促進建模的探究性 培養(yǎng)思維的深刻性

摘要：以基于數(shù)據(jù)分析的回歸模型建模活動為例，梳理思維型課堂的教學模式，包括創(chuàng)設(shè)情境與認知沖突、思維互動與自主構(gòu)建、梳理歸納與思維監(jiān)控、拓展提升與應用遷移四個教學的基本過程.以問題驅(qū)動學生思考，用計算機操作增強學生的動手能力，在小組合作研究中探尋模型檢驗和模型優(yōu)化的方法，強化學生思維的深刻性.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；數(shù)學建模；回歸分析；思維型課堂教學

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析［1］.這些核心素養(yǎng)既相對獨立、又相互交融，是一個有機的整體.如何培養(yǎng)學生的數(shù)學建模和數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)？統(tǒng)計部分的教學難度較大，如何在教學過程中啟發(fā)學生的深度思維并增強與信息技術(shù)的融合呢？本文中采取思維型課堂的教學模式，通過設(shè)置問題鏈和計算機Excel操作活動兩條主線來呈現(xiàn)具體的教學過程.培養(yǎng)思維的深刻性對學生學習數(shù)學、形成數(shù)學思維具有至關(guān)重要的作用，也是落實學生核心素養(yǎng)的有效途徑.

1 思維型課堂簡介

林崇德等［2］學者認為學生的思維活動是“思維型課堂”教與學的核心，且思維型課堂教學理論以聚焦思維結(jié)構(gòu)的智力理論為基礎(chǔ)，著眼于課堂教學中的思維活動，意在提高課堂的教學質(zhì)量.思維型課堂教學理論包括認知沖突、自主構(gòu)建、自我監(jiān)控和應用遷移四個方面的基本原理；提出了明確課堂教學目標，突出知識形成過程，聯(lián)系已有知識經(jīng)驗，重視非智力因素培養(yǎng)，訓練思維品質(zhì)以提高智力能力，創(chuàng)設(shè)良好的教學情境，分層教學、因材施教七個方面的課堂基本要求.

胡衛(wèi)平等［3］學者明確了思維是科學探究的核心，在科學探究活動過程中，教師需要激活并維持學生的思維，使學生產(chǎn)生強烈的求知欲，主動參與到與科學家相似的思維活動中，完成數(shù)據(jù)分析、建構(gòu)科學解釋等一系列邏輯上相連的實踐行為.

思維的深刻性是指思維活動的深度，指善于透過現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì)的思維品質(zhì)，表現(xiàn)為能深刻地理解知識.教學中，教師不僅要激發(fā)學生的學習興趣，更應該培養(yǎng)學生的思維能力，激發(fā)思維潛能.

2 基于思維型課堂的數(shù)學建模教學案例

本文中以人教A版“一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計”教學實踐為例，利用數(shù)學建模探索男大學生的身高和父親身高的關(guān)系，并借助計算機Excel軟件，求解相關(guān)的參數(shù)并作圖.本案例以問題為線索，以活動為指引，充分調(diào)動學生的興趣和自主學習能力，利用信息技術(shù)工具解決實際問題，通過小組合作的方式，增強數(shù)學建模的探究性，啟發(fā)學生進行深入思考.

2.1 教材分析

本節(jié)主要學習統(tǒng)計學知識，學習線性回歸模型的基本思想和方法，求解回歸直線的方程.一元線性回歸模型是統(tǒng)計學中的經(jīng)典模型，最小二乘法給出了參數(shù)估計的顯性表達式，體現(xiàn)出統(tǒng)計學從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再到形成參數(shù)估計的函數(shù)表達式的探索過程.模型分析和殘差分析是數(shù)學建模的重要環(huán)節(jié)，對學生理解模型和發(fā)展思維具有重要意義.

教學重點：數(shù)學建模過程的體驗，模型分析，殘差分析，Excel操作.

教學難點：用一元線性回歸方程解決實際問題，殘差分析，模型檢驗.

2.2 學情分析

學生在必修一已經(jīng)學習了數(shù)學建模的思想，了解了函數(shù)模型在數(shù)學建模中的應用，為本節(jié)課內(nèi)容的學習奠定了基礎(chǔ).在學習樣本相關(guān)系數(shù)時，補充上機用Excel軟件操作的內(nèi)容，為本節(jié)課的上機活動提供技術(shù)支持.學生已經(jīng)學習了一元線性回歸模型的建立與最小二乘法，會推導參數(shù)的最小二乘估計.

