2022年北京高考數學試卷評價

摘要：2022年北京高考數學命題秉承北京卷基礎、綜合、靈活的特色，穩(wěn)中求進，突出對基礎知識、基本技能、基本活動經驗、基本思想方法和數學學科素養(yǎng)的考查.文中基于試題以及解題思路、解題方法的分析，明確2022年北京高考數學試題的考查特點，并提出了2023年北京數學學科高考備考建議.

關鍵詞：試題考查特點；試題分析；備考建議

2022年高考數學北京卷在秉承以往穩(wěn)定的基礎上，題型出現了適當變化，比較有挑戰(zhàn)性，也增加了難度.試卷與往年相比，重視考查基本知識與基本方法，重點考查主干知識與核心概念的同時在創(chuàng)新上下足功夫，設置了很多創(chuàng)新和思維深刻的問題，考查學生的創(chuàng)新能力以及解決問題的能力.

1 2022年北京高考試卷特點

（1）試題結構總體穩(wěn)定，有適當調整

相對2021年，試題結構保持整體穩(wěn)定，知識點的覆蓋與2021年基本一致，各章節(jié)所占的分數比也與2021年基本相同.在穩(wěn)定的基礎上北京試題也做了一定的調整：第一，試題起步相對2021年略顯提高，涉及的知識點增多.如第1題，打破了以往直接求交集、并集的形式，增加了求補集的環(huán)節(jié)；第2題在解復數方程的基礎上增加了求復數模的環(huán)節(jié)，對基礎差的學生有一定影響.第二，立體幾何難度略有增加.由于2022年沒有考查三視圖（2021年的第4題），因而在第9題考查了立體幾何的綜合題，難度增加較大；同時立體幾何解答題雖然和2021年相同，依舊作為第二個解答題，但是以劣構形式出現，載體也從正方體轉變?yōu)槿庵瑢W生有些不適應.第三，導數解答題相對以往的函數零點問題、最值問題轉變?yōu)殡p變量的不等式證明問題，題目有一定的創(chuàng)新，有利于對學生能力素養(yǎng)的考查.

（2）注重基本知識與基本方法的考查

2022年北京高考數學試題，突出對主干知識的重點考查，基礎題占比70%左右，考查學生基礎知識與基本方法的掌握情況，以及學生的理性思維能力.本套試題選擇題的前六道題依次考查了集合的運算、復數的運算、直線與圓、函數性質與運算、三角函數的單調性，以及以數列為背景的充要條件問題；填空題的前三道題依次考查了函數的定義域、雙曲線的性質、三角函數的零點與函數值；解答題依次考查了解三角形、立體幾何、概率統(tǒng)計、直線與橢圓、導數、數列的綜合應用.試題體現了數學知識考查的全面性、基礎性和綜合性，注重了“四基”（數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗）的考查.

（3）關注數學本質，考查核心素養(yǎng)

試題以能力立意，強調方法與數學本質的考查，出題方式靈活，突出數學學科素養(yǎng).第6題、第15題、第20題重點考查了學生解決問題的能力，對學生分析問題以及知識的應用能力要求相對較高，充分發(fā)揮了甄別學生能力的作用.

題1 （北京卷，6）

設an是公差不為0的無窮等差數列，則“an為遞增數列”是“存在正整數N0，當ngt;N0時，angt;0”的（" ）.

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

本題是一道以數列為背景的充要條件問題，屬于中檔題，考查學生對遞增數列定義的理解.當等差數列an為遞增數列，則有公差dgt;0，通項公式為單調遞增的一次函數類型，必存在正整數N0，當ngt;N0時，angt;0，滿足“充分性”；反過來，存在正整數N0，當ngt;N0時，angt;0，若dlt;0，則會出現從某項開始以后各項均為負數不符合題目條件的情況，故dgt;0，即數列an為遞增數列，滿足“必要性”.因此選擇：C.

題2

（北京卷，15）已知數列an的各項均為正數，其前n項和Sn滿足an·Sn=9（n=1，2，……）給出下列四個結論：

①an的第2項小于3；②an為等比數列；

③an為遞減數列；④an中存在小于1100的項.

其中所有正確結論的序號是""" .

本題基于an與Sn的關系，設置了一個無窮正項數列，考查數列的增減性、估計數列項的范圍、判斷數列是否為等比數列，是關于數列問題的綜合題，屬于難題.解決此問題需要考生抓住本質，利用放縮思想、遞減數列的定義、數列的下界、反證思想等去推證.對于①，關注對an·Sn=9（n∈N+）的理解，賦值即可解決.

