具有Cuntz半群消去律的C*-代數

范慶齋， 安璐

(上海海事大學文理學院，上海 201306)

0 引 言

ELLIOTT分類綱領指出，一類順從的C*-代數可以按照K-理論、跡態空間及K-理論與跡態空間的配對(通常稱為ELLIOTT不變量)進行分類。有許多重要的C*-代數類已經按照ELLIOTT不變量進行了分類，例如ELLIOTT等[1-2]對于單的有單位元的AH代數的分類。受到ELLIOTT等[1-2]關于單的AH代數分類的啟發，LIN[3]提出跡拓撲秩不超過k的C*-代數，在這類C*-代數中，去掉了C*-代數的歸納極限結構，提出了一種新的C*-代數構造方法。這種新的結構，事實上就是由一類好C*-代數類通過跡逼近之后得到的C*-代數類。這種構造一方面去掉了歸納極限的結構，更容易驗證某些C*-代數在這類C*-代數中，另一方面大大簡化了分類定理中的唯一性定理。GONG等[4]對于單的順從有單位元關于Jiang-Su代數穩定滿足UTC條件的C*-代數給出了分類。事實上他們證明了這樣的C*-代數是在一類稱為廣義跡拓撲秩不超過1的C*-代數張量上的一個UHF代數。

廣義跡拓撲秩不超過1的C*-代數具有好的正則性質。正則性質在C*-代數分類中起關鍵的核心作用。正則性質一般是指關于Jiang-Su代數Z穩定、有限核維數、Cuntz半群的某些性質(例如Cuntz 半群的嚴格比較性質、可除性質等)。對于單的可分有單位元順從的C*-代數，TOMS和WINTER猜想這3類正則性質等價。

ELLIOTT等[5]考慮了Ω類是滿足某些性質的C*-代數，這些性質可以遺傳到由Ω類中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數類中。例如穩定秩一和投影的序由跡態決定等性質。并且這些性質對于某類C*-代數的分類起到關鍵性的作用。

FAN[6-7]考慮了Ω中某些K-群或者K-半群的性質可以遺傳到由Ω類中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數中。FAN[8]、ELLIOTT等[9]證明了Ω中某些正則性質可以遺傳到由Ω類中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數中。

R?RDAM等[10]提出Cuntz半群的弱消去律和投影的消去律，并證明了如果C*-代數是穩定秩一的，則它的Cuntz半群具有弱消去律和投影的消去律。

在本文中，設Ω是一類Cuntz半群具有弱消去律的C*-代數或者Cuntz半群具有投影消去律的C*-代數，證明了Cuntz半群的弱消去律性質或者Cuntz半群投影的消去律性質可以遺傳到由Ω中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數類TAΩ中。作為上述結論的應用：如果A是一個無限維有單位元單的Cuntz半群具有弱消去律性質的C*-代數(或者Cuntz半群具有投影消去律的C*-代數)，且設α:G→Aut(A)是有限群G作用在C*-代數A上并且作用具有跡Rokhlin性質，則交叉積C*-代數C*(G,A,α)的Cuntz半群具有弱消去律性質(或者Cuntz半群具有投影消去律)。

1 準備知識和定義

一個C*-代數A具有性質SP，是指對于A的任意非零可傳C*-子代數，都包含一個非零投影。

稱a與bCuntz等價(記為a～b)，滿足a?b并且b?a。記〈a〉為a的等價類。

〈a〉+〈b〉=〈a⊕b〉

序關系為

〈a〉≤〈b〉?a?b

設a和b是C*-代數A中的正元，記作[a]≤[b]，如果存在部分等距v∈A**使得對于任意的0≤c∈Her(A)，cv∈A，vv*=Pa，v*Her(a)v=Her(b)，其中Pa是a在A**中值域的投影(由[a]≤[b]可以得到aCuntz子等價于b，即a?b)。記[a]=[b]，滿足v*Her(a)v=Her(b)。假設n是一個正整數，記n[a]≤[b]，則存在n個相互垂直的正元b1,b2,…,bn∈Her(b)滿足[a]≤[bi]，i=1,2,…,n[11]。

設A是穩定有限的C*-代數，一個正元a∈A稱為純正元，滿足a不Cuntz等價于一個投影。這等價于0不是a的譜σ(a)的聚點。

給定M∞(A)+中的正元a和ε>0，記(a-ε)+是由函數f(t)=max(t-ε,0),t∈σ(a)通過函數演算對應C*(a)中的元，由函數演算知道((a-ε1)+-ε2)+=(a-(ε1+ε2))+。

定理1.1A是一個有單位元穩定有限的C*-代數。

(1)設a,b∈A,任意的ε>0，如果||a-b||<ε，則存在A中一個壓縮的元d使得(a-ε)+=dbd*。

(2)a是一個純正元，對于任意的δ>0，任意的一個非負函數f∈C0(0,1]滿足||f||=1，且在(δ/2,1)上f=0，在(0,δ/2)上f>0，則f(a)≠0，且(a-δ)++f(a)?a。

