淺析思維導圖在高中數(shù)學解題教學中的運用

摘要：解題的實質(zhì)是將問題進行轉(zhuǎn)化，那么在解題教學中，最重要的是要體現(xiàn)出問題轉(zhuǎn)化的過程.思維導圖是可視化的一種工具，它可以用于梳理知識，建立知識之間的聯(lián)系.同樣地，思維導圖也可以運用于數(shù)學解題教學.首先，思維導圖可以用來梳理題干中的信息，找出“未知”與“已知”之間的聯(lián)系，明確問題解決的起點；其次，思維導圖可以梳理解題思路，從眾多解題策略中選出最優(yōu)的，利于解題思路的形成與實施；最后，思維導圖可以引導學生進行反思，理解問題的本質(zhì)，使得解題不停留在題目本身，而是深入思考解題所涉及的思想方法.

關(guān)鍵詞：思維導圖；數(shù)學解題；解題教學

隨著課程改革的深入，教學越來越注重學生素養(yǎng)的發(fā)展，這要求教學需得以人為本，促進人的全面發(fā)展.數(shù)學是培養(yǎng)人的主要學科，而解題教學是數(shù)學教學的重要版塊，因此數(shù)學解題教學要促進學生能力的發(fā)展，那么解題教學就不能只關(guān)注“解”的教學，而更應關(guān)注如何讓學生在解題后有所收獲，理解解題本質(zhì)，即讓學生能理解問題的轉(zhuǎn)化過程.那如何讓問題轉(zhuǎn)化的過程被“看見”，使學生思維得到啟發(fā)呢？思維導圖作為可視化工具，可以使知識的呈現(xiàn)更加直觀，同樣地，思維導圖也可以讓解題可視化——明確解題的起點，凸顯解題的路徑，促進思維的發(fā)展.

1 以“圖”啟思，明確思維起點

學生不能順利解題，很多時候是因為沒能順利進行問題表征，找不到解題起點.在傳統(tǒng)的解題教學中，教師直接給出解題步驟，然后學生機械地將老師的解題步驟抄寫下來.在這種模式下，學生只能“知其然，不知其所以然”.思維導圖作為可視化工具被廣泛應用于教學領域，解題時教師可以利用思維導圖引導學生梳理題干條件，弄清問題，明確解題的起點，使問題順利得到解決.

例1 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知a=4，c=6，cos C=16，求A.

分析：該題主要考查解三角形的相關(guān)知識.學生在解題時不知到底該運用正弦定理還是余弦定理，不能明確找出解題起點.在解題教學過程中不妨利用魚骨圖，幫助學生梳理解題目標與題干條件.首先，明確解題目標是求角A，將其繪制在魚頭的位置；然后通過分析可知，要求角A只需求解出角A的正弦值或余弦值，很快就能想到用正弦定理或者余弦定理解題，將其繪制在主魚骨的位置；具體選擇正弦定理或者余弦定理還需結(jié)合定理使用的條件，于是在正弦定理和余弦定理的后面繼續(xù)繪制使用條件；最后觀察題干給出的條件為兩邊一角，并且這個角為邊c的對角，符合正弦定理的使用條件，將其繪制在魚尾處.在解題教學中教師可以借助魚骨圖——思維導圖的一種，如圖1，使學生更加直觀地感受問題的轉(zhuǎn)化過程，以及題干條件的梳理過程，迅速找出解題的切入點，并順利解決問題.

2 以“圖”成徑，凸顯思維路徑

高考評價體系是基于國家人才戰(zhàn)略的系統(tǒng)性人才選拔體系，是新時代高考改革和命題工作的理論支撐和實踐指南.新時期高考改革的重要特征就是從能力立意到素養(yǎng)導向的轉(zhuǎn)變.高考題中出現(xiàn)的結(jié)構(gòu)不良問題，其主要特征有條件模糊、解決方案多樣、結(jié)果開放等［1］.結(jié)構(gòu)不良問題比結(jié)構(gòu)良好問題更能考查學生的數(shù)學素養(yǎng)，需要學生在眾多解題策略中挑選出更優(yōu)的，更便于執(zhí)行的策略.因此，學生想要順利解決結(jié)構(gòu)不良問題需多角度把握問題本質(zhì)，在策略制定和選擇時需要進行元認知監(jiān)控，明確每種策略背后的思維路徑，進而選取最優(yōu)路徑.但是，學生在遇到多種解題策略時容易舉棋不定，陷入糾結(jié)，讓時間白白流失.而思維導圖就可以很好地幫助學生梳理、制定并選擇解題策略.在遇到結(jié)構(gòu)不良問題時，首先，可以快速列舉出可能的解題策略，而后利用思維導圖快速思考每一種解題策略下的思維路徑，最后，在思維導圖的基礎上利用元認知監(jiān)控擇決出最優(yōu)策略.