令n=1，有a21=9，又各項均為正，可得a1=3；令n=2，有a2（a2+3）=9，可得a2=3（5－1）2lt;3，故結論①正確.對于②，則是關注等比數列的定義及等比數列的證明，先將an·Sn=9整理為等比數列定義的形式再進行判斷.由Sn=9an，得Sn－1=9an－1（n≥2），于是可得an=Sn－Sn－1=9an－9an－1，即anan－1=9－a2n9，可以直觀判斷也可以代值驗證結論②不成立；③考查遞減數列的判斷，可以通過作差或作商的方式解決.由an·Sn=9（n∈YN*G），得an·Sn=an+1·Sn+1，于是an+1an=SnSn+1lt;1，所以an+1lt;an，從而得到an為遞減數列.④可以利用極限思想去考慮，因為an為遞減正項數列，即an隨著n的增大而減小，當n→+∞時，an→0+，所以必存在小于1100的項.綜上可知，正確的序號是①③④.

以上兩個數列問題，考查學生對知識的理解和遷移，關注數列的相關概念，并以概念為核心進行整理、分析、構造，從而最終解決問題，強化了對“四基”的考查.

（4）注重基本思想，突出對數學思想方法的考查

北京卷基于數學課標，有效檢測學生對數學基礎知識和基本思想方法的掌握情況.

題3 （北京卷，10）

在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，P為△ABC所在平面內的動點，且PC=1，則PA·PB的取值范圍是（" ）.

A.［－5，3］"""" B.［－3，5］

C.［－6，4］"""" D.［－4，6］

本題考查向量數量積的最值問題，出現在填空題的壓軸位置，屬于難題.該題體現的是化歸與轉化思想，從平面幾何切入，研究向量的數量積問題.學生可以用坐標法、向量數量積的幾何意義來解決.考查學生對通法的應用和對數學本質的理解.

①坐標法：

如圖1，以點C為坐標原點，以CA，CB分別為x軸、y軸建立平面

直角坐標系，可知C（0，0），A（3，0），B（0，4）.

由|PC|=1，可設P（cos θ，sin θ），θ∈［0，2π），則

PA·PB=（3－cos θ，－sin θ）·（－cos θ，4－sinθ）

=－3cos θ－4sin θ+cos2θ+sin2θ

=1－5sin（θ+φ）.

這樣，將問題轉化為三角函數的值域問題，從而得到PA·PB的范圍是［－4，6］.

②應用數量積的幾何意義：

PA·PB=（PC+CA）·（PC+CB）=PC·PC+PC·CA+PC·CB+CA·CB=1+PC·（CA+CB）.

令CA+CB=CD，則有CD=5.

由PC=1，

結合數量積定義，可得PC·CD=PC·CD·cos〈PC，CD〉=5cos〈PC，PD〉∈［－5，5］.

所以PA·PB的取值范圍是［－4，6］.故選：D.

以上兩種方法都是解決向量問題的基本方法.坐標法，避免復雜的邏輯推理，借助坐標運算簡化問題，降低思維的難度.幾何法，通過向量的線性運算、數量積的幾何意義來解決問題.這兩種方法也體現了向量概念的本質，集數與形于一身，既有大小又有方向，既有代數的抽象性又有幾何的直觀性，實現代數問題與幾何問題的相互轉化.

（5）聯系生活，突出考查運用數學知識解決問題的能力

題4 （北京卷，7）

在北京冬奧會上，國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，為實現綠色冬奧作出了貢獻.圖2描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lg P的關系，其中T表示溫度，單位是K；P表示壓強，單位是bar.下列結論中正確的是（" ）.

A.當T=220，P=1 026時，二氧化碳處于液態(tài)

B.當T=270，P=128時，二氧化碳處于氣態(tài)

C.當T=300，P=9 987時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

D.當T=360，P=729時，二氧化碳處于超臨界狀態(tài)

本題的背景是“冰絲帶”國家速滑館，場館采用二氧化碳跨臨界直冷制冰技術，碳排放趨近于零，試題取材源于社會，源于真實情境，考查學生運用數學知識解決實際問題的能力.

（6）突出綜合與創(chuàng)新，注重關鍵能力的培養(yǎng)

北京高考導數解答題常常創(chuàng)新問題情境，題目靈活多變，特色鮮明，對學生的創(chuàng)新思維能力有較高的要求.

題5 （北京卷第20題第Ⅲ問）

已知函數f（x）=exln（1+x）.證明：對任意的s，t∈（0，+∞），有f（s+t）gt;f（s）+f（t）.

