數(shù)形結合方法在高中數(shù)學教學中的應用

程延春

(河北省雄安新區(qū)雄縣第二高級中學 河北 保定 071800)

0 引言

如果向一個高中生提問，你知道哪些高中數(shù)學思想？十有八九會回答“數(shù)形結合”。數(shù)形結合思想的重要性以及常見性可見一斑。不僅僅是因為數(shù)形結合的方法，能夠讓學生快速的解開數(shù)學的題目，還是因為，這種方式可以幫助學生更加直觀的理解一些知識的理論。對于學生來說，無論是在解題的過程中，還是在學習新知識的過程中，數(shù)形結合都是一種降低理解難度的有效方式，因此不僅是教師會引導學生使用這種方式，學生群體本身也十分青睞這種方法。

1 數(shù)形結合的優(yōu)勢

數(shù)形結合的核心原理是建立了“數(shù)”與“形”之間的關系，讓數(shù)字不再局限于概念，讓圖形不再抽象。思考一下數(shù)學行程的過程，在一開始我們對圖形的問題產生了探究的想法，而在進行探究的過程中，我們發(fā)現(xiàn)一些問題，只有具有具體的數(shù)量關系，才能夠充分的解決。而這些數(shù)量關系。我們要通過什么來表示呢？我們又要通過什么樣的方式來找到這些數(shù)量關系呢？于是我們對數(shù)字進行了研究。當數(shù)字中的“數(shù)”與“形”一一對應時，不僅圖形中的具體量有了定義，我們的數(shù)字也有了更加具體的表現(xiàn)形式。而這有什么好處呢？答案是，讓思考的邏輯更加的直觀，同時也變得更加的清晰。比如在高一階段，我們在教學集合的時候，利用韋恩圖來幫助學生理解集合、元素以及它們之間的關系。對于高一的學生來說，集合方面的知識雖然是陌生的，卻也并不是完全高難度的內容。但是學生在初步學習的階段，依然感覺到了吃力。這并不是學生的理解沒有透徹，更多的是學生的思維方面有欠缺。當我們向學生介紹集合的概念的時候，學生不能夠將定義中的抽象概念轉化成具體的含義，就會出現(xiàn)知識點混淆或者模糊的情況，在進行相關題目的訓練時，無法達到理想的訓練效果。但是這些都會在我們進行圖形教學之后有所改善，即，圖像法的應用。因為在圖像法當中，我們可以將集合這個概念具象化，即“一個圓圈”。而在圓圈當中，所有的“內容”，都可以稱作集合中的元素。教師在教學的過程中可以將圖形方面的內容結合多媒體工具，這樣就能進一步加強教學的直觀性，讓學生結合眼睛的觀察去理解定義中所提到的那些抽象概念。尤其是在教學集合內容的后半端，交集與補集等內容。

不僅這些概念會讓學生更加難以分辨，并且在做題時也會給學生帶來一定的困擾。最重要的是邏輯思維上的難度。所以在這個階段，我們引進了韋恩圖的概念。通過韋恩圖，我們可以非常清楚的把握集合之間的關系，并且可以利用韋恩圖幫助學生來理解一些比較困難的思考題，對于培養(yǎng)學生的逆向思維，也有著非常顯著的輔助效果。

2 應用方式

數(shù)形結合的適用條件非常廣泛，無論是在學生練習新的知識時，還是在復習題目時，只要是可以通過圖形表達出含義的題目，就能夠使用數(shù)形結合的方式，快速的解答出所有的問題。而在學習新知識的時候，數(shù)形結合又可以快速的幫助學生理解概念和定義，幫助學生梳理知識的應用邏輯以及知識本身所具有的邏輯。

