閱讀理解題的基本類型與破解策略

閱讀理解題是新高考中借助創新情境給出的一類創新應用問題.借助一個新概念，或一個新運算，或一個新的問題情境，或一種新的材料創設等，巧妙將數學、生活生產中的新舊知識等加以聯系，透過現象看問題本質，有效實現新信息從已知的基本知識、方法等方面進行合理的遷移，從而達到創新與應用的目的.此類題型可以巧妙融合數學基本知識、思想方法和能力，很好地考查學生的閱讀理解能力、應用問題與數學語言的轉換能力、探究能力、創新意識與創新能力等.

1 新概念問題

新概念類閱讀理解題是指在現有的知識基礎上定義一種新的概念或運算或規則或性質等，在此情境下設置的新問題.此類試題是典型的信息遷移題，解決該類問題的關鍵是提升學生的閱讀理解能力、獲取信息能力、處理信息能力，以及挖掘新規則內涵、準確找出新特點的能力.

例1 ［2021年普通高等學校招生全國統一考試模擬演練（八省聯考）數學·20］北京大興國際機場（如圖1）的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.其中借助創新概念——曲率來刻畫空間的彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角

（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制）

之和的差，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.

例如：正四面體有4個頂點，4個面，每個面都是正三角形（或在每個頂點有3個面角，每個面角是π3），所以正四面體的總曲率為4×2π-4×π=4π.

（1）試求四棱錐的總曲率；

（2）若多面體滿足頂點數-棱數+面數=2，證明：這類多面體的總曲率是常數.

分析：結合新概念“空間彎曲性”——曲率，借助閱讀理解，能夠正確讀懂“曲率”的概念，以及合理應用幾何學中的歐拉公式V-E+F=2，這是解決問題的關鍵所在.題目難度中等，涉及面廣，對閱讀理解能力、邏輯推理能力以及空間想象能力等有比較高的要求.

解析：（1）根據四棱錐的空間幾何特征，可知其共有5個頂點和5個面（其中4個側面為三角形，1個底面為平面四邊形），

所以所求的四棱錐的總曲率為5×2π-（4×π+1×2π）=4π.

（2）假設對應的多面體的頂點數為V，棱數為E，面數為F，則結合題目條件可得V-E+F=2，

而對應多面體的所有面的內角之和等于2E×π-F×2π，

所以所求的多面體的總曲率為V×2π-（2E×π-F×2π）=（V-E+F）×2π=4π.

因此，這類多面體的總曲率恒是常數4π.

點評：本題通過新聞背景來巧妙創新設置，以北京大興國際機場的建成投入以及特殊造型為創新情境，巧妙結合創新概念以及大學微分幾何知識背景，合理融合了中學與大學的數學知識、數學方法.正確閱讀理解新概念是破解問題的基本前提.

2 新情境問題

新情境類閱讀理解題多以現代科學技術、現實生活、學科間的交匯、社會熱點等為背景創設，旨在突出新時代教育總方針——立德樹人.正確解答這類問題的關鍵是認真閱讀、理解題意，快速準確地獲取信息，理性思維，排除題目背景中的干擾因素，抓住關鍵信息，實現數學思想、方法、能力的遷移運用.

例2 （2021年陜西省寶雞市眉縣高考數學模擬試卷）在5G技術方面，中國已經走在世界前列，其中一個重要的數學原理就是著名的香農公式：C=W＼5log21+SN.該公式闡述了在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，而SN叫做信噪比，其中S表示信道內信號的平均功率，N表示信道內部的高斯噪聲功率的大小.特別地，當信噪比較大時，香農公式的真數中的1可以加以忽略不計.按照香農公式，若不改變信道帶寬W，而將信噪比SN從1 000提升至8 000，那么最大信息傳遞速度C大約增加了（" ）.（參數數據：lg2≈0.3010）

A.10%

B.30%

C.60%

D.90%

分析：根據題目中的新情境問題加以閱讀理解，利用香農公式分別計算出信噪比為1 000和8 000時C的值，再利用對數的運算性質求出C的比值即可得到結果.

