函數單調性與最值問題的探究

1 引言

函數的單調性和奇偶性是函數的基本性質.常見的函數單調性的求法有：①定義法；②圖象法；③導數法.還有一些與函數單調性有關的結論：若函數f（x），g（x）均為增（減）函數，則f（x）+g（x）為增（減）函數；若f（x）為增（減）函數，則－f（x）為增（減）函數;若函數f（x）為增（減）函數且f（x）gt;0，則1f（x）為減（增）函數，f（x）為增（減）函數；互為反函數的兩函數具有相同的單調性.求函數的最值時，若函數在某連續閉區間上單調，則其最值在兩端點處取得；分段函數的最值需要討論；含參函數求最值時，更能培養學生的數學思維能力和應用意識，也是函數知識中的重點和難點.

2 例題解析

例1 函數f（x）＝ax在［0，1］上的最小值與最大值的和是3，求a的值為（" ）.

A.12

B.2

C.4

D.14

分析：指數函數的單調性由底數決定，f（x）的解析式中底數為參數a，而a的變化影響函數f（x）的單調性，需分類討論；根據函數在連續閉區間上單調時，其最值在兩端點處取得，按條件去求最值.

解法1：分類討論法.

①若agt;1時，f（x）在［0，1］上單調遞增.所以當x＝0時，f（x）有最小值1；當x＝1時，f（x）有最大值a.由題意得1＋a＝3，即a＝2.

②若0lt;alt;1時，f（x）在［0，1］上單調遞減.所以當x＝0時，f（x）有最大值1；當x＝1時，f（x）有最小值a.

由題意得a＋1＝3，即a＝2，與0lt;alt;1矛盾.

故選：B.

解法2：當agt;0且a≠1時，y＝ax是R上的單調函數，所以其最值在x∈［0，1］的兩個端點取得，必有1＋a＝3，所以a＝2.故選項B正確.

點評：本題考查指數函數的單調性和單調閉區間上的最值問題.只要熟練掌握指數函數的性質，對含參數的底數分類討論即可得到結果.本題的關鍵是對單調性和最值的理解.

例2 已知f（x）=ax，xgt;1，4－a2x+2，x≤1是R上的單調遞增函數，則實數a的取值范圍為（" ）.

A.（1，8）

B.［4，8）

C.（1，＋∞）

D.（4，8）

分析：本題考查分段函數的單調性，其中一段是指數函數，另一段是一次函數.給出分段函數為增函數，所以函數在每一段上應該也是增函數，同時注意分段處的函數值，把參數a求解出來即可.

解：因為題意f（x）是R上的單調遞增函數，所以f（x）＝ax在（1，+∞）上單調遞增，即agt;1；

由f（x）＝4－a2x+2在（-∞，1］上單調遞增，

可得4－a2gt;0，則alt;8；

又由f（x）在R上單調遞增，得a≥4－a2+2，

即a≥4.

綜上，4≤alt;8.故選項B正確.

點評：本題考查分段函數的單調性，根據給出的條件分別討論每一段的單調性，再去處理端點函數值的大小，是常規方法的訓練，提升學生對單調性的進一步理解.本題也可以用排除法.

當a＝2時，有f（1）＝5gt;4＝f（2），不符合f（x）在R上單調遞增，所以排除A，D.

當a＝10時，f（x）=-x+2在（-∞，1］上單調遞減，不符合題意，故排除C.對于選擇題來說，很多時候排除法能更快地選出答案.此題也是對學生解題技巧的培養.

例3 若函數f（x）＝x3－6ax的單調遞減區間為（－2，2），則a的取值范圍為（" ）.

A.（－∞，0］

B.［－2，2］

C.{2}

D.［2，＋∞）

分析：本題用定義法求解比較困難，可以采用導數法.要根據給出的單調區間對參數a進行分類討論，最終確定a的取值.

解：由f（x）＝x3－6ax，得f′（x）＝3x2－6a.

①若a≤0，則在區間（－2，2）上f′（x）≥0，

所以f（x）單調遞增，不符合題意.

②若agt;0時，由f′（x）＝0，解得x＝±2a.

當xlt;－2a，或xgt;2a時，f′（x）gt;0，f（x）單調遞增；

當－2alt;xlt;2a時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減.

所以f（x）的單調減區間為（－2a，2a）.

由題意，得2a＝2，即a＝2.故選項C正確.

點評：本題考查了用導數法求函數的單調區間，并對參數a進行分類討論.其中，f（x）的單調遞減區間是（－2，2）與f（x）在（－2，2）上單調遞減不同，應加以區分.所以本題還可以轉化為x＝±2是方程f′（x）＝3x2－6a＝0的兩個根，進而解得a＝2.通過本題的練習，加深學生對函數單調性的理解，也提升學生的學科素養.