例2 已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和.從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另一個成立.

①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列；

③a2=3a1.

分析：例2是一個結(jié)構(gòu)不良問題，借助數(shù)列考查學生的數(shù)學素養(yǎng).該題一共有三種方案供學生選擇.在剛拿到題目時學生很容易陷入三種解題策略的選擇困境中，最后常常按照經(jīng)驗隨便選擇①和②作為條件推導③，但這個解題策略是三個方案中最難的.學生實施遇到困難時，又選擇其余兩種方案解題，白白浪費解題時間.因此，在解題教學過程中要引導學生通過繪制簡易的思維導圖，分析結(jié)構(gòu)不良問題不同解題策略之間的差異，找到最優(yōu)的方案.首先，要梳理解決這個問題的策略有哪幾種，分別將選擇策略羅列出來；然后逐個簡單分析每個策略下的解題路徑，加以比較找出最優(yōu)解題路徑（如圖2）.

3 以“圖”反思，促進思維發(fā)展

正如波利亞在《怎樣解題》中指出的，執(zhí)行計劃之后還要進行回顧與反思.筆者認為，在解題教學過程中，回顧與反思不僅僅是對答案的反思，更重要的是引導學生思考這個題是否還有其他的解答方法，這個題的解題策略是否適用于其他的題，等等.同時，還需要引導學生反思自己是否掌握了本題考查的核心知識點，是否熟悉解題過程中所涉及的思想方法.利用思維框圖可以很好地對知識進行總結(jié)，建立知識網(wǎng)絡，因此，教師應引導學生利用思維導圖對題目進行回顧與反思，以達到觸類旁通、舉一反三.通過構(gòu)建思維導圖，可以加強知識的聯(lián)系，

促進學生對解題策略的深刻理解，加深對思想方法的認識.

例3 已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且∠F1PF2=60°，PF1=3PF2，則C的離心率為（" ）.

A.72

B.132

C.7

D.13

分析：該題考查圓錐曲線的相關(guān)知識，難度不大，但是教師在解題教學時不應停留在“解題”層面，應引導學生展開聯(lián)想，借助過去的“陳題”進行分析與拓展延伸，完善學法歸納，提升學生解題能力.借助思維導圖回顧此題的解題過程，思考該題背后的本質(zhì)，提煉解題背后的數(shù)學思想方法.比如在此題中，涉及的基本知識有雙曲線的性質(zhì)、余弦定理，教師應借助思維導圖引導學生反思：圓錐曲線和解三角形的相關(guān)知識是否已熟練掌握？涉及到的數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法是否理解？此題的解題策略是否適用于其他類型的題？教師可以引導學生針對自己薄弱點，繪制相應的思維框圖（如圖3）進行查漏補缺.

4 結(jié)論

波利亞曾在《怎樣解題》中提出：解題就是問題的轉(zhuǎn)換.波利亞將解題分為四個步驟——弄清問題、擬定計劃、執(zhí)行計劃、回顧反思［2］.那么，學生解題失敗可能是其中的某一步驟出錯.解題教學一方面需要糾正學生錯解，另一方面要促進學生思維的發(fā)展.為了促進學生思維的發(fā)展，首先得讓正確的解題路徑“可視化”，這里的可視化并不是指將解題步驟板書出來，而是將思維過程直觀地呈現(xiàn)出來.思維導圖是20世紀60年代由托尼·巴贊創(chuàng)造的一種筆記方法，是可視化的一種工具.不妨將思維導圖運用于數(shù)學解題教學中，使得看不見摸不著的解題思維可視化，明確問題解決的切入點，凸顯問題解決的路徑，促進學生的反思從而促進思維的發(fā)展，激發(fā)學生的想象力和創(chuàng)造力［3］.

參考文獻：

［1］任子朝，趙軒.數(shù)學考試中的結(jié)構(gòu)不良問題研究［J］.數(shù)學通報，2020，59（2）：1-3.

［2］波利亞.怎樣解題［M］.涂泓，馮承天，譯.上海：上海科技教育出版社，2002：5-6.

［3］趙國慶，黃榮懷，陸志堅.知識可視化的理論與方法［J］.開放教育研究，2005（1）：23-27.