近五年高考全國卷三角試題分析與備考建議

摘要：從近幾年的高考數學全國卷中對三角知識的考查情況來看，該考點的考查趨于平穩．基于近五年高考三角試題的統計分析與研究，總結出命題特點以及命題趨勢，最后提出相應的備考建議．

關鍵詞：高考數學；三角函數；試題分析；備考建議

1 問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》中指出三角函數是函數主線中的單元之一［1］，也是普通高中數學課程內容的必修部分，與解析幾何、代數、向量等知識點有著密切的聯系，在學生的學習中起著至關重要的作用．《高考數學全國統一考試大綱》每年對三角知識的考查主要集中在三角知識的圖象及性質、三角恒等變換及誘導公式、解三角形等．從分值、題型、考查內容上看，三角考點在近五年的高考數學全國卷中趨于平穩．本文中統計了近五年高考數學全國卷中有關三角知識的試題，并在分析其命題特點的基礎上給出相對應的備考建議．

2 近五年三角試題統計與分析

2.1 2018-2022年高考試卷中“三角”試題統計

自2017年使用新課標卷開始，2018—2020年每年全國高考卷包括新課標Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ卷（分文、理）共6套；2021和2022年新課標Ⅰ，Ⅱ卷（不分文、理）使用后，加上全國甲、乙卷（分文、理）一共6套卷，本文中對近五年的共30套高考試卷的三角題進行分析．概覽這些高考卷，不難發現每套試卷中都有對三角知識的考查.現將30套試卷中考查三角知識的試題按照年份、分值、考查題量及考查內容進行統計，結果如表1，2所示．

2.2 考查分值與知識點分析

總覽近五年的全國高考卷，從分值上看，每套試卷分值在10～17分之間較為常見，值得一提的是，個別卷超過30分，就考查形式而言，主要集中在填空、選擇題，解答題偶考.就考查內容而言，一是以客觀題的形式考查三角函數的性質和圖象、公式的應用；二是以非客觀題的形式綜合考查，如解三角形等問題．

2.3 命題特點

綜合以上統計情況，不難發現高考數學關于三角部分的命題特點：（1）考查分值較為穩定，在15分左右，每年會有個別卷分值高達30分；（2）考查難度有所上升，需要考生靈活應用知識；（3）三角函數的圖象及性質、三角恒等變換、解三角形是每年高考卷的必考考點；（4）三角函數的隱形考查也逐漸顯現，如2022年新高考Ⅱ卷的第12題，若能借助三角函數知識解答能將復雜的問題簡單化．

3 2022年高考三角部分試題與評析

近五年高考數學全國卷對三角知識的考查主要體現在以下四個方面：（1）基于數形結合的思想方法進行考查，作出三角函數的圖象并對此進行分析，探究三角函數的的圖象特點及其性質；（2）基于已學的三角公式，創設試題情境，考查學生靈活運用公式解決問題時能力；（3）從真實情境出發進行考查，以解三角形為建模突破點，發揮三角函數的工具性作用；（4）體現思維深度，重點考查學生的創新意識［2］.2023年高考數學三角函數知識的復習要注意以下幾個問題．

3.1 三角函數的圖象及性質

根據解析式研究三角函數的性質、根據圖象和性質確定三角函數的解析式、圖象變換問題、值域問題以及與平面向量相結合的綜合問題是高考試題對三角函數的圖象和性質命題的主要方向．

例1 （2022新高考Ⅰ卷第6題）記函數f（x）=sinωx+π4+2（ω＞0）的最小正周期為T．若2π3＜T＜π，且y=f（x）的圖象關于點3π2，2中心對稱，則fπ2=（" ）．

A.1

B．32

C．52

D．3

解：由題意知32ωπ+π4=kπ（k∈Z），則ω=23k-16.又2π3＜T＜π，由ω＞0，得ω∈（2，3），即23k-16∈（2，3）.所以k∈134，194，k∈Z，得k=4，ω=52.因此可以求得fπ2=sin 3π2+2=1．故選項A正確．

評析：此題主要考查學生對三角函數圖象及性質的理解，在選擇題第6題的位置，屬基礎題，但因為要兜轉來回計算，考試中學生容易煩躁.對于此類題目，要細心耐心計算，方能選出正確選項．

3.2 三角恒等變換及誘導公式

高考題中關于三角恒等變換的考查主要有順用或逆用三角公式及其變形、拆湊角問題、常值代換及輔助角公式的使用等．

例2 （2022新高考Ⅱ卷第 6題）角α，β滿足sin （α+β）+cos （α+β）=22cos α+π4sin β，則（ ""）．

A.tan（α+β）=1

B.tan（α+β）=-1

C.tan（α-β）=1

D.tan（α-β）=-1

解法1：設β=0，則sin α+cos α=0，取α=3π4，即可排除選項A，C.

再取α=0 ，則sin β+cos β=2sin β，取β=3π4，可排除選項B.故選項D正確．

解法2：

sin（α+β）+cos（α+β）

=2sinα+β+π4

=2sin［α+π4+β］

=2sinα+π4cos β+2cosα+π4sin B

所以，2sinα+π4cos β=2cosα+π4sin β．

整理，得sinα+π4-β=0.

