深挖折疊問題本源 發(fā)展核心素養(yǎng)潛能
——以一道中考試題為例

昆明市第三中學 李加祿

折疊問題歷年來都是中考的熱點問題，具有知識覆蓋面廣、綜合性強的特點，常常受到命題者的青睞，可以說是中考幾何壓軸題的常青樹.筆者通過對2021年廣東省中考數(shù)學第23題的多解探究，嘗試用以題會類、觸類旁通等方式，探尋解決此類問題的通性通法，以期達到“觀一木而見森林”的效果，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提升數(shù)學學科核心素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

題目：（2021年廣東省）如圖1，邊長為1的正方形ABCD中，點E為AD的中點.連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交于點G，求CG的長.

圖1

二、試題解讀

本題以正方形和三角形為背景，以折疊問題為載體，綜合考查了初中階段“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”的核心知識:正方形的幾何性質、等腰直角三角形性質及軸對稱的性質，如解方程（組）、一次函數(shù)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、相似（全等）三角形和圓等.試題圖形簡潔、立意高妙、內涵豐富、梯度合適、解法多元，注重數(shù)學思想方法的應用，涉及方程思想、數(shù)形結合思想、化歸思想等數(shù)學思想方法.可以說此題將基本知識、基本思想方法、基本技能進行了高度融合，凸顯了邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象和數(shù)學建模等核心素養(yǎng).

三、思路探究

思路1：見平行，覓“X”型構相似.

圖2

由解法1可以看出，欲求CG的長需要找到與之相關聯(lián)的結構（線段或三角形），于是我們考慮將CG放到已知的△BCG或△CGM中，以及線段AC上.因正方形對邊平行，于是構造基本圖形“X”型相似，延長AD交BF的延長線于點N，進而求出AN的長，再通過構建方程運用勾股定理求解，使問題迎刃而解.

思路2：見共邊共角（或等角），覓“母子”型構相似.

圖3

考慮到題目中出現(xiàn)∠BFE=∠BAE=90°，于是將FE和BA延長相交于點N，構造常見的“母子”型相似，借助相似比為，設未知數(shù)進行轉化，通過在Rt△ANE中構建勾股定理列方程求解.這種解法較好地考查了學生關聯(lián)和重構基本知識的能力及數(shù)學建模的素養(yǎng).

思路3：見直角，覓“一線三垂直”構“K”型相似.

圖4

當題目出現(xiàn)的特殊角是直角時，我們通常作兩條垂線構造“一線三直角”全等或相似來解決問題.如解法3通過點F構造“一線三直角”，易證△EMF∽△FNB，可求得線段之間的數(shù)量關系，再利用勾股定理求出MF，進而求得最終解決問題.

思路4：見共點等線段，覓旋轉變換構全等.

圖5

當題干中有共端點等線段條件時，我們可以考慮旋轉構造全等圖形，特別是等腰三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、正方形內有一點時，可將思考的落腳點放在圖形的旋轉上.通過圖形旋轉變換，我們將題目中分散的條件集中在某個特殊圖形中或實現(xiàn)邊與角的轉移，從而尋求解題思路.

思路5：見角平分線，覓平行構等腰三角形.

圖6

解法5考慮到折疊問題有角平分線，于是我們可以嘗試過角平分線上的點作某一邊的平行線，構造等腰三角形，使分散的條件集中，讓已知的邊、角關系更具體化，解法自然生成.當然，只有學生對幾何模型具有較強的洞察力和邏輯推理的素養(yǎng)，才能使問題得解.

思路6：以“數(shù)”解“形”，構建坐標系求解.

圖7

如解法6，當題目圖形滿足某些特殊位置關系時，如本題中AB⊥AD，我們可利用幾何圖形的特殊性質建立平面直角坐標系，將幾何問題代數(shù)化，圖形性質坐標化，以“數(shù)”解“形”，以“形”助“數(shù)”，數(shù)形結合，用解析法求解，使解題思路更加直觀簡潔，優(yōu)化了計算過程.