(3)下列等價：①a?b；②對于任意的ε>0，(a-ε)+?b；③對于任意的ε>0，存在δ>0，使得(a-ε)+?(b-δ)+。

(4)a和p是M∞(A)中的兩個正元，其中p是一個投影，如果p?a，則存在M∞(A)中的元b使得p⊕b～a[12]。

定義1.1稱C*-代數A的Cuntz半群W(A)，具有投影的消去律，是指對于M∞(A)+中任意的正元a、b，任意的投影p，由a⊕p?b⊕p可以得到a?b[10]。

定義1.2稱C*-代數A的Cuntz半群W(A)具有弱消去律，是指對于M∞(A)+中的任意正元a、b、c和某個ε>0，由a⊕c?b⊕(c-ε)+，可以得到a?b[10]。

設Ω是一類C*-代數，則由Ω中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數類記為TAΩ。

定義1.3一個有單位元單的C*-代數A屬于TAΩ，是指對于任意的ε>0，任意的有限子集F?A，任意的a≥0，存在一個投影p∈A和A的C*-子代數B滿足1B=p和B∈Ω，使得

(1)對于任意的x∈F，||xp-px||<ε。

(2)對于任意的x∈F，pxp∈εB。

(3)[1-p]≤[a][3，5]。

定理1.2如果Ω類對于張量上一個矩陣代數封閉，且對于有單位元的可傳C*-子代數也是封閉的，則由Ω中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數類TAΩ，對于張量上一個矩陣代數封閉，且對于有單位元的可傳C*-子代數也是封閉的[3，5]。

下面的定理顯然，略去證明。

定理1.3C*-代數Cuntz半群的投影消去律和弱消去律可以遺傳到張量上一個矩陣代數和有單位元的可傳的C*-子代數中。

定義1.4A是一個無限維的可分的有單位元單的C*-代數，設α:G→Aut(A)是一個有限群G作用在C*-代數A上。稱α具有跡Rokhlin性質，是指對于任意的有限子集F?A和任意的ε>0，任意的非零正元b∈A和任意的g∈G，存在相互垂直的投影eg∈A滿足

(1)對于任意的g,h∈G，||αg(eh)-egh||<ε。

(2)對于任意的d∈F，g∈G，||egd-deg||<ε。

(3)記e=∑g∈Geg，則投影1-e?b。

(4)||ebe||≥||b||-ε[13]。

2 主要結果

定理2.1設Ω是一類穩定有限有單位元C*-代數，如果對于任意的B∈Ω，且B的Cuntz半群W(B)具有投影的消去律，則對于任意有單位元單C*-代數A∈TAΩ，A的Cuntz半群W(A)具有投影的消去律。

證明:設a和b是正元，p是投影，都在M∞(A)+中，滿足a⊕p?b⊕p，只要證明對于任意的ε>0，(a-3ε)+?b即可。

由定理1.1知，存在v∈A和δ′>0，滿足

v(diag((p-δ′)+b))v*=p+a

對于F={a,b,p,d,d*}，任意的δ>0，由于A∈TAΩ，存在A的C*-子代數B和非零投影q∈A，滿足B∈Ω和1B=q，使得

(1)對于任意的x∈F，||xq-qx||<δ。

(2)對于任意的x∈F，qxq∈δB。

由此可知，存在正元a′,b′,d′,d′*∈B，投影p′∈B，正元a″,b″,d″,d″*∈(1-q)A(1-q)和投影p″∈(1-q)A(1-q)，使得||a-a′-a″||<2δ，||b-b′-b″||<2δ，||a′+p′+a″+p″-(d″+d′)(b′+p′+b″+p″)(d′*+d″*)||<4δ。

因此可得到

||a′+p′-d′(b′+p′)d′*||<4δ

||a″+p″-d″(b″+p″)d″*||<4δ

由定理1.1得

(a′+p′-4δ)+?b′+p′

(a″+p″-4δ)+?b″+p″

因為a′,p′,b′,(a′-4δ)+∈B，并且B∈Ω，所以(a′-4δ)+?b′。

③[1-q-r]≤[(a′-4δ)+]。

由①和②可知，存在正元a?,b?,e?∈D，投影p?∈D，正元a″″,b″″,e″″∈(1-q-r)A(1-q-r)和投影p″″∈(1-q-r)A(1-q-r)，使得

因此

從而有

(a-3ε)+?(a′-ε)++(a″-ε)+?

[p″″]+[c]+(a?-ε/3)++(a″″-ε/3)+?

[p″″]+[c]+b?+(a″″-ε/3)+?

