借助數形結合促升解題能力

數與形是數學的兩大核心內容，二者表面看相互獨立，實則緊密聯系，往往是數中有形，形中有數.解題時將數與形相互轉化可以使問題變得簡單、直觀，進而方便學生結合已有認知找到解題的切入點，從而高效、高質解決問題.然在現實教學中發現，部分學生數形結合意識淡薄，考試時很少應用數形結合思想解決問題，應用也僅限于將簡單的代數問題轉化為幾何圖形，究其原因是學生對數形結合的重要性認識不足，難以發現代數問題中的幾何意義，也不能將幾何中的數量關系轉化為代數問題進行求解.為此，在教學中，教師要重視滲透和啟發，引導學生巧借數形轉化提升解題效率.

1 數形結合的重要性

數形結合有利于夯實學生基礎，培養思維的深度；也能提升解題效率.數與形看似獨立，卻密不可分，只有將它們有機地結合在一起，才能使數學更加精彩.例如，在求函數值域時若直接從代數角度求解不僅過程復雜，而且計算量大，而將其轉化為幾何問題，解題思路也更加直觀、清晰，求解更方便.只有二者有機結合，才能把握住數學的本質和精髓，才能使數形結合成為解決數學問題的有力武器.

2 數形結合的運用原則

雖然數形結合在提高學生解題效率、發展思維方面發揮著不可估量的作用，但并非所有的問題都適合運用數形結合.眾所周知，圖形雖然直觀，但有時并不一定可以完整地刻畫出所有的數量關系，若轉化時忽略了等價性，可能使解題出現漏洞；其次，在應用數形結合時要將直觀的分析和抽象的探索有機結合起來，即關注雙向性.最后，將問題向簡單化轉化，其目的是為了高效解決問題，而并非為了追求新奇而刻意使用.

3 數形結合的應用

數形結合在高中數學中有著廣泛的應用，如，在解決三角函數、向量、不等式、方程等問題時應用數形結合可以達到簡化解題過程、優化解題策略的目的.下面筆者借助幾個典型案例展示數形結合的魅力.

3.1 應用于解方程問題

在解決一些含參的對數、指數或根式方程時，若通過代入、開方等常規的解題思路求解，雖然思路簡單但難以計算，故需要巧借數形結合將問題向簡單化轉化，從而使求解更加簡潔明快.

例1 已知a，b是實數，1和－1是函數f（x）=x3+ax2+bx的兩個極值點.

（1）求a和b的值；

（2）設函數g（x）的導數g′（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點；

（3）設h（x）=f（f（x））－c，其中c∈［－2，2］，求函數y=h（x）的零點個數.

第（1）問求得a=0，b=－3；

第（2）問得出x=－2是g（x）的極值點.這兩個問題的求解過程在此就不詳細講解了，本題重點分析如何利用數形結合求解第（3）問.

問題（3）求函數y=h（x）的零點個數即為h（x）=0的根的個數.

解析：（3）令h（x）=0，則f（f（x））=c，令f（x）=t，則c=f（t）.

當c=2時，設c=f（t）的兩個根為t1，t2，則t1=－1，t2=2.由圖象知方程f（x）=－1的根有3個，方程f（x）=2的根有2個，且這5個根不相等.

故c=2時，f（f（x））=c的根有5個，即y=h（x）的零點個數為5個.

同理，c=－2時，y=h（x）的零點個數也為5個.當－2lt;clt;2時，設方程c=f（t）的三根分別為t3，t4，t5，由y=f（t）與y=c的圖象可知，方程f（x）=t1，f（x）=t2，f（x）=t3各有3個不等實根，且這9個根都不相等.故－2lt;clt;2時，f（f（x））=c的根有9個，即函數y=h（x）的零點有9個.

綜上，當c=2時，函數y=h（x）有5個零點；當clt;2時，函數y=h（x）有9個零點.

點評：問題（3）中“函數y=h（x）的零點個數”經過換元轉化為“方程f（x）=t的根的個數”，即將復雜的函數問題轉化為學生熟悉的方程問題.雖然解方程問題學生較為熟練，但本題若直接求解很難實現，故通過數形結合再次轉化為討論y=f（x）與y=t的圖象交點問題，使問題向直觀化轉化，從而結合圖象可以順利求解問題.

