同底數冪除法題型的分類研究

摘" 要：《義務教育數學課程標準》指出教師要引導學生充分聯想、回憶基本數學知識和題型，利用相似問題的解題方法和技巧來解決問題，實現學生通過多角度分析和全方位思想，在探究中進行總結、歸納。學生能夠根據自己的知識和經驗主動思考，明確知識間的內在聯系，通過轉化和遷移的方式來解決問題。在思考中，學生會明確解題思路、以繁馭簡，構建模型，在分析中簡化問題。學生通過對同底數冪的除法問題進行分類探究，能夠找到解題的基本方法，在思考中通過抽象、概括的方式來進行比較抽象、邏輯思考，實現高效課堂。

關鍵詞：初中數學；解題思路；邏輯思考

一、底數為常數，建構解題一般模型

為了提高學生數學解題能力，掌握通性通法，輕松解決一類問題，教師要引導學生對知識進行分類總結，建構出知識系統(tǒng)框架。課堂教學中，教師要從學生的認知結構出發(fā)，引導學生分析歸納，促進學生了解規(guī)律、建構模型，提高解題能力，實現高效課堂。面對數學同底數冪的除法問題，底數不變，指數相減是基本規(guī)律。通過對底數的分析，會看到有些底數是常數，有些底數是單項式，還有些底數是多項式。面對底數為常數的同底數冪，只要牢記規(guī)律即可，這就是解決問題的關鍵。

二、底數為單項式，學會靈活轉化應用

底數為單項式也是同底數冪除法常見的形式，在觀察中，學生會看到并不是所有的底數都是常數，有些數據的底數為單項式。在分析單項式為底數的問題時，學生需要牢記把整個單項式當一個整體來看。教師要引導學生主動發(fā)現問題，在探究中總結規(guī)律，尋找有效的解決問題的方法，在實踐中提高問題解決能力，實現數學能力的提升。例如計算（３ａ２ｂ）５÷（３ａ２ｂ）３時，學生要明確底數為數與多個字母的乘積，這種情況在運算時，需要把整個單項式看作一個整體，采用“換元”的方式來計算，其他的規(guī)律遵循同底數冪相除的基本規(guī)律。學生在分析中會發(fā)現解題方法的合理性，在推理中活躍思維，在判斷中主動探究，掌握完整同底數冪除法的運算性質和解題方法。通過概括和總結，學生會認識到解題時可以將底數中的單項式看作一個整體，按照同底數冪除法原則進行計算，之后再用積的乘方法則將結果化簡。牢記此規(guī)律，學生就會明確（３ａ２ｂ）５÷（３ａ２ｂ）３＝（３ａ２ｂ）５－３＝９ａ４ｂ２，從而快速解決問題。隨后，學生要明確解決這類問題的方法，總結通性、通法，形成系統(tǒng)性認識，建構數學解題模型，在規(guī)律中形成科學認識，在探究中建構系統(tǒng)框架，利用已知方法和技巧解決問題。

三、底數為多項式，遷移知識快速解題

在同底數冪的除法中底數有時會是多項式，學生需要把多個項當作一個整體進行計算，這樣才可更好地進行思考和邏輯判斷。把所有的多項式當作整體計算會簡化運算過程，方便學生探究其中的內在聯系，通過構造一個整體的方式建構解題模型，把知識整體化，有助于學生更好地理解題目中的已知信息，把握解題方向。例如（３ｍ－４ｎ）１０÷（３ｍ－４ｎ）５中應該把（３ｍ－４ｎ）看作一個整體，通過重新構造試題的方式來解決問題。學生把（３ｍ－４ｎ）看作整體后，兩個式子就變成了同底數冪，解題時底數不變、指數相減即可，即（３ｍ－４ｎ）１０－５，經計算后得到（３ｍ－４ｎ）５。學生將問題轉化、重新構建能夠活躍思維，掌握有效運算技巧，學會對數學進行邏輯分析和推理判斷，在探究中快速掌握解題技巧和方法，提高數學思維能力。

