，積極幫助他們排憂解難，讓每個學生都能感受到自己是一個有活力的個體，從而增強自信心和進取心，提高學習積極性。同時也要注意及時了解學生在學習上遇到的問題與困惑，以便對癥下藥。從而提高學生對教師的信任感，打消學生學習數學的恐懼。

（二）給予學困生更多鼓勵，增強其信心

要給予學生更多鼓勵，激發學生學習興趣，增強學生學習自信心。例如教學“正弦定理”時，結合初中所學三角形全等判定定理提出：“這里怎么不存在‘邊邊角’這一定理？”這道題對優秀生來說并不難，但是可以很好地刺激學困生的好奇心。隨后教師可用畫圖的方法來表示它：一個正方形邊長為ａ＝ｂ＋ｃ，如果將其中兩個角分別剪成等腰三角形，那么它們是怎樣連接起來的？然后請學生用作圖的方法來解決問題。在此過程中，教師鼓勵學生幫助學困生對定理進行驗證，使學困生有成功經歷，并有同伴協助。最后，教師肯定學生的探索，從而引發學生更加強烈的反思欲望。

（三）培養學生反思思維

反思思維并非與生俱來，對學困生來說尤其如此。所以，教師應該教會學生反思，幫助他們養成反思能力。在教學實踐中，雖然很多學生也能寫出一些反思記錄，但是往往只是停留于表面，沒有深入思考過問題產生的原因和解決辦法。教師讓學生采用數學周記寫作的方式能夠很好地訓練學生反思的能力，并且因為數學周記內容是公開的，所以更能督促學生復習，使其注意學習過程。學生可通過周記的方式記錄課上教師演示解題時不懂的部分，方便以后和教師或者同學進行溝通；也可記錄下習題的各種解法，并記錄下在學習期間的情感體驗等。為了使學困生擺脫數學學習困境，教師應該給學困生多一些關心和幫助，使其感到教師對其與其他學生一視同仁，不反感、不拋棄，從而使其逐步建立起學好數學的自信心。

七、結語

通過逆向思維的培養，學生可以認識到在使用某種方法無法解決問題的情況下，應該轉變思維方向，進行相反方向的思考。所謂逆向思維能力是指在解題過程中對問題進行分析、綜合、比較后得出正確結論的思維習慣。在進行數學教學時，教師應該注重強化對學生逆向思維能力的培養，讓學生意識到在某個問題通過某種方式無法解決的情況下，可以變換思維方向，反其道而行之，增強學生的逆向思維能力。訓練學生逆向思維，不僅可以提高其分析問題和解決問題的能力，還可以改進他們的思維方式，幫助他們形成靈活而寬廣的思維，養成良好思維習慣，激發學生的創新開拓精神。

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（責任編輯：秦" 雷）