挖掘概念本質 構建數學體系 提升思維能力

摘要：本研究在分析2022新高考Ⅰ卷“具有凸顯主干，聚焦核心模塊”“立足雙基，回歸概念本質”“知識交匯，體現思維品質”“聯系實際，彰顯數學應用”“遷移整合，突出關鍵能力”等特點的基礎上，提出了要挖掘概念本質、構建數學體系、提升思維能力的教學啟示及具體策略.

關鍵詞：啟示；概念；本質；體系；思維能力

2022年高考已落下帷幕，繼2020年四省市（山東、海南、北京、天津）實行新高考之后，2021年有七個省份（江蘇、河北、湖北、湖南、福建、廣東、山東）使用新高考Ⅰ卷，2022年亦是如此，趨于穩定，人數之多，引起社會的廣泛關注，尤其是今年數學試卷師生普遍反映試題偏難，2023屆的師生應該如何應對新高考呢？接下來，我們將針對近兩年的新高考Ⅰ卷進行對比分析，淺談一些心得體會.

從表1可以看出，與2021年相比，解析幾何的試題分值維持27分不變，函數與導數、立體幾何的試題分值均增加5分，試卷不僅凸顯主干知識的考查力度，而且更聚焦函數與導數、立體幾何等較難模塊.常規題型穩中有變，數列17題、三角18題的考法較為靈活.整份試卷突出數學本質，強化必備知識之間的內在聯系，對學生綜合思維能力的要求較高，因此難度較大，學生得分較低，當然與我們平時的教學也有關系.

2 立足雙基，回歸概念本質

2022年整份試卷基礎試題占了較大的比重，其分值大約占了總分值的一半，如，試卷中單選題的第1～5題，多選擇題第9～10題，填空題的13～14，解答題的第17～19題，20題與21題的第（1）問.立足雙基，重點考查基本概念，比如第2題的共軛復數、第5題的互質概念，第9題的直線與直線所成角、直線與平面所成角，第10題的極值點、零點，第19題的點到平面的距離、二面角等.學生如果對基本概念的本質理解不透徹，基本方法掌握不牢，處理問題不夠靈活，反而在這些基礎、中檔題上耗時會較多.

例1 （2022年第17題）記Sn為數列an的前n項和，已知a1=1，Snan是公差為13的等差數列.

（1）求an的通項公式；

（2）證明：1a1+1a2+……+1anlt;2.

例1的求解關鍵是第（1）問，絕大多數同學采用累積法，但是好多同學知識掌握不牢，錯誤率較高，整體得分不高.如果對等差數列、等比數列等概念本質掌握得比較透徹，在得到an+1an=n+2n后，變形成an+1n+2=ann，進而轉化成an+1（n+1）（n+2）=ann（n+1），就能構造出常數列ann（n+1），一氣呵成，運算量明顯減少.事實上，本題也可以從“和”與“項”出發，先找出“和”之間的遞推關系再利用上述兩種方法也同樣可解決.當然對于與自然數有關的命題一般都可以用數學歸納法，對于數列題也是通法，先猜后證.不同的解法也體現了思維的層次性.

啟示1 高一、高二時必須要放慢教學進度，要舍得在知識、概念的生成、發展上花時間，而不是靠告知式輔以題海戰術；要在概念教學中逐步生成通性通法，再通過解題教學不斷回歸概念深化對其本質的理解.因此，日常教學中不僅要講通性通法、各類典型題的常見思路，而且要引導學生對各種思路、各種解法進行進一步的整理與甄別.當然，這是一個循序漸進的過程，貴在不斷積累與反思，進而豐富、深化認識與理解，真正把握概念、方法本質，提高數學核心素養.

例2 （2022年第22題）已知函數f（x）=ex-ax和g（x）=ax-ln x有相同的最小值.

（1）求a；

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數列.

對于第（1）問中超越函數最值的求法，就是要判斷導函數的“正負”，依據就是利用導數研究函數的單調性，求導后含參，為什么要分類討論，分類討論分界點的確定還是要回歸到概念本質.為了導函數定“正負”號，我們通常采用的策略是討論范圍再細分，放縮，因式分解和多次求導等處理方式.通過通性通法的講解豐富、深化、回歸概念本質，形成網絡體系，此類題型便能解決.

3 知識交匯，體現思維品質

本試卷第18題解三角形，結合三角函數、基本不等式，考查函數與方程思想，對思維的靈活性要求較高.

例3 （2022年第18題） 記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos A1+sin A=sin" 2B1+cos 2B.

（1）若C=2π3，求B；（2）求a2+b2c2的最小值.

例3的第（1）小題解法很多，總的來說就是動兩次，化同角或同型，構造方程和函數.當然，選擇方法不同，花費的時間和正確率也不一樣，區分度較高.

第（2）小題則是化角，轉化為同一個角的代數式求最值.思路很重要，就是消元，尤其是多元問題.如何消元也是本題難點所在，化邊還是化角，化邊受阻時不能靈活調整解題思路，明知化角不知如何進行.如果由C=B+π2 ，探究得到sin B=-cos C的關系并不困難，反之則要求較高，體現了逆向思維能力.當然，也可根據sin B=-cos C直接得到cos B=sin C，進而利用和角公式得到sin A=-cos 2C=cos 2B轉化為同角同名的三角代數式.

啟示2 日常教學時要深挖教材，真正把握整個大單元設計的核心所在，掌握通性通法， 積累基本解題經驗，不斷滲透基本數學思想，構建自己的數學知識、方法體系.只有這樣，才能讓學生在遇到新問題時學會思考，以不變應萬變，嘗試解決，不斷提高思維品質.