當底數不一致時，通過觀察也會看到各個多項式之間存在著一定的聯系，學生需要認真觀察，思考探究其中的隱含條件，發(fā)現規(guī)律，把原題簡化成有規(guī)律可循的問題。在探究環(huán)節(jié)時，學生可以通過分類討論或抽象歸納的方式來進行，把握解題規(guī)律和解題方法。例如（ａ－ｂ）６÷（ｂ－ａ）３，通過觀察學生會看到兩個算式的底數不同，但思考和分析判斷會發(fā)現，（ａ－ｂ）的前面加一個“－”就可以變成（ｂ－ａ），這樣兩個式子的底數就一樣了。在解答中，可以寫成（ａ－ｂ）６÷（ｂ－ａ）３＝（ｂ－ａ）６÷（ｂ－ａ）３，轉化后底數相同，之后按照運算規(guī)則進行運算。在解決這類問題時，教師要引導學生充分發(fā)揮主觀能動性，通過主動總結的方式發(fā)現規(guī)律，尋找共同特點，在主動總結中形成對知識的規(guī)律性認識，找到解決問題的突破點。學生在解題過程中通過認真觀察和細致分析發(fā)現知識的特性，也會感受到解決同底數冪除法問題時的規(guī)律性，通過由此及彼的方式解決問題。學生參與其中將枯燥的課堂變得妙趣橫生，在主動探究中活躍思維，在積極加工中了解規(guī)律，把單一的數學知識變得有趣、易懂。在對同底數冪除法試題的觀察中，學生也會發(fā)現規(guī)律，提高觀察分析能力，在總結歸納中活躍思維，在邏輯判斷中建構框架，提高數學運算能力和抽象思維能力。學生在解題中也會熟練應用整體思想和化歸思想，加深自身對數學思想的理解，在實踐中實現靈活應用。

四、指數含有字母，圍繞規(guī)律轉化問題

部分試題會給含有字母的式子的指數賦予確定的數值，之后計算出具體的數字，學生讀題時明確題目中包含的已知信息和未知信息，通過邏輯思考和推理判斷的方式探究問題，尋找解決問題的思路。例如ａｍ＝３，ａｎ＝９，則ａ４ｍ÷ａｎ的值是多少？通過分析，雖然題目中的已知信息和所給條件有所不同，但是利用已知條件也可以計算出來。因為ａ４ｍ可以寫成（ａｍ）４＝（３）４＝８１，這樣計算ａ４ｍ÷ａｎ的值是多少，直接把題目中已知的信息和計算出來的數據代入，也就是ａ４ｍ÷ａｎ＝８１÷９＝９。指數含有字母的題目并不難解，計算規(guī)律和解題思路都是類似的，學生可采用指數是整數的冪的運算一樣的運算規(guī)律，通過靈活轉化的方式來解決問題。通過主動總結，學生會在實踐中學會遷移運用，把以往掌握的規(guī)律進行轉化應用，在實踐中科學分析，最終實現對知識的掌握和靈活應用。

五、逆向應用解題，轉化思維建構規(guī)律

學生在解題時還可以通過計算規(guī)律進行逆運算，通過靈活轉化的方式理解知識的來龍去脈，形成整體性認識，快速找到解題突破口。如已知ａｍ＝６，ａｎ＝３，則ａ２ｍ－３ｎ的值是多少？通過讀題，學生會看到本題還是有關同底數冪的除法問題的試題，在分析中學生會想到根據同底數冪的除法性質可以把試題整理成已知條件的形式，之后代入數值進行計算。在具體的解題中可以寫作ａ２ｍ－３ｎ＝ａ２ｍ÷ａ３ｎ＝（ａｍ）２÷（ａｎ）３，題目中已知ａｍ＝６，ａｎ＝３，所以等式可以轉化為６２÷３３＝４。分析本題的關鍵就是同底數冪的除法，在計算過程中學生要善于利用計算規(guī)則進行逆運算，在探究中解決問題，調整思路，通過靈活轉化的方式快速解決問題，為提高解題能力奠定基礎。在解決問題過程中，教師要引導學生多思考、多探究，通過學生主動分析的方式來解決問題。學生通過思考了解解題的一般方法和技巧，在實踐中解決問題。教師可以詢問學生：“本題中的已知條件是什么”“所求數據是什么”“已知條件和所求數據之間有什么關系”，學生通過對試題的觀察和分析會看到所求數據可以轉化為已知條件，通過對問題的思考，找到解決問題的突破點，在主動探究中解決問題，形成對知識的深刻理解。學生通過獨立思考和自主探究能學會逆向應用，進行推理判斷，從而推導出解決問題的方法。

總之，通過對同底數冪的除法試題進行分類總結，學生會了解試題的一般規(guī)律，有助于學生進行抽象概括，把握不同類型試題的解題方法和技巧，在探究中拓寬解題思路，形成對知識的理性認識。學生主動分析發(fā)現解題線索，活躍思維，在推理中抽象出規(guī)律，在探究中明確方法，把抽象問題轉化為形象試題，在比較和推理中找到因果關系，挖掘隱含條件，快速解題。學生通過對同底數冪的除法題型進行分類，促進自身形成對知識的系統(tǒng)性認識，建構認知結構，掌握解題方法，實現數學思維能力的提高，提升核心素養(yǎng)。

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（責任編輯：秦" 雷）