解析：當SN=1 000時，

C1=Wlog2（1+SN）≈Wlog21 000.

當SN=8 000時，

C2=Wlog2（1+SN）≈Wlog28 000.

所以C2C1=Wlog28 000Wlog21 000=log28 000log21 000=lg8 000lg1 000=3+3lg23≈1.3，

則C大約增加了30%.

故選擇答案：B.

點評：利用中國的5G技術創設新情境，引入著名的香農公式，結合公式內涵的閱讀理解，借助公式以及對數的運算來綜合分析與處理.正確閱讀理解新情境是破解問題的基本條件.

3 新材料問題

新材料類閱讀理解題求解策略是根據題目條件中給出的新材料情境，借助維度、深度、廣度等方面，通過比較熟悉的數學知識、思想方法等，結合歸納、類比等推理方法，有效發現題目中的數量、關系式、圖形等的性質、聯系等，構建相應的數學命題與結論之間的合理聯系，或是一些數學基本命題、定理等的推理，進而加以合理論證表述、合理應用.

例3 ［2021年貴州省貴陽市高一（下）期末數學試題］閱讀下面材料：

我們知道，在△ABC中，記角A，B，C的對邊分別為a，b，c，邊與角的關系滿足正弦定理asin A=bsin B=csin C.下面是正弦定理在空間中的一種推廣：

在對棱分別相等的三棱錐中，側棱和其所對二面角的正弦值之比相等.

如：如圖2，在三棱錐A-BCD中，若AB=CD=a，AD=BC=b，AC=BD=c，記AB所對的二面角B-CD-A的大小為α，AD所對的二面角A-BC-D的大小為β，AC所對的二面角A-BD-C的大小為γ.滿足：asin α=bsin β=csin γ.

根據以上閱讀材料，解答以下兩個問題：

（1）如圖2，正四面體A-BCD中，已知棱長AB=2，二面角A-CD-B的大小為α，求ABsin α的值；

（2）如圖3，已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=2，容易得出平面A1BD⊥平面C1BD，求二面角B-A1D-C1的大小.

分析：（1）取CD中點E，連接AE，BE，說明∠AEB為二面角A-CD-B的平面角，通過求解三角形推出結果即可；（2）設二面角B-A1D-C1的大小為β，利用正弦定理轉化求解即可.

解析：（1）如圖4，取CD中點E，連接AE，BE，在正四面體A-BCD中，△ACD為等邊三角形，所以AE⊥CD.

同理，BE⊥CD，且平面ACD∩平面BCD=CD，

故∠AEB為二面角A-CD-B的平面角.

由AE=BE=3，結合余弦定理，得

cos∠AEB=AE2+BE2-AB22AE·BE=13.

由∠AEB∈0，π2，可得sin∠AEB=223.

所以ABsin α=ABsin ∠AEB=322.

（2）設二面角B-A1D-C1的大小為β.

由題意可知，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，BD=A1C1，A1D=BC1，A1B=DC1.

易得BC1=22+（2）2=6，

A1C1=22+22=22.

由上述正弦定理在空間的推廣，可知BC1sin β=A1C1sin π2，則sin β=BC1A1C1=32.

由圖可知，二面角B-A1D-C1為銳角，故二面角B-A1D-C1的大小為π3.

點評：以二維空間的正弦定理在三維空間中的一種推廣作為閱讀材料，巧妙設置創新問題，通過閱讀理解，融合解三角形中的正弦定理、二面角的平面角的求法，很好地考查類比思維、空間想象能力、轉化思想以及計算能力等.正確閱讀理解新材料是破解問題的基礎.

新高考數學試題中，經常通過巧妙創設問題，借助新概念、新情境、新材料等的閱讀與理解，合理融入數學基本知識、思想方法和能力技能等，全面考查學生各方面的能力，注重數學本質，選拔優秀人才；根據數學核心素養的要求，全面合理推進中學數學教學改革與創新應用.