平時教學中若注重通過一題多解、多題歸一，總結思想方法，相信對于例2（2022年第22題）第（1）問中超越式方程1+ln a=a-aln a，常見的構造函數和放縮兩種途徑都是可以想到的，而如何構造函數和放縮是關鍵.首先，注意積累各種類型題的常見思路方法；其次，要善于利用積累的基本解題經驗嘗試解決類似的新題，甄別每一種思路的利弊；最后，再從問題解決中不斷反思、總結、完善，構建自己的思路、方法體系.在遇到類型題時才能快速、精準地從中選擇高效的思路解法.

4 聯系實際，彰顯數學應用

第20題是一道形式新穎的概率應用題，重點考查條件概率，運算量不大，但因為是證明題，平時涉及少，又處在第20題的位置，得分也不理想.2021年高考考查了獨立性的概念，2022年復習備考有關獨立性的試題特別多，看似沒有聯系，實際上，對獨立性的理解離不開條件概率，課本上就是用條件概率來定義獨立性的，好多教師受高考卷參考答案的影響僅僅就是利用P（AB）=P（A）P（B）進行講解，沒有再從條件概率的角度更全面地認識獨立性，這對于學生備考顯然是不利的.

啟示3 其實2022年考查的概率應用題，題意理解上并不難，難在核心概念的理解.因此平時講解數學概念時要深入剖析，多方面理解，不僅僅是課本上正文給出的定義，還包括涉及到的例題、習題都要認真比較、反思，總結出各種方法及其優缺點，這樣才能一步步逼近概念本質的理解與掌握.這兩年考查的獨立性、條件概率.及其考查方式以往很少涉及，這就要求我們復習備考時，對于課本上涉及到的概率應用題包括閱讀材料都不能放過.

5 遷移整合，突出關鍵能力

本試卷突出能力為重的命題原則，更好地注重試題的基礎性、靈活性、綜合性與創新性，對學生的綜合素養和關鍵思維能力提出了較高的要求，如試卷的第7題，第8題，第12題，第16題，第22題.

例4 （2022年第12題）已知函數f（x）及其導函數f′（x）的定義域為R，記g（x）=f′（x）.若f（32-2x），g（2+x）均為偶函數，則（" ）.

A.f（0）=0

B.g（-12）=0

C.f（-1）=f（4）

D.g（-1）=g（2）

（模考題）已知函數f（x）是定義在R上的可導函數，其導函數記為y=f′（x），則下列結論中正確的是（" ）.

A.若f′（a）=0，a∈R，則y=f（x）在x=a處取得極值

B.若y=f′（x）是偶函數，則y=f（x）是奇函數

C.若y=f（x）是周期為a（agt;0）的周期函數，則y=f′（x）也是周期為a（agt;0）的周期函數

D.若y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱，則y=f′（x）的圖象關于點（a，0）中心對稱

（2021新高考Ⅱ卷第8題）已知函數f（x）的定義域為R，fx+2為偶函數，f2x+1為奇函數，則（" "）.

A.f-12=0

B.f（-1）=0

C.f（2）=0

D.f4=0

2022年第12題堪稱是上述高考題與模考題的遷移整合創新題，對涉及到的導函數與原函數的關系，函數的對稱性、奇偶性、周期性等基本概念掌握的學生很多，但是短時間內能將其遷移整合并靈活運用的少之又少.第22題第（1）問放縮法中涉及到的兩個常用不等式大多數學生都知道，但遇到新問題時就不能靈活運用.事實上，難題就是難在識別，難在遷移，難在綜合，對學生邏輯思維能力要求很高，區分度大，是學生思維品質的集中體現，這不是靠大量重復訓練就能實現的，關鍵是要培養學生的思維習慣.

啟示4 在知識的交匯處設計問題，突出關鍵能力的綜合考查，難度大，區分度高.只有數學基礎較好的學生才有可能做出第（2）問，還要留有充足的時間思考.因此，我們平時的課堂教學不僅要兼顧基礎，還要研究考題，設計有挑戰性的問題引導學生思考，課后也要給與足夠的時間讓學生自己反思、體會、感悟.

第22題改編：已知函數f（x）=axex和g（x）=ln xax有相同的最大值.

（1）求a；

（2）證明：存在直線y=b，其與兩條曲線y=f（x）和y=g（x）共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等比數列.

對于第22題，教師可以引導學生通過聯想類比、推廣、遷移、綜合等方式設計出更多的改編題，并且從思想方法層面上領悟其相通之處.學生再次遇到類型題，就可以根據經驗試著解決；解決不了的，再采取同樣的方式，積累、反思其“變中不變”.通過寫數學周記的方式，不斷積累，進而指導他們寫數學專題小論文，逐漸內化形成自己的思維模式，構建數學知識網絡體系，既能激發他們的學習興趣，又能提高他們的核心素養.

總的來說，這套試卷很好地體現了高考立德樹人、服務選才、引導教學的基本任務，給師生耳目一新的感覺，讓我們重新審視自身的教學.在新課改的背景下，如何更好地貫徹落實學科核心素養的培養任務，教師需要努力鉆研教材，認真研讀課程標準，在日常教學中對于基本概念、基礎知識和基本思想方法，結合課本例題、習題及其變式，多方面、多角度合理設計問題，深刻挖掘其內涵與外延，突出數學本質，構建知識、方法體系，提升邏輯思維能力.