一道解三角形題的探究

摘要：借助一道解三角形問題來呈現對應線段長度比值關系問題破解的通技通法，進一步探究問題破解的巧技妙法，總結規律，嘗試為數學問題的解題研究提供一個基本的學習模板，開拓思維，探究拓展，提升能力.

關鍵詞：解三角形；正弦定理；面積；平面幾何；旋轉

解三角形問題是高考數學、高中數學聯賽中比較常見的一類綜合性應用問題，能很好交匯與融合平面幾何與平面解析幾何、函數與方程、三角函數、不等式以及解三角形等相應的數學基本知識，情境創設多變，思維視角多向，技巧策略多樣，思想方法豐富，具有相對規律性的思維方式與破解技巧，可以從代數視角或幾何視角等來切入與分析，倍受各方關注.

6 教學啟示

破解相關的解三角形問題，關鍵是合理借助解三角形中的平面幾何性質或正弦定理、余弦定理等來化歸與轉化對應的三角形邊與角的關系.破解時常見思維視角主要有以下兩種：

（1）代數角度進行代數運算

利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式等，合理“化邊為角”或“化角為邊”，尋找關于三角形中的角或者邊等元素之間的關系進行合理化簡與轉化；或利用平面直角坐標系的構建，借助點、直線、角等的坐標形式來尋找三角形的角或者邊等相關元素之間的關系，合理代數運算，巧妙化歸與轉化.從代數角度，綜合解三角形、三角函數、不等式、平面解析幾何等相關知識來分析與處理.

（2）幾何角度進行數形結合

利用平面幾何的直觀模型，以及題目條件中涉及的點、線、角的位置關系，數形結合，直觀想象；通過平面幾何圖形的旋轉、折疊、對稱、變形以及輔助線等的構建，合理尋找平面幾何圖形中蘊藏的點、邊或者角等元素之間的幾何關系與數據信息；利用直角三角形（或其他特殊的三角形等）以及平面解析幾何知識等加以邏輯推理、數形結合以及數學運算等綜合分析與求解.