基于曲線方程的直線斜率和與積處理的一種通法

摘要：根據近幾年全國數學高考Ⅰ卷解析幾何解答題命題特點，主要研究圓錐曲線中因直線運動而產生的斜率和與積的相關問題，通過對此類問題的研究，找到解決此類問題明確有效的方法.

關鍵詞：圓錐曲線；斜率；一元二次方程

數與形是數學中兩大基本概念，可以說數學知識大體上都是圍繞這兩個基本概念的提煉、演變和發展而展開的，而高中數學解析幾何部分更是如此，因為解析幾何的本質就是用代數的方法來研究幾何問題.縱觀新高考近三年的試題，不難發現有關直線斜率和與積的相關問題是考查的熱點.本文中用齊次化聯立的方法揭示解析幾何中直線斜率和與積問題的本質，用“數”準確澄清“形”的模糊，用“形”直觀啟迪“數”的運算，形成對此類問題明確有效的一般結論，以形成此類問題統一的解決方法和思路.

1 兩個結論

結論1 設A（x0，y0）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上一定點，AP，AQ為橢圓的任意兩弦，kAP，kAQ分別為AP，AQ所在直線的斜率，則當kAP+kAQ=t（t為定值）時，直線PQ過定點x0-2ty0，-2b2a2tx0-y0，或kPQ=b2x0a2y0，或直線PQ垂直于x軸.

證明：設直線PQ的方程為m（x-x0）+n（y-y0）=1（m，n∈R）.

橢圓C的方程可化為

b2［（x-x0）+x0］2+a2［（y-y0）+y0］2-a2b2=0，整理得

b2（x-x0）2+a2（y-y0）2+2b2x0（x-x0）+2a2y0（y-y0）=0，則

b2（x-x0）2+a2（y-y0）2+［2b2x0（x-x0）+2a2y0（y-y0）］［m（x-x0）+n（y-y0）］=0.

設k=y-y0x-x0，則有（a2+2a2y0n）k2+2（b2x0n+a2y0m）k+（b2+2b2x0m）=0.

故kAP+kAQ=-2（a2y0m+b2x0n）a2（1+2y0n）=t.

（Ⅰ）當t=0時，若直線PQ的斜率存在，即n≠0時，kPQ=-mn=b2x0a2y0；當n=0時，顯然直線PQ垂直于x軸.

（Ⅱ）當t≠0時，則有ta2（1+2y0n）+2（a2y0m+b2x0n）=0，化簡得

m-2ty0-n2b2x0a2t+2y0=1，即mx0-2ty0-x0+n-y0-2b2x0a2t-y0=1.

所以直線PQ過定點x0-2ty0，-2b2a2tx0-y0.

結論2 設A（x0，y0）是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）上一定點，AP，AQ為雙曲線的任意兩弦，kAP，kAQ分別為AP，AQ所在直線的斜率，則當kAP+kAQ=t（t為定值）時，直線PQ過定點x0-2ty0，-2b2a2tx0-y0，或kPQ=-b2x0a2y0，或直線PQ垂直于x軸.

結論2的證明同結論1.

2 結論應用舉例

例1 （2022年全國新高考Ⅰ卷第21題節選）已知點A（2，1）在雙曲線C：x2a2-y2a2-1=1（agt;1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0.求l的斜率.

解析：易知雙曲線C：x22-y2=1，由結論2可知直線l的斜率kl=-1.（具體解答過程在此省略.）

例2 （2021年全國新高考Ⅰ卷第21題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），四點P1（1，1），P2（0，1），P3-1，32，P41，32中恰有三點在橢圓C上.

（1）求C的方程；

（2）設直線l不經過點P2且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

解析：（2）由（1）知，橢圓C：x24+y2=1，由結論1可知直線過l定點（2，-1）.（具體解答過程在此省略.）

3 結論推廣

將上述結論推廣到拋物線有：

結論3 設點A（x0，y0）為拋物線C：y2=2px上一定點，AP，AQ為拋物線的任意兩弦，kAP，kAQ分別為AP，AQ所在直線的斜率，則當kAP+kAQ=t（t為定值）時，直線PQ過定點x0-2ty0，2pt-y0，或kPQ=-y0p，或直線PQ垂直于x軸.

還可以得到斜率和的更多結論以及與斜率積有關的類似結論：

結論4 設A（x0，y0）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上一定點，AP，AQ為橢圓的任意兩弦，α1，α2分別為AP，AQ所在直線的傾斜角，且所在直線斜率存在分別為k1，k2，則當k1k2=tan α1tan α2=t（t為定值）時，直線PQ過定點a2t+b2a2t-b2x0，-a2t+b2a2t-b2y0，或kPQ=-y0x0，或直線PQ垂直于x軸.

結論4應用舉例 （2020全國新高考Ⅰ卷22題）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）的離心率為22，且過點A（2，1）．

（1）求C的方程：

（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得DQ為定值．

解析：（1）略.

（2）由（1）知橢圓方程為x26+y23=1.

由結論4知直線MN過定點P23，－13.

令Q為AP的中點，即Q43，13，若點D與P不重合，則由題設知AP是Rt△ADP的斜邊，所以DQ=12|AP|=223.若點D與P重合，也滿足|DQ|=12|AP|.故存在點Q43，13，使得DQ為定值.

結論5 設點A（x0，y0）是橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）上一定點，AP，AQ為橢圓的任意兩弦，α1，α2分別為AP，AQ所在直線的傾斜角，則當α1+α2=θ（θ為定值）時，直線PQ過定點a2+b2a2-b2x0-2a2（a2-b2）tan θy0，-2b2（a2-b2）tan θx0-a2+b2a2-b2y0或

a2+b2a2-b2x0，-a2+b2a2-b2y0，或kPQ=b2x0a2y0，或直線PQ垂直于x軸.

結論6 設A（x0，y0）是雙曲線C：x2a2-y2b2=1（agt;0，bgt;0）上一定點，AP，AQ為雙曲線的任意兩弦，α1，α2分別為AP，AQ所在直線的傾斜角，且所在直線斜率存在分別為k1，k2，則當k1·k2=tan α1·tan α2=t（t為定值）時，直線PQ過定點a2t-b2a2t+b2x0，-a2t-b2a2t+b2y0，或kPQ=-y0x0，或直線PQ垂直于x軸.

再將上述定理推廣到拋物線有：

結論7 設A（x0，y0）是拋物線C：y2=2px上一定點，AP，AQ為拋物線的任意兩弦，kAP，kAQ分別為AP，AQ所在直線的斜率，則當kAP·kAQ=t（t為定值）時，直線PQ過定點x0-2ty0，2pt-y0，或kPQ=-y0p，或直線PQ垂直于x軸.

4 延伸與啟示

基于斜率和與積問題統一的解決方法和思路，通過橢圓和雙曲線第三定義，亦可將斜率商的問題轉化為符合我們探求的幾何模型，進而推證直線過定點等相關問題（如2020年全國卷1）.

因此，在平時的教學活動中，教師要有意識地引導學生學會探索、歸納、梳理、總結圓錐曲線中的一些典型問題，以不變應萬變，切實提高學生的解題能力與信心，從而鞏固“四基”和提升“四能”.