本節(jié)課學生將以數(shù)據(jù)為例體驗數(shù)學建模的全過程，并用Excel軟件求解參數(shù)和作圖，這對學生來說是個全新的挑戰(zhàn).

2.3 教學目標

（1）體會數(shù)據(jù)分析和數(shù)學建模的全過程，會分析和解釋一元線性回歸模型，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、邏輯推理和數(shù)學建模素養(yǎng);

（2）對模型進行殘差分析，形成模型優(yōu)化和拓展研究的思路，提升學生邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng);

（3）利用計算機Excel軟件求解相關(guān)參數(shù)并作圖，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析、邏輯推理、數(shù)學運算與數(shù)學建模素養(yǎng).

2.4教學過程

本節(jié)課由數(shù)學建模的流程展開，分為數(shù)據(jù)分析、模型建立、模型求解、模型分析、模型檢驗、殘差分析、模型優(yōu)化和拓展提升八個部分.根據(jù)思維型課堂的教學模式來呈現(xiàn)教學過程，即創(chuàng)設(shè)情境與認知沖突、思維互動與自主構(gòu)建、梳理歸納與思維監(jiān)控、拓展提升與應用遷移.

（1）創(chuàng)設(shè)情境與認知沖突

教學環(huán)節(jié)1：數(shù)據(jù)分析和模型建立

有人調(diào)查了14名男大學生的身高及其父親的身高，得到的數(shù)據(jù)如表1所示.

問題1 如何分析數(shù)據(jù)？怎樣建立數(shù)學模型？

活動1：用Excel畫出散點圖并計算樣本相關(guān)系數(shù).

設(shè)計意圖：學生分析數(shù)據(jù)處理的方法，先畫散點圖，再計算成對數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)，進而建立一元線性回歸模型Y=bx+a+e，E（e）=0，D（e）=σ2.

（2）思維互動與自主構(gòu)建

教學環(huán)節(jié)2：模型求解和模型分析

問題2 如何求解參數(shù)a，b？

活動2：用Excel算出a，b的最小二乘估計，并作出一元線性回歸直線.

設(shè)計意圖：讓學生回顧參數(shù)的最小二乘估計，經(jīng)過小組合作討論，用Excel編寫公式計算參數(shù)的最小二乘估計，或直接調(diào)用Excel中的函數(shù)畫圖，如圖1.

通過Excel軟件，計算求得=0.839x+28.957.

問題3 如果一位父親身高為176 cm，他兒子長大后身高一定能長到177 cm嗎？

追問3-1：經(jīng)驗回歸方程=0.839x+28.957中斜率的具體含義？

追問3-2：高個子的父親一定生高個子的兒子嗎？矮個子的父親一定生矮個子的兒子嗎？父親身高為多少時，長大成人的兒子的平均身高與父親身高一樣？

設(shè)計意圖：設(shè)置問題串，讓學生充分思考和分析建立的數(shù)學模型，發(fā)現(xiàn)后代身高向中間值靠近的趨勢.這正是高爾頓于1886年發(fā)表的文章《遺傳身高向平均身高的回歸》的核心思想.引導學生理解建立的數(shù)學模型，并發(fā)現(xiàn)自然界的回歸現(xiàn)象，由表及里，由淺入深，激發(fā)學生的深度思維.

問題4 一元線性回歸模型的作用？

追問4-1：世界自然生長第一高人——鮑喜順身高2.36 m，其父親身高1.8 m.如何用經(jīng)驗回歸方程=0.839x+28.957來解釋？

追問4-2：本節(jié)課的模型可以用于分析20世紀80年代我國父親和兒子身高的關(guān)系嗎？（1985—2019年間，中國男性的平均身高增加了8 cm，而中國19歲男性則沖向了1.75 m，位居東亞第一.）

追問4-3：利用該模型能預測10歲男孩的身高嗎？能用來描述美國父親與兒子身高的關(guān)系嗎？

設(shè)計意圖：理解一元線性回歸模型的作用及適用范圍.用中國人的身高數(shù)據(jù)為例，讓學生體會民族自豪感，也引發(fā)學生對數(shù)學模型應用的深刻反思.

（3）梳理歸納與思維監(jiān)控

教學環(huán)節(jié)3：模型檢驗和殘差分析

問題5 如何判斷一元線性回歸模型的優(yōu)劣？

活動3-1：用Excel畫出殘差的散點圖（如圖2）.