思路7：見直角，覓圓周角構輔助圓.

解法7:如圖8，延長BF交CD于點M，作△BCM的外接⊙O，連接EM，EO，易知EO為梯形DABM的中位線，EO∥AB，于是EO⊥AD，則AD為⊙O的切線，點E在⊙O上，故∠MEB=90°，易證△EMF∽△BEF，則EF2=MF·BF，得.在Rt△BCM中下面解題過程同解法1，不再贅述.

圖8

對于對綜合性、隱蔽性較強的平面幾何問題，若我們能根據(jù)題目條件的本質特征，如解法7中∠BCM為直角，聯(lián)想到圓的有關知識，恰當?shù)貥嬙燧o助圓，利用圓的相關性質求解，往往可以化難為易，化隱為顯，找到解題的新思路，使得求解之路變得“圓”來如此簡單.誠然，這種解法要求學生具有較強的探索能力和敏銳的觀察力，這里有無限風光在險峰之感.

思路8：利用二倍角正切函數(shù)求解.

圖9

解法8利用二倍角公式，直接體現(xiàn)三角形邊、角之間的轉化關系.雖然這種解法在初中階段不作要求，但是對于學有余力的學生而言，可以作為一種方法的補充，有利于拓寬思維.

四、解題反思

1.關注核心條件，強化建模思想

本題的多樣解法都可歸功于“折疊問題”中的核心條件，從而展開豐富的聯(lián)想，構造幾何模型解題.正如美國著名數(shù)學教育家G·波利亞有過一個比喻:“一個好的數(shù)學問題和某種蘑菇有些相像，他們都是成堆地生長的，找到一個以后，你應該在周圍找一找，很可能附近就有好幾個.”本題中的解法1和2聚焦條件中的“翻折+平行”，聯(lián)想構造“X”型和“母子”型相似模型求解；解法3和7聚焦于條件中的“∠BFE=90°”，聯(lián)想構造“K”型相似和輔助圓模型求解；解法4聚焦于條件中的“正方形”，聯(lián)想構造旋轉變換，利用全等三角形求解；解法5聚焦于條件中的“角平分線”，聯(lián)想構造等腰三角形求解；解法6聚焦于條件中的“軸對稱”，聯(lián)想構建直角坐標系求解.因此，日常教學中教師應強化學生數(shù)學建模意識，提煉數(shù)學模型，總結一些重要的基本模型，讓其學會把陌生的、復雜的問題化歸為熟悉的、簡單的問題，提高學生的解題能力和學習興趣，這也正是培養(yǎng)學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的關鍵所在.

2.關注通性通法，提升核心素養(yǎng)

章建躍博士指出:在“通性通法”中，“通性”就是概念所反映的數(shù)學基本性質，“通法”就是概念所蘊含的思想方法.注重基礎知識及其蘊含的數(shù)學思想方法，才是追求數(shù)學教學的“長期利益”.如本題的8種解法都可歸結為求線段CM長或tan∠CBF的值，找到了問題的通性，通法自然也就實現(xiàn)了.教師要引導學生從不同的角度挖掘題目條件，提升綜合配置各種知識信息的能力，產(chǎn)生多種解題思路，嘗試一題多解和多解歸一，提煉通性通法，從而提高解題素養(yǎng).正如德國教育家第斯多惠所說:“教學的藝術不在于傳授本領，而在于激勵、喚醒和鼓舞.”數(shù)學解題教學不應該是“授人以魚”式的解題，而是教會學生探究解題本源的“漁趣”.教師只有不斷深入挖掘題目里蘊含的數(shù)學思想和數(shù)學方法，盡可能地實現(xiàn)通性通法，提高學生的思維品質和創(chuàng)造性解決問題的能力，才能提升學生的數(shù)學素養(yǎng).