因為ε>0是任意的，所以a?b。

定理2.2設Ω是一類有單位元的C*-代數，Ω對于有單位元可傳C*-子代數和張量上一個矩陣代數是封閉的。A∈TAΩ是一個無限維的單的有單位元的C*-代數，設α:G→Aut(A)是有限群G作用在一個C*-代數A上，并且作用具有跡Rokhlin性質，則交叉積代數C*(G,A,α)在TAΩ中[14]。

推論2.1設A是一個穩定有限無限維有單位元單的C*-代數，A的Cuntz半群W(A)具有投影的消去律。設α:G→Aut(A)是有限群G作用在C*-代數A上，并且作用具有跡Rokhlin性質，則交叉積C*-代數C*(G,A,α)的Cuntz半群也具有投影的消去律。

定理2.3設Ω是穩定有限有單位元的C*-代數類，并且對于任意的B∈Ω，B的Cuntz半群W(B)具有弱消去律，則對于任意有單位元單C*-代數A∈TAΩ，A的Cuntz半群W(A)也具有弱消去律。

證明：設a、b、c是M∞(A)+中的正元，滿足a⊕c?b⊕(c-δ)+，其中δ>0，則對于任意的ε>0，只要證明(a-3ε)+?b即可。

由定理1.2和定理1.3，不失一般性，假設a、b、c都在A中，并且ac=bc=0。不妨假設c是一個純正元，否則cCuntz等價于一個投影，由定理2.1和對于任意的δ>0，(p-δ)+=p，可以得到結論。

由于c是一個純正元，由定理1.1，存在正元g∈A，對于任意的δ″>0，使得

由定理1.1，存在v∈A和δ′>0，使得

由定理1.1，存在一個壓縮元d∈A，使得

對于F={a,b,c,g,d,d*}，任意的η>0，由于A∈TAΩ，存在A的C*-子代數B和非零的投影q∈A，滿足B∈Ω和1B=q，使得

(1)對于任意的x∈F，||xq-qx||<η。

(2)對于任意的x∈F，qxq∈ηB。

由此可知，存在正元a′,b′,g′,c′,d′,d′*∈B，正元a″,b″,c″,g″,d″,d″*∈(1-q)A(1-q)，使得

||a-a′-a″||<2η

||b-b′-b″||<2η

(c″-δ)+(d′*+d″*)||<6η

因此可以得到

d′(b′+(c′-δ)+)d′*||<6η

d″(b″+(c″-δ)+)d″*||<6η

由定理1.1知

a′+(g′-δ′-2δ″-6η)++c′?b′+(c′-δ)+

由于a′,c′,b′∈B，并且B∈Ω，可以得到a′+(g′-2δ′-δ″-6η)+?b′。

同樣的道理，存在e″∈(1-q)A(1-q)和δ?>0，使得

a″+g″+(c″-2δ′-δ″-2δ?-6η)+=

e″(b″+(c″-δ)+)e″*

③[1-q-r]≤[(g′-2δ′-δ″-6η)+]。

由此可知，存在正元a?,c?,b?∈D和正元a″″,c″″,b″″∈(1-q-r)A(1-q-r)，使得

取δ′,δ″,δ?,η，使得

||a?+g?+(c?-2δ′-δ″-2δ?-6η)++a″″+g″″+

(c″″-2δ′-δ″-2δ?-6η)+-(e?+e″″)(b?+

b″″+(c?-δ)++(c″″-δ)+)(e?+e″″)||<6δ

最后得到

||a?+g?+(c?-2δ′-δ″-2δ?-6η)+-

||a″″+g″″+(c″″-2δ′-δ″-2δ?-6η)+-

由定理1.1知

b?+(c?-δ)+

b″″+(c″″-δ)+)

(a-3ε)+?(a′-ε)++(a″-ε)+?

(g′-2δ′-δ″-6η)++(a′-ε)++(a?-ε/3)+?

因為ε>0是任意的，所以可以得到a?b。

推論2.2設A是一個無限維有單位元單的C*-代數，A的Cuntz半群W(A)具有弱消去律。設α:G→Aut(A)是有限群G作用在C*-代數A上，且作用具有跡Rokhlin性質，則交叉積C*-代數C*(G,A,α)的Cuntz半群具有弱消去律。

3 結 論

本文得到了如下的結論：(1)設Ω是一類Cuntz半群具有弱消去律的C*-代數。證明了Cuntz半群的弱消去律可以遺傳到由Ω中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數類TAΩ中。(2)設Ω是一類Cuntz半群具有投影消去律的C*-代數。證明了Cuntz半群的投影消去律可以遺傳到由Ω中的C*-代數跡逼近之后得到的C*-代數類TAΩ中。

作為上述結論的應用得到了如下結果：(1)如果A是一個無限維有單位元單的Cuntz半群具有弱消去律性質的C*-代數，且設α:G→Aut(A)是有限群G作用在C*-代數A上并且作用具有跡Rokhlin性質，則交叉積C*-代數C*(G,A,α)的Cuntz半群具有弱消去律。(2)如果A是一個無限維有單位元單的Cuntz半群具有投影消去律的C*-代數，且設α:G→Aut(A)是有限群G作用在C*-代數A上并且作用具有跡Rokhlin性質，則交叉積C*-代數C*(G,A,α)的Cuntz半群具有投影消去律。