3.2 應用于最值問題

應用數形結合求最值是較為常見的方法.應用數形結合往往要根據題目特點構造出使問題簡單化和直觀化的圖形，從而搭建起“數”與“形”的高架橋，進而達到事半功倍的效果.

例2

在△ABC中，AC邊上的中線為BD，若BD=2，AB=AC，當頂角A變化時，求△ABC的面積的最大值.

解析：如圖1，以BC所在直線為x軸，BC的中點為原點O建立平面直角坐標系.設OA=h（hgt;0），BC=2a（agt;0），則A（0，h），B（－a，0），C（a，0），D（a2，h2）.

所以BD=－a－a22+0－h22=2，即9a2+h2=16，則16=9a2+h2≥6ah，當且僅當3a=h，即a=223，h=22時等號成立.

故△ABC面積的最大值為83.

點評：本題求解時根據圖形特點巧妙地以BC所在直線為x軸，BC的中點為原點O建立平面直角坐標系，進而將幾何問題轉化為代數問題，利用基本不等式求得△ABC面積的最大值.當然，本題在求解時還可以以BD所在的直線為x軸，BD中點為原點O建立平面直角坐標系，由阿氏圓定義可確定點A的軌跡為圓，進而結合圖形求解△ABC的最大值.雖然前者主要運用了代數思維，后者為解析幾何思維，但求解過程中都需要經過圖形的轉化.可見，在求最值問題時應用數形結合往往可以收獲驚喜.

3.3 應用于不等式問題

在解不等式問題時，若不等式兩邊不能轉化為熟悉的方程或不等式組，或不等式恒成立等問題，直接求解不僅運算量過大，而且可能越解越復雜，容易使學生出現畏難情緒，故可以嘗試借助不等式中蘊含的幾何意義將問題向直觀化轉化.

例3 已知x，y，z∈（0，1），求證：x（1－y）+y·（1－z）+z（1－x）lt;1.

證法1：

如圖2構造邊長為1的正三角形ABC.

設點D，E，F分別在邊AC，AB，BC上，

AD=x，BE=y，CF=z.

由面積關系，得S△ADE+S△FEB+S△CDFlt;S△ABC.

所以12z（1－x）sin 60°+12x·（1－y）sin 60°+12y（1－z）sin 60°lt;12×1×1×sin 60°，

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1.

故x（1－y）+y（1－z）+z（1－x）lt;1得證.

點評：本題在證明過程中充分利用代數式的幾何意義構造正三角形ABC，將不等式問題轉化為三角形的面積問題，使抽象的代數問題更加直觀化.不等式問題是教學的重難點，也是高考的重要考點，因此，在教學中要注意典型問題的推理和拓展，以豐富學生的解題思路，提升解題效率.

3.4 應用于函數值域問題

求函數值域雖然是比較熟悉的問題，然因其題型靈活多變，涉及的內容廣，因此該類問題也是數學的一個重難點.若將函數與圖形有機地結合，通過直觀觀察可以直接找到問題的突破口，使解題更加高效.

例4

求函數y=x－1+x+2的值域.

分析：記實數x，1，-2在數軸上對應的點分別為P，A，B，

則函數y=x－1+x+2可以看成數軸上點P到定點A，B的距離的和.

解：記實數x，1，-2在數軸上對應的點分別為P，A，B，

則函數y=x－1+x+2看作數軸上點P到定點A，B的距離的和.結合圖3可知，當點P在線段AB上時，y=x－1+x+2=AB=3；當點P在AB的延長線上或BA的延長線上時，y=x－1+x+2gt;AB=3.所以y=x－1+x+2的值域為［3，+∞）.

點評：本題雖然為求函數值域的問題，但通過數形結合可將其轉化為距離問題，即數軸上的任意點到兩定點的距離問題，轉化后問題更具直觀性.本題因點P的位置不確定，所以解題時應根據三種可能存在的位置進行分類討論.各知識點交互交融，解題方法和數學思想又相互滲透，因此，在教學中要引導學生多進行解題方法和解題技巧的總結和探究，進而提升應變能力.

總之，數形結合作為高中數學的重要解題策略和數學思想，其在數學學習中的價值是不言而喻的.教師必須重視引導和滲透，從而通過轉化揭示問題的本質，讓學生具備將知識轉化為技能的能力，進而提升解題效率，發展數學思維.