追問5-1：加入鮑喜順父子身高的殘差圖如圖3所示，如何分析殘差圖？

追問5-2：如圖4所示，哪個殘差滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定？

追問5-3：除了殘差圖的直觀分析，從數(shù)值角度，如何判斷一元線性回歸模型的優(yōu)劣？

預設(shè)：殘差平方和∑ni=1（yi-i）2與決定系數(shù)R2，當決定系數(shù)R2趨近1時，∑ni=1（yi-i）2越小，即模型的擬合效果越好.

活動3-2：用Excel計算殘差平方和與R2，并判斷一元線性回歸模型的優(yōu)劣.

活動3-3：用Excel的“數(shù)據(jù)分析”軟件包進行線性回歸分析.

設(shè)計意圖：對模型進行殘差分析，檢驗模型的擬合優(yōu)度.引導學生進行討論，從殘差圖和量化指標等進行多維度思考.通過同步上機活動的指引，學生用Excel畫殘差圖、編寫公式計算殘差平方和與決定系數(shù)、調(diào)用數(shù)據(jù)分析工具等，強化信息技術(shù)的操作.

（4）拓展提升與應用遷移

教學環(huán)節(jié)4：模型優(yōu)化和拓展研究

問題6 如何更準確地估計兒子身高？你能對上述模型進行優(yōu)化嗎？

設(shè)計意圖：啟發(fā)學生對模型進行優(yōu)化，引入母親身高的數(shù)據(jù)，可以設(shè)置“中親身高”，進行一元線性回歸分析.同時，啟發(fā)學有余力的同學進行二元回歸分析，或加入多個變量進行多元回歸分析，并做模型檢驗.利用殘差分析，對比模型的優(yōu)劣.通過多角度對模型的優(yōu)化，增強了學生對數(shù)學建模的探究性，也激發(fā)了科學探索的樂趣，強化了思維的深刻性.

拓展研究課題：①搜集本年級學生和父母親的身高數(shù)據(jù)，進行數(shù)學建模探究.②探究臂長，鞋子尺碼與身高之間的關(guān)系，能否幫助破案？

設(shè)計意圖：布置研究性學習的課題，讓學生親歷數(shù)學建模的全過程，鞏固所學知識，感受數(shù)學的樂趣并學以致用.

3 思維型課堂在數(shù)學建模教學中的啟發(fā)

一是應該選擇合適的情境和問題來進行數(shù)學建模教學，指向思維發(fā)展的教學目標是重點，激發(fā)思維動力的教學情境是關(guān)鍵，促進思維活躍的問題是驅(qū)動.

二是增強信息技術(shù)與數(shù)學建模活動的融合，契合思維發(fā)展的實踐活動是重點，探索分析環(huán)節(jié)注重小組討論和師生互動，促進數(shù)學建模的探究性，強化學生思維的深刻性.靈活協(xié)同自主學習與合作學習，支撐探究過程中學生的自主構(gòu)建.

三是善于引導學生對數(shù)學模型進行優(yōu)化和反思，樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神.啟發(fā)學生能夠自主發(fā)現(xiàn)待探索的問題，不斷提高實踐能力，提升創(chuàng)新意識，認識數(shù)學的科學價值和應用價值.

4 教學反思

本文中以“一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計”為例，初步探索了思維型課堂的教學模式.本節(jié)課的情境為探究兒子和父親身高的關(guān)系，設(shè)計了逐層遞進的問題鏈，并利用Excel進行數(shù)據(jù)分析，助力學生充分討論、積極思維、深入分析模型并做模型檢驗；最后，啟發(fā)學生對數(shù)學模型進行優(yōu)化.探究性問題貼近實際生活，使學生在運用所學知識解決實際問題時實現(xiàn)思維進階.注重思維動力的激發(fā)和思維深刻性的強化，通過問題引導和計算機操作，促進學生高階思維及數(shù)學應用能力的發(fā)展，有助于提升數(shù)學課堂的教學質(zhì)量.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］林崇德，胡衛(wèi)平.思維型課堂教學的理論與實踐［J］.北京師范大學學報（社會科學版），2010（1）：29-36.

［3］胡衛(wèi)平，郭習佩，季鑫，等.思維型科學探究教學的理論構(gòu)建［J］.課程·教材·教法，2021，41（6）：123-129.