2.1 教學時應用

在教學時應用數(shù)形結合的思想，能夠幫助學生快速的理解新知識的概念，比如在教學函數(shù)的時候，我們通常會將函數(shù)的圖像與定義式一起進行教學，這就是數(shù)形結合的體現(xiàn)。我們在教學函數(shù)的過程中，會引導學生關注函數(shù)的圖像。對于還是模塊的學習而言，圖像是研究函數(shù)的一大利器。所以在學習一項新的函數(shù)時，我們通常會要求學生先利用五點描線法，將圖像畫出來。而在圖像上找尋其他的特點，總結出函數(shù)的其他條件與特性。而教師之所以會選擇利用函數(shù)的圖像去研究，就是因為圖像更加直觀的表現(xiàn)了函數(shù)的性質。如果根據(jù)代數(shù)的定義去分析，即便是定義域和值域，這樣簡單的問題都要用大量的運算去解決。而如果繪制了圖像，我們不僅可以簡化許多步驟，還能夠通過圖像的特點，快速的找到其他信息。比如在教學三角函數(shù)的時候，我們先繪制了三角函數(shù)的圖像，然后才發(fā)現(xiàn)了三角函數(shù)的對稱性。而根據(jù)三角函數(shù)不同的對稱性，我們又可以總結出其他的性質。而這些不僅對于學生快速的理解函數(shù)知識有所幫助，還會培養(yǎng)學生的識圖能力，當學生在解決實際問題的時候，可以借助函數(shù)的模型，再利用函數(shù)模型的圖像模型去解決更加具體的問題。這一項能力看似微不足道，卻是學生完成數(shù)學知識遷移到現(xiàn)實生活解決問題必需的能力。

2.2 練習時使用

教師可以引導學生在練習習題的時候用數(shù)形結合方法。不僅可以大大縮短學生的練習時間，還能夠大幅度的提高學生做題的準確率。并且這種方式還會更加符合我們現(xiàn)階段教學改革下學生培養(yǎng)的目標，即能力與思維的培養(yǎng)。教師可以準備大量的數(shù)形結合的習題，讓學生進行分類的訓練。并且在訓練之前規(guī)定好學生的做題時間，一方面利用時間的緊迫感讓學生更快的完成相應的題目，另一方面，通過時間的縮短，促使學生不得不選擇更加快捷高效的解題方式。比如在學習函數(shù)的時候，我們會遇到非常經典的題目，就是比大小。在比大小的題目中，會給出不同類型的函數(shù)，并且不會給出完整的函數(shù)表達式。如果學生選擇使用代數(shù)的方法，將每一個函數(shù)的表達式求出，并將題目給的數(shù)字代入的表達式求出每一個選項的大小，通過比較選項的大小來選出“最佳答案”。這種情況不僅答題會非常慢，解題的難度也是非常大，因為題目所給的信息并不足以學生求出表達式，即便可以，也是需要好幾步的運算，才能夠完成相應的比較。但是如果使用數(shù)形結合的辦法的話就會簡化求解的過程，并且在思考的邏輯上也會非常的簡單。教師可以在練習開始之前，通過一道題目的示范，如選取一道題，引導學生觀察教師的操作，教師將圖像畫于黑板上的一個數(shù)軸中，通過比較圖像上的信息選出最佳答案。這是為了讓學生有一個思考的方向，在學生“有樣學樣”練習下，量變也可以成質變，也會初步培養(yǎng)起學生的數(shù)形結合思想的。

數(shù)形結合思想的應用并非具有單一性，我們將代數(shù)轉化成圖像的內容進行思考，同樣也可以將圖像的內容轉化成代數(shù)的信息進行運算。比如在教學函數(shù)實際問題的內容時，我們經常會將函數(shù)圖像上的某一點，賦予它實際含義的信息，并將它作為實際的數(shù)據(jù)，帶入到函數(shù)的表達式中，得到的數(shù)字會進一步完善函數(shù)的圖像信息。雖然在平時的時候我們并沒有過多的關注這些問題，但是實際上就是數(shù)形結合思想的應用。在解決實際問題的時候，我們會多次的完成數(shù)形結合思想的應用，具體的分析是我們會更加頻繁的使用代數(shù)信息與圖像信息的轉化。比如，統(tǒng)計模塊的知識，通過圖像的信息找到代數(shù)式中缺失的某一個數(shù)據(jù)，利用數(shù)據(jù)補全代數(shù)式得到新的信息，而新的信息又是完善圖像的必要條件，最后通過圖像的完善解決代數(shù)的模型等。