本題屬于導數的綜合問題，證明雙變量的不等式恒成立，綜合性較強，考查了學生的綜合能力，要求較高.可從以下幾點切入.

切入點一：代數維度.

通法處理.通過移項構造新函數，轉化為求該函數的最值問題.考慮到本題的不等式中有兩個變量，兩側均有相同的變量，故需要選擇其中一個為主元，令m（s）=f（s+t）－f（s）－f（t），通過導數證明m（s）在［0，+∞）上單調遞增，再由sgt;0，得m（s）gt;m（0），即f（s+t）－f（s）－f（t）gt;f（0+t）－f（0）－f（t）=－f（0）=0，完成證明.

切入點二：幾何維度.

關注函數本身蘊含的結構上的特征（縱坐標之差），通過調整結構進行等價轉化，進而構造函數.將證原不等式轉化為證明不等式f（s+t）－f（s）gt;f（t）－f（0），構造函數F（x）=f（x+t）－f（x），則只需證明F（s）gt;F（0）即可.

切入點三：數形結合維度.

類比不等式f（s+t）gt;f（s）+f（t）與過原點的一次函數模型f（x+y）=f（x）+f（y）相似的特征，結合函數凹凸性，構造函數h（x）=f（x）x（xgt;0）.利用導數證明h（x）為增函數，由此得到h（s+t）gt;h（s），h（s+t）gt;h（t），

即f（s+t）s+tgt;f（s）s，f（s+t）s+tgt;f（t）t，整理為sf（s+t）s+tgt;f（s），tf（s+t）s+tgt;f（t），最后通過不等式相加完成證明.

第20題第Ⅲ問突出綜合能力的考查.近年來對于函數與導數高考題的命制，我們發(fā)現北京卷導數題題干簡潔、大氣，問題設計巧妙；各小問之間往往呈現關聯性，由淺入深，由易到難；重點考查導數的基礎知識和基本思想，突出考查導數的本質.在研究導數問題的過程中，要注意關注問題的連貫性，要會借助上一問的結論解決下一問，分析條件和結論的內在聯系，尋求解題思路，合理構造函數，利用導數解決問題.

2 2023年北京數學學科高考備考建議

通過以上2022年北京試卷特點的分析，筆者對2023年的高考備考有以下想法：

（1）突出教材與課標地位，依綱據本，落實“四基”

北京高考題始終堅持注重基礎、突出考查高中數學主干知識的優(yōu)良傳統(tǒng)，數學核心素養(yǎng)與基礎知識和主干知識密不可分.對比2022年與2021年北京高考試卷，發(fā)現它們在知識點的分布、章節(jié)知識的占比上高度一致.因此，在教學中應突出“四基”，對重點內容與方法進行不斷強化.

（2）關注知識的生成，重視通性通法的教學

北京卷中的一些常規(guī)題，如2022年的第1題集合的交集、第2題復數運算、第3題直線與圓位置關系、第5題三角函數單調性、第8題二項式定理、第11題函數的定義域、第12題雙曲線的漸近線、第13題三角函數的零點，以及前三個解答題中的解三角形、立體幾何證明與計算、概率統(tǒng)計等題，方法相對單一，基本依靠通法可以解決.從題目來看，關注知識的生成，重視通性通法的教學，對學生拿到基礎分數意義重大.

（3）重視數學思想的培養(yǎng)，提升學科素養(yǎng)

北京卷中的試題相對靈活，立意新，數形結合、等價轉化等思想方法應用較多，考查學生綜合應用知識的能力.新課程中，學生學習基礎知識的過程中獲得的數學思想方法是形成能力與核心素養(yǎng)的基礎和關鍵，教學中只有不斷滲透，讓學生感受結論與方法的形成過程，才能使學生逐步體會、理解并應用數學思想方法解決問題.

（4）注重學生綜合能力的培養(yǎng)

對數學綜合能力的考查，強調探究性、綜合性、應用性.2022年北京高考題中有些題突出能力立意，堅持素質導向.如，選擇題第9題的立體幾何問題，轉化為平面幾何問題；第10題需要將向量數量積的最值問題轉化為三角函數的最值問題或向量數量積的幾何意義問題；第20題的第Ⅲ問，需要將不等式的證明問題轉化為函數的最值問題，或構造函數應用函數單調性、不等式性質等解決問題.試卷中，部分試題還涉及到數學建模思想，對試題考查內容的背景及本質要求較高.因此，在對學生綜合能力的培養(yǎng)上，不要局限于知識本身的綜合，更重要的是知識與方法之間的綜合，將綜合能力的提升貫穿于整個教學過程，形成系統(tǒng)方法.