例4 函數y=log13（x2－3x）的單調遞減區間為""" .

分析：本題為復合函數單調區間的求解，注意函數復合時定義域的變化.函數是y=log13t，t＝x2－3x復合得到的，分別判斷它們的單調性，再根據定義域和復合函數的單調性相關知識即可解決.

解：設y=log13t，t＝x2－3x，

則由tgt;0，解得xlt;0，或xgt;3.所以函數y=log13（x2－3x）

定義域為（－∞，0）∪（3，＋∞）.

因為二次函數t＝x2－3x的對稱軸為x＝32，所以此函數在（－∞，0）上單調遞減，在（3，＋∞）上單調遞增.

而函數y=log13t為單調遞減函數，

則根據復合函數單調性可知，函數y=log13（x2－3x）的單調遞減區間為（3，＋∞）.

點評：本題是對復合函數單調性的考查，首先應該弄清楚這個函數是哪幾個基本函數復合而來的，以及這些函數復合時定義域的變化，從而得出復合函數的定義域；清楚每個基本函數的單調性后，再根據復合函數的單調性求解.培養學生的數學思維能力和解題能力，提升學生對學科解題策略的認知.

例5 已知對任意x，y∈R函數y=f（x）均有f（x）+f（y）=f（x+y）；當xgt;0時，f（x）lt;0，f（1）=－23.

（1）證明：f（x）為奇函數；

（2）判斷并證明f（x）在R上的單調性；

（3）求f（x）在區間［－3，3］上的最值.

分析：本題為函數單調性的判斷與抽象函數的應用.先找特殊值x＝y＝0，求出f（0），再由y＝－x，得f（x）為奇函數；根據函數單調性的定義證明f（x）為單調減函數；最后由f（x）為單調函數，即可求得f（x）在區間［-3，3］上的最值.

證明：（1）令x＝y＝0，得f（0）＝0；令y＝－x，可得f（－x）＝－f（x），所以f（x）為奇函數.

（2）f（x）在R上是單調遞減函數.

證明：在R上任取x1，x2且x1lt;x2，則x2－x1gt;0.結合函數f（x）為奇函數，可得

f（x2）－f（x1）=f（x2）+f（－x1）=f（x2－x1）.

又因為xgt;0時，f（x）lt;0，所以

f（x2－x1）lt;0.

即f（x2）lt;f（x1）.

故由定義可知f（x）在R上為單調遞減函數.

（3）由f（x）在R上是減函數，可知

f（x）在［－3，3］上也是減函數，則f（－3）最大，f（3）最小.

由f（3）＝f（2）＋f（1）＝f（1）＋f（1）＋f（1）＝3×－23＝－2，

得f（－3）＝－f（3）＝2.

故f（x）在［－3，3］上最大值為2，最小值為－2.

點評：特殊值賦值法是解決抽象函數問題的關鍵.在求解抽象函數時經常會出現形如“f（x＋y）＝f（x）＋f（y）”“f（x·y）＝f（x）＋f（y）”等形式，解題過程中需注意三點.一是抽象函數的定義域，二是利用函數的奇偶性活用抽象函數符號“f”前的“負號”，三是利用函數單調性去掉函數符號“f”.學生對函數的理解進一步升華，應變能力和抽象能力以及學科素養等大力提升.

3 方法歸納

（1）有關指數函數最值題型：①需分類討論，確定函數的單調性；

②當函數在連續閉區間上單調時，其最值在區間兩端點處取得；③按條件去求最值.

（2）分段函數單調性題型：①分清每段分別是哪類函數；②討論每一段上函數的單調性與整體的關系；③討論分段處的函數值；④求解參數.

（3）函數單調性與導數題型：①求原函數的導函數；②討論導函數函數值大于0的情況，可以按f′（x）＝0來分區間；③求解參數.

（4）復合函數單調性題型：①分清原函數是由哪些初等函數復合而成的；②求各初等函數的單調性；③根據復合函數性質求單調性.

（5）抽象函數題型：①找特殊值，如x＝y＝0，y＝－x等，確定相關的值；②再根據函數的單調性定義來研究抽象函數的單調性，注意使用其中的特殊值；③結合單調性求最值.

4 結語

函數的單調性與最值問題涉及知識面廣，對能力的要求也高.因此要首先要熟練掌握初等函數的性質，再尋求答題技巧和答題方法，多練習，加強對抽象函數的理解和掌握，以及函數與不等式、分段函數等知識的銜接，迅速提升解題策略和學科素養.