3 應用原則

數(shù)形結合這種思想，不僅是給學生提供了一定的便捷，可以讓知識變得更加直觀，同時也是給學生提供了新的思路。數(shù)形結合在應用時，需要注意以下幾點應用原則：

3.1 等價性

代數(shù)信息以及幾何信息在進行相互轉化的時候，一定要注意等價性。等價性的意義在于保證信息的本質是同一項內容。比如在構造圖形的時候，我們會將代數(shù)的數(shù)據(jù)轉化成實際的線段，在此過程中，我們要保證數(shù)據(jù)和線段的長度是相等的，才能夠保證我們所構造出來的圖形是符合數(shù)據(jù)要求的，才能夠借助構造出來的圖形進行其他信息的推算。再比如，教學函數(shù)的時候，就是找到坐標系中的一個點，這樣同時找到這個點所代表的數(shù)量關系，通過數(shù)量關系與坐標系點坐標的轉換，解出相應的信息，才是滿足等價原則，才能夠解答出正確的答案。從某種層面講，等價性是保障數(shù)形結合方法得以正確使用的基本要求，只有滿足等價，才能實現(xiàn)圖形與數(shù)字關系的轉變，從而應用這一思想和方法來解決數(shù)學問題，在教學過程中，老師要引導學生們明確數(shù)形結合思想內涵，確保使用過程中遵循等價原則。

3.2 雙向性

正如我們上文中所提到的，數(shù)形結合思想在應用時，不僅可以體現(xiàn)出“數(shù)”到“形”的轉變，也可以體現(xiàn)“形”到“數(shù)”的轉變。在實際應用的過程中，教師應該注重表現(xiàn)樹形結合的巧妙運用，充分向學生展示數(shù)形結合思想的靈活性以及雙向性，這樣才能夠在學生的應用意識中留有雙向性的印象，才能夠讓學生在日后的學習以及解題過程中，更加靈活的運用相應的思維，而不是一味關注“數(shù)”到“形”的轉化，將數(shù)形結合思想完全局限于一方的轉化。在教學過程中，老師可以靈活采用多種案例，實現(xiàn)“數(shù)”與“形”的靈活轉換，這樣可以使學生們明確數(shù)形結合的雙向性原則，同時可以對數(shù)形結合思想及方法形成更加全面的認知，并在解題過程中靈活應用這一方法，這對于引導學生們樹立全面完善的思考體系而言具有重要意義。

3.3 簡潔性

借助數(shù)形結合的方式，我們要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維與相應的能力，但是同樣我們也要關注相應的應用目的。比如數(shù)形結合思想在應用的階段，教師就應該向學生介紹并推廣使用目的，引導他們更加快速且高效地完成學習任務。因此，數(shù)形結合的應用還應該遵循簡潔性原則。如果在應用數(shù)形結合思想之后，并沒有減輕我們思考上的壓力，甚至還給我們的邏輯思維帶來混亂的負面影響，那么就沒有應用的必要。具體來看，數(shù)形結合思想及方法的應用目的在于轉變解題思路并提高解答效率，因此老師在教學過程中需要使學生們明確數(shù)形結合思想的簡潔性原則，這是判斷是否使用這一方法的關鍵，同時也是充分發(fā)揮其應用作用的重要目的。在教學過程中，老師可以采取對比教學方法，將使用了數(shù)形結合思想的解題方法與常規(guī)解題方法對比，使學生們更直觀地感受到前者的簡潔性優(yōu)勢。

4 總結語

數(shù)形結合的方式，在高中的數(shù)學學習中是比較常見的，教師可以在日常的教學中滲透這種思想，幫助學生培養(yǎng)相應的思維方式，以及思考能力。讓學生在學習的過程中以及練習的過程中多多使用這種思考的方式，能夠有效提高學生的數(shù)學素養(yǎng)以及學習能力。