展開，得22sin（α-β）+22cos（α-β）=0．

所以tan（α-β）=-1．故選項D正確．

評析：本題主要考查學生順用、逆用三角公式以及誘導公式的能力．解法1利用了選擇題的特點，有技巧地使用特殊值法分別賦值α，β，再進行計算；解法2是通過等量關系逐步求解答案，是大多數學生能夠想到的常規解法．

3.3 解三角形

解三角形側重于對公式定理的靈活運用，主要題型有：三角形中的求值、最值或范圍問題，解三角形的實際應用等 ．

例3 （2022全國乙卷理第17題）記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c ，已知sin（A-B）＼5sin C=sin （C-A）sin B．

（1）證明：2a2=b2+c2；

（2）若a=5，cos A=2531，求△ABC的周長．

解：（1）證明：由sin Csin（A-B）=sin Bsin（C-A），得sin Csin Acos B-sin Ccos Asin B

=sin B＼5sin Ccos A-sin Bcos Csin A.

由正弦定理，可得accos B-bccos A=bccos A-abcos C，

即accos B=2bccos A-abcos C.

由余弦定理，可得ac·a2+c2-b22ac= 2bc·b2+c2-a22bc-ab·a2+b2-c22ab.

即可得證2a2=b2+c2．

（2）由（1）可知b2+c2=2a2=50，則cos A=b2+c2-a22bc=50-252bc=2531，

解得2bc=31．

所以b2+c2+2bc=（b+c）2=81，則b+c=9，因此a+b+c=14．

故△ABC的周長為14．

評析：此類解答題在高考卷中較為常見，一般位于第17，18題的位置，難度中等.這類題目的關鍵是結合正弦、余弦定理及三角形面積公式等的運用來解三角形．

4 備考建議

高考關于三角知識的考查比重較大、難題較少．但從2022年的三角考題來看，題目的靈活性及難度均有所提升．

4.1 夯實基礎知識，掌握通性通法

考生要重視對三角知識的理解和掌握．如重視對三角函數定義的理解、重要公式的推導過程、特殊角的三角函數值的記憶等［3］．三角公式記憶模糊或者不準確導致這部分試題失分是許多考生的痛點．在高三復習中，不僅要牢固記憶三角公式，而且要非常熟練

三角公式的推導方法．要讓學生認識到推導三角公式的方法就是解三角問題的通性通法．此外，學生應掌握三角函數變換的定義法、化一法、變角法、降冪法、升冪法，解三角形的邊化角、角化邊等通性通法．

4.2 加強專題訓練，提升核心素養

三角問題對“數學運算”核心素養的要求較高［4］，數學運算并不等同于簡單的數字計算以及簡單的加減乘除，它是解決問題的基本手段．在備考過程中，考生應有意識地提高自己的“數學運算”素養，明確學習目的，可以采用專題的形式練習三角的相關運算，在解題過程中反思總結、融會貫通，從會解一道題到能解一類題．

4.3 注重數形結合，把握思想方法

數形結合是數學學習的一種重要思想方法，如果能夠結合三角函數的圖象進行思考、分析，那么可以更高效地解答題目，因此在解答時能準確地描繪三角函數的圖象是最基本的要求，同時也應該對圖象變換的技巧有一定的把握.在三角函數的復習過程中，考生要深刻體會數形結合思想方法，做到“以形助數，以數思形”．應注重感悟和理解題目中蘊含的數學思想，把握解題的核心，遷移思想方法［5］．

4.4 重視三角應用，增強遷移能力

三角作為高中數學重要的工具性知識，常常與向量、不等式、解析幾何、立體幾何等內容綜合考查．這類題目屬于綜合應用題，考查的形式多樣，一般需要學生會用三角的眼光去抽象、分析并解決實際情景或非三角的數學問題，特別是利用正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式去解決求角、求距離等問題，這些公式的變式也是復習的重點.有意識地與其他內容聯系起來復習有利于學生建構知識的內在聯系．

三角函數在函數知識內容中占比較大，高考數學全國卷的選擇題具有概念性強、數形兼備以及解法多樣等特點，注重對學生雙基的考查；解答題側重考查學生的邏輯思維能力、分析問題和解決問題的能力，考生應細致分析、冷靜思考，避免“會而不對、對而不全”的情況．在整個高考備考過程中，考生要夯實基礎知識，牢固掌握概念公式；準確記憶公式，靈活應用變換；注重數形結合，感悟思想方法；能將三角函數知識與其他知識聯系，綜合解決問題．

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020．

［2］陳昂，任子朝，趙軒.高考中三角函數內容考查研究［J］.數學通報，2018，57（10）：44-47.

［3］夏春南.高三三角函數復習策略實驗研究［J］.數學通報，2017，56（3）：27-31，36.

［4］邱婉珠，周仕榮.從“三角與三角函數”考點看高考中的“數學運算”核心素養——以2016-2019四年高考理科全國卷Ⅰ卷為例［J］.數學通報，2020，59（2）：49-54.

［5］樊紅玉，李紅霞，趙思林.2020年高考三角函數試題評析與備考建議［J］.中學數學，2021